이제 수학자의 작업 방식을 살펴보고 그 과정을 간파해 보자.
이는 쉬운 일이 아닌데, 저작들을 무작위로 펼쳐 보고 아무런 증명이나 분석을 하는 것만으로는 충분하지 않기 때문이다. - P21
그런데 또 다른 선택이 필요하다. 수론의 고급 분야에서 본래의 수학적 개념은 이미 분석하기 어려울 만큼 깊이 정교화되었다. - P21
초심자는 진정한 수학적 엄밀성에 대해 준비되지 않아 이를 쓸데없고 지겨운 궤변 정도로 치부할것이기에, 일찍부터 많은 요구를 하게 만드느라 시간 낭비를 할 필요는없다. 하지만 초심자는 수학의 창시자들이 천천히 가로질렀던 길을 신속하게 지나가되, 단계를 건너뛰지는 말아야 한다. - P22
우리의 목적에서 벗어나지 않으려면 가장 기본적인 정리들을 다시 증명해야 하며, 이는 초심자들의 싫증을 막기 위해 준비한 조잡한 형태가 아니라, 숙련된 수학자들까지도 만족시킬 수 있는 형태여야 한다는 것이다. - P22
그런데 이 단조로움 자체가 바로 단계마다 나타나는 일률적인 절차를 더욱 강조하는 것이다.
이 절차란 바로 회귀적 증명이다. 즉, 먼저 어떤 정리를 n = 1에 대해 확립하고, 다음으로 n-1 일 때 참이라면 n일 때도 참이라는 것을보여 주고 나서 이로부터 모든 정수에 대해 참이라는 결론을 내리는 것이다. - P26
잘 살펴보면 이러한 추론 방식이 지금까지 부여했던 간단한 형식으로든, 다소 변경된 형식으로든 도처에 존재한다는 것을 알 수 있다. - P27
이해를 돕기 위해 삼단논법을 차례로 명시해 보자. 이러한 표현이 용인된다면, 삼단논법은 마치 폭포처럼 연속적으로 배열된다고 할 수 있다.
이는 물론 가언적 삼단논법이다.
정리는 1에 대해 참이다.
그런데 1에 대해 참이라면 2에 대해서도 참이다.
따라서 정리는 2에 대해 참이다.
그런데 2 에 대해 참이라면 3 에 대해서도 참이다. - P27
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