그리스인들이 좋아했던 아름다운 도형 중에 ‘궁형‘ 또는
‘활꼴‘ 또는 ‘초승달‘이라는 것이 있는데, 그리스 수학에서 최초로 초생달 구적법을 조사한 사람은 치오스의 히포크라테스(Hippocrates)이다. - P67
암을 뜻하는 영어 ‘캔서‘(cancer)의 어원이 바로 카르키노스이다. 후세 사람들은 의학자 히포크라테스가 암을 카르키노스라고 이름 붙인 이유를 암세포가 게의 걸음걸이처럼 옆으로 잘퍼지고, 암세퍼의 표면이 게의 껍질처럼 단단해서라고 해석하고 있다. - P67
두 번째 업적은 앞에서 말한 ‘초승달 구적법‘이다. 이것은 초승달 모양의 도형과 넓이가 같은 직각 이등변 삼각형을 눈금없는 자와 컴퍼스로 작도하는 것인데 이것을 계기로 그리스인들은 원의 구적에도 낙관적인 견해를 보이기 시작했다. - P69
사실 구석에 관한 문제는 그리스인들에게 수학 이상의 것으로 의미가 있었다. 예를 들면, 토지문제에서 실제로 불규칙적인 토지의 경계 때문에 자기 토지의 정확한 넓이를 구하는 것은 매우 어려운 문제였다. 그러나 구적을 구할 수 있다면 이 문제를 아주 간단히 해결할 수 있다. 또한 구적접을 알면 비대칭이거나 불완전하게 보이는 것을 대칭 또난 완전하고 아름다운 형태로 바꿀 수 있는 것이다. - P71
엘레아 학파의 철학자 제논(Zenon)은 기원전 490년경에 태어나 기원전 약 430년까지 활약한 것으로 추측된다. 그는 철학적 사상을 방어하기 위하여 여러 가지 역설을 전개하였는데 이 역설들은 수학에, 특히 미적분학의 발달에 대단한 영향을 미쳤다. 그 역설의 주된 내용은 유한인 구간을 무한히 나누는데서 비롯된다. - P72
제과는 수학적 관점이 달랐던 피타고라스 학파들은 다음과 같이 반박했다.
"점은 위치만 있고 크기는 없다. 또 시간도 크기가 없는 무한한 시각의 모임이다."
그러자 이러한 주장을 반박하기 위하여 제논은 ‘아킬레스와 거북이의 경주‘라는 또 다른 역설을 주장했다. - P73
그리스 시대에 달리기를 가장 잘하는 사람으로 아킬레스(Achilles)라는 사람이 있었다. 아킬레스와 거북이가 달리기를하면 어떤 결과가 나올까? 이 경기의 규칙은 거북이가 먼저 출발하고 난 얼마 뒤에 아킬레스가 출발하는 것이다. - P73
아킬레스가 거북이의 처음 출발점에 도착했다면 거북이는그 사이에 느린 속도이지만 앞으로 나아갔으므로 아직도 거북이가 아킬레스보다 앞에 있다. 다시 아킬레스가 거북이가 있는그 다음 위치까지 갔을 때, 거북이는 계속해서 움직이므로 아킬레스보다 거북이가 앞서 있다. 이런 식으로 계속 진행하면아무리 발이 빠른 아킬레스라고 해도 절대로 느림보 거북이를따라잡을 수 없다. - P73
피타고라스 학파의 시간은 크기가 없는 무한한 시각의 모임‘이라는 주장에 대하여 제논은 ‘날아가는 화살은 날지 않는다‘ 라는 역설로 반박하였다. - P74
활시위를 떠나 공중을 나는 화살을 생각해보자. 이 화살은나는 시간내의 각 시각에서 일정한 위치를 차지하고 있다. 그러므로 각각의 시각마다에서 일정한 위치를 차지하게 되고, 결국 그때마다 정지하고 있어야 한다. 따라서 이러한 정지 상태가 무한히 많다 하여도 운동은 될 수 없다는 결론에 이른다.
그러므로 시간이 무한히 많은 시각으로 되어 있다는 주장은 잘못이라는 것이다. - P74
제논의 역설 중 또 다른 하나는 ‘어떤 시간과 그 시간의 반은 같다‘라는 것이다. 이 역설에 의하면 1시간과 30분은 같다는 뜻이다?!?!?!? - P74
정지 상태에 있는 원소 A, 오른쪽으로 움직이는 원소 B,
왼쪽으로 움직이는 원소 C가 다음 그림과 같이 있다. 여기서두 원소 B와 C는 같은 속도로 움직이고 있다. 일정한 시간이지난 후에 A, B, C 는 그림과 같이 나란히 서게 된다. 이렇게되기 위하여 B 의 원소는 다섯 개의 A 의 원소를 스쳐 지나가고, 동시에 C의 원소 열 개를 스쳐 지나간다. 스쳐 지나가는각 시간은 스치는 원소의 개수에 비례하므로 B가 A 를 스쳐지나가는 시간은 B가 C를 스쳐 지나가는 시간의 반이다. 그러나 이 두 가지 일은 동시에 일어나는 것이기 때문에 B가 A 와 C를 각각 스쳐 지나가는 시간은 같다. - P76
모두 열세 권(I-XIII)으로 이루어져 있는 <원론>은 1482년에 초판이 인쇄되었고, 그 후 지금까지 1천 판이 넘을 정도로인쇄되었으며 2,000년 이상 기하학의 교과서로 군림해 왔다.
사실 우리가 배운 중학교, 고등학교의 수학 교과서의 내용은주로 <원론>의 I, III, IV, VI, XI, XII권의 내용 중에서 발췌한것이다. 그러니까 비록 <성서>를 읽어보지 못한 사람이라 할지라도 중학교 이상의 수학교육을 받았다면 이미 유클리드의<원론>을 부분적이긴 하지만 읽어본 셈이다. - P82
제 1 권은 48개의 명제로 되어 있으며 처음 26개의 명제는주로 삼각형의 성질과 세 개의 합동 정리를 다루고 있다. 또여섯 개의 명제는 평행에 관한 명제와 삼각형의 내각의 합이180° 라는 것이 증명되어 있으며, 그 이외의 명제들은 평행사변형, 삼각형, 정사각형 등의 넓이 문제를 다루고 있다. - P83
제 II 권은 넓이의 변환과 피타고라스 학파의 기하적 대수를 다루는데 모두 14개의 명제로 되어 있다.
제III권은 39개의 명제로 이루어져 있으며 원, 현, 선, 접선과 각의 측정에 관한 정리가 수록되어 있다. - P83
제IV권은 16개의 명제로 이루어져 있으며 3, 4, 5, 6, 15변을 갖는 정다각형을 주어진 원에 자와 컴퍼스를 가지고 내접또는 외접시키는 작도 문제를 다루고 있다. - P83
제V권은 에우독소스의 비율이론에 관한 것인데 이 책은수학적인 문헌 중에서 가장 훌륭한 걸작으로 평가되고 있다. - P84
제VII권은 정수론 중에서 두 정수의 최대공약수를 구하는호제법‘(Euclidean algorithm)을 다루고 있다. - P84
제IX권에는 ‘산술의 기본 정리‘ (fundamental theorem ofarithmetic)로 불리는 다음의 명제가 수록되어 있다.
"1보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수의 곱으로 표현될 수 있으며, 그 방법은 근본적으로 한 가지이다."
또한 ‘소수의 개수는 무한하다‘는 사실에 대한 세련된 증명이있고, 등비수열의 첫 n 개 항의 합에 대한 공식을 기하학적으로 유도했으며 짝수인 완전수를 만드는 공식이 증명되어 있다. - P84
제XII권은 입체의 부피를 다루고 있고, 제XIII권은 <원론>의 마지막 권으로 한 구에 다섯 개의 정다면체를 내접시키는 작도 문제를 다루고 있다. - P85
이렇게 훌륭한 저작물을 남긴 유클리드의 개인 신상에 대해서는 알려진 것이 거의 없지만, 기원전 323 년에 알렉산더 대왕이 죽고 이집트를 통치하게 된 프톨레마이오스 왕 시대에 살았던 것으로 추정되며,
(중략) - P85
수학에 관하여 이야기하면서 아르키메데스를 빼놓을 수는 없을 것이다.
아르키메데스는 수학의 모든 시대를 통틀어 가장 위대한수학자이다. 그는 기원전 287년경 시실리아의 옛 그리스 도시국가 시라쿠사에서 천문학자의 아들로 태어났다. 아르키메데스는 시라쿠사의 왕 히에론(Hieron)의 총애를 받았고 몇 년 동안 알렉산드리아 대학교에서 수학한 것으로 보고 있다. - P90
그의 발명품 중에는 사정거리를 조정할 수 있는 노포, 도시 성벽의 어느 곳이라도 신속하게 이동하여 가까이 접근한 적의 배에 무거운 물체를 떨어뜨릴 수 있는 발사 장대, 적의 배를 들어 올려서 심하게 흔들어 부숴뜨리는 거대한 이동식 기중기 등이 있다. 거대한 유리거울을 사용하여 밖에 있는 적의 배에 불을 질렀다는 이야기도 있는데, 이것은 로마와 시라쿠사의전쟁 후에 퍼진 소문이었지만 사실일 가능성도 있다. - P91
아르키메데스에 대해 가장 잘 알려진 이야기 하나.
(중략)
어느 날 왕은 금 세공인에게 명령하여 순금으로 왕관을 만들게 하였다. 이윽고 금 세공인이 왕관을 가져왔는데 왕은 그 속에 은이 많이 섞여 있다는 소문을 듣게되었다.
(중략)
욕조의 물이 넘치자 아르키메데스는 자기 몸의 부피만큼 물이 넘쳤다는것을 새삼 깨달았다. 밀도와 무게가 같은 두 물체는 모양에 관계없이 부피가 같다는 사실을 알아내고 너무나도 기뻐서 발가 벗었다는 것도 잊은 채 큰 소리로 외치며 거리를 달렸다.
"Eureka, Eureka" - P92
. 여기에서 바로 아르키메데스의 부력에 관한 법칙‘이 탄생한 것이다. Eureka, Eureka!는현재 미국 캘리포니아 주의 표어이기도 하다. - P93
아르키메데스는 1, 2, 3으로 된 비를 발견하고 이처럼 아름다운 것은 없다고 하였다. 왜냐하면 그도 우주는 수학적으로 조화롭게 짜여져 있으며, 그중에서도 1, 2, 3, …의 정수는 가장 중요한 구실을 한다고 믿었던 그리스의 ‘철학자‘였기 때문이다. - P95
고대 그리스의 대수 문제에 관하여 가장 훌륭한 정보를 제공하는 것은 <팔라틴 선집>(Palatine Anthology) 또는 <그리스 선집>(Greek Anthology)이라고 불리는 책이다. 이 책에는 46개의 문제가 수사적으로 서술되어 있다.
이 책은 서기 500년경에 문법학자인 메트로도루스(Metrodorus)가 편집하였는데, 이 책에 수록되어 있는 대부분의 문제는 훨씬 오래 전부터 있었던 것으로 알려져 있다. 이 문제들은 플라톤이 기분 전환을 위하여 생각했던 문제들이고, 린드 파피루스(Rhind Papyrus)에 있는 문제와 매우 유사한 것들이란 것이 이를 증명해준다. - P99
다음은 데모카레스(Demochares)의 나이를 묻는 문제이다.
"데모카레스는 일생의 1/4을 어린이로, 1/5을 젊은이로 살았고,
1/3을 어른으로 살았으며, 13년을 늙은이로 살았다."
그럼 데모카레스는 몇 년을 살았을까? - P100
한 가지 더, 사과의 개수를 묻는 문제가 있다.
"여섯 사람 중 네 사람에게는 각각 전체 사과의 1/3, 1/8, 1/4, 1/5을 주고 다섯 번째 사람에게는 10개, 여섯 번째 사람에게는 1개의 사과를 주었다."
사과는 모두 몇 개일까? - P100
<산학>에 나와 있는 재미있는 문제 몇 가지를 보자.
Des제 II 권 문제 28 : 두 개의 제곱수로 그깃들의 곱을 각각에 더하면 다시 제곱수가 되는 두 개의 제곱수를 찾아라.
디오판투스의 답 : (3/4)², (7/24)².
- P102
제 III 권 문제 6 : 세수의 합이 제곱수이고 임의의 두 수의합도 제곱수가 되는 세 수를 찾아라.
디오판투스의 답 : 80,320, 41 - P103
제III권 문제 13 : 세수에 대하여, 임의의 두 수의 곱을 나머지수에 더했을 때 제곱수가 되는 세수를 찾아라. 현재 이 문제에 대한 디오판투스의 답을 찾을 수 없다. - P103
제IV권 문제 10 : 두수의 합이 그 두수의 세제곱의 합과 같은 두 수를 찾아라.
디오판투스의 답: 5/7, 8/7
제VI권 문제 1 : 빗변에서 다른 한 변을 뺀 값이 각각 세:제곱인 피타고라스 삼각형을 찾아라.
디오판투스의 답 : 40, 96, 104. - P103
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