보조정리 1
여러 개의 양(quantity) 또는 이들 사이의 비율이 임의의 유한한 시간 동안연속적으로 변하면서 같은 값으로 접근한다고 하자. 주어진 시간이 끝나기전에 이들 사이의 차이가 임의로 잡은 어떤 값보다도 작으면, 이들은 결국같아진다. - P97
보조정리 2
직선 A와 AE, 그리고 곡선 ace로 에워싸인 도형 AacE가 주어져 있다.
여기에 길이가 모두 같은 AB, BC, CD, ⋯를 밑변으로 삼아 평행사변형Ab, Bc, Cd, .…를 작도하면(단 이들의 세로변 Bb, Cc, Dd, ..…는 Aa와 평행하며, 평행사변형의 개수에는 아무런 제한이 없다) 작은 평행사변형 akbl.
blcm, cMdn,.…이 완성된다. 이들의 가로(폭)를 점점 줄여가면서 개수를무한정 늘이면 곡선 도형(원래의 도형)에 내접하는 도형 AkbLcMdD와 외접하는 도형 Aalbmcndo, 그리고 원래 도형 AabcdE는 면적이 같아진다. - P97
보조정리 3
평행사변형의 밑변 AB, BC, CD, …가 같지 않아도, 이들이 한없이 작아지면 내접 도형과 외접 도형, 그리고 곡선 도형의 면적은 궁극적으로 같아진다. - P99
부가정리 4
그러므로 위에 언급한 현들은 궁극적으로 직선이 아니며, 곡선 4E에 무한정 가까워진다. - P100
보조정리 4
2개의 도형 AacE와 PprT의 내부를 다음의 경우와 같이) 같은 개수의 내접하는 평행사변형으로 가득 채웠다고 하자. 이들의 폭을 무한정 줄여나간다고 했을 때, 첫 번째 도형의 평행사변형과 두 번째 도형에서 이에 대응되는평행사변형의 최종 면적이 모든 평행사변형에 대하여 동일하다면, AacEPprT는 면적이 같다. - P100
보조정리 5
서로 닮음 관계에 있는 도형의 대응변(직선 또는 곡선)들은 길이 비율이 모두 같고, 면적 비율은 길이 비율의 제곱과 같다. - P102
보조정리 6
임의로 주어진 매끄러운 호(곡률이 연속적으로 변하는 호) ACB와 이에 대응되는 현 AB가 있다. 현의 한쪽 끝 A에서 호에 접하는 직선을 AD 라 하자.
AD는 양쪽으로 길게 뻗어 있다. 이 상태에서 A와 B가 호를 따라 서로 가까워지다가 한 점에서 만나면, 현과 접선의 사잇각 BAD는 무한정 작아지다가 결국 0으로 사라진다. - P102
보조정리 7
위와 같은 가정에서 호와 현, 그리고 접선의 길이는 궁극적으로 같아진다. - P103
B가 A를 향해 접근하는 동안 AB와 AD를 연장한 선 위에 와 다를잡아서, B가 어느 위치에 있건 bd와 BD가 항상 평행하도록 유지하고, 호 ACB와 닮은꼴인 호 Ac를 그려보자. 점 A와 B가 하나로 합쳐지면 <dab는 0으로 사라지고 (보조정리 6 참조), 유한한 직선 A와Ad가 하나로 합쳐지면서 그 사이에 낀호 Ac도 이들과 같아진다.
그런데 직선 AB와 AD, 그리고 이들 사이에 낀 호 ACB는 각각 Ab,
Ad, Acb와 항상 비례관계에 있으므로 결국은 이들의 길이도 같아진다. [Q.E.D.] - P103
부가정리 2
A를 지나는 또 다른 직선 AF와 AG, 그리고 B를 지나는 또 다른직선 BE, BD가 있고, BF가 접선 AD와 평행하면 (A와 B가 무한정 가까워질 때) AD, AE, BF, BG, 그리고 호 ACB와 현 AB의 길이는 궁극적으로 같아진다. - P104
부가정리 3
그러므로 이들의 최종 비율을 논할 때는 어떤 것을 사용해도 상관없다. - P104
보조정리 8
직선 AR과 BR, 호 ACB와 현 AB, 그리고 접선 AD를 조합하면 3개의 삼각형 RAB, RACB, RAD²가 만들어진다.
여기서 A와 B가 가까워지면 3개의 삼각형은 점점 작아지면서 닮은꼴 도형에 접근하다가, A와 B가 한 점에서 만날 때 닮음비는 1:1이 된다(즉 3개의 삼각형이 완전히 같아진다).
2) 이들 중 RACB는 삼각형이 아니라 부채꼴에 가깝다. - P104
|