이 책을 누가 선물해 줬었었나? 알라딘 ‘가지고 싶은 목록‘에 있었던 것으로 기억하는 책인데.
수학적 진리들은 완벽한 추론의 연쇄에 따라 소수의 자명한 명제로부터 이끌어지는데, 이러한 명제는 우리뿐만 아니라 자연 자체에까지 따르도록 강요한다. 이를테면 창조주마저도 속박되어 비교적 많지 않은해들 가운데서 선택하는 것만 허용되는 것이다. - P9
바로 여기에 세상의 많은 사람, 특히 처음으로 물리학의 기초 지식을받아들이는 학생들이 생각하는 과학적 확실성의 기원과 그들이 이해하는 실험과 수학의 역할이 있다. - P9
이 마지막 부류의 가설은 특히 수학과 이에 밀접한 과학에서 마주치게 되는데, 이러한 과학은 바로 이로부터 엄밀성을 획득하는 것이다. 규약은 이 영역에서 어떠한 방해도 받지 않는, 자유로운 지성적 활동의 소산이다. - P10
과학의 기초적 원리 속에서 이러한 규약의 자유로운 성격을 발견하고는 충격을 받은 이들도 있었는데, 그들은 제한 없는 일반화를 바라면서도 자유는 자의적인 것과는 다르다는 사실을 잊고 있었다. - P11
수학의 가능성은 그 자체로 풀 수 없는 모순인 것처럼 보인다. 만일 수학이 단지 겉으로만 연역적이라면, 그 누구도 의심하지 않는 완벽한 엄밀성은 어디서 유래할까? 만일 반대로, 수학이 명시하는 모든 명제가 형식논리학의 규칙에 따라 각각 도출된다면, 왜 수학은 거대한 동어반복으로 귀착되지 않을까? - P17
분명 우리는 모든 추론의 원천에 있는 공리로 거슬러 올라갈 수 있을것이다. 설령 공리가 모순율로 환원될 수 없다고 판단되고, 그것이 수학적 필연성에 관여할 수 없는 경험적 사실이라고 인정하고 싶지 않아도아직 우리에게는 공리를 선험적 종합판단으로 분류할 방편이 있다. - P18
그 증명에 새로운 공리가 개입되지 않으면 어떤 정리도 새로울 수 없고, 추론을 통해 우리는 직접적 직관에서 빌려온 즉각적으로 명백한 진리만 부여받을 수 있다. 추론은 쓸데없는 매개자에 불과한 것이므로 모든 삼단논법적 장치는 오로지 우리의 빚을 감추는 데만 쓸모 있는 것은아닌지 자문하게 되지 않을까? - P18
결국 수의 과학이 순수하게 분석적이었다면, 즉 몇몇 종합판단으로부터 분석적으로 도출될수 있었다면, 예리한 지성은 그 모든 진리를 한눈에 알아차릴 수 있었을것이다. 어디 그뿐인가! - P18
만일 이러한 귀결을 받아들이지 않는다면, 수학적 추론은 그 자체로 일종의 창조력을 갖추고 있으므로 삼단논법과는 구별된다는 것을 인정해야 한다. - P19
|