"지구에서 70kg이 넘는 새끼를 낳는 동물은 코끼리와 고래밖에 없다.
그런데 대통령의 몸무게는 75kg이다.
따라서 대통령의 모친은 코끼리 아니면 고래임이 분명하다."
-스테판 서머슨
다른 특별한 경우에 공리의 응용 가능성을 놓고 논쟁을 벌일 수는 있다. 수학이론을 현실세계에 적용할 때에는 "이 세계는 공리에서 말한 대로 작동하는가?"라는 질문을 당연히 제기해야 한다. 그러나 이런 질문은 이론의 일부가 아니어서, 실험을 통해 답을 찾는 수밖에 없다. 이와마찬가지로 군론을 수학의 다른 분야에 적용하려면, 적용대상이 군인지부터 확인해야 한다. 군이 아니라면 당연히 군론을 적용할 수 없다.
그러나 적용이 불가능하다고 해서 군론에 문제가 있는 것은 결코 아니다. "군론의 공리는 참인가?"라는 질문은 아무런 의미도 없다. 절대적인기준에서 볼 때 공리는 참이 아니지만 적용대상에 따라 참일 수도 아닐수도 있다. - P191
유클리드가 제시했던 주요 공리는 다음과 같다.
(1) 임의의 두 점은 하나의 직선 위에 놓여 있다.
(2) 두 개의 직선은 한 점에서 만난다.
(3) 길이가 유한한 임의의 직선은 원하는 만큼 길게 늘일 수 있다.
(4) 영화의 곁을 중심으로 임의의 반지름을 갖는 원을 정의할 수 있다.
(5) 모든 지각은 동일하다.
(6) 하나의 직선과 그 위에 있지 않은 한 점이 주어졌을 때, 이 짐을지나면서 원래의 직선과 평행한 직선은 하나밖에 없다.
(유클리드의 서술을 현대식 수학 언어로 번역한 것임) - P192
영국의 수학자이자 분석가였던 고드프리 해럴드 하디 Godfrey HaroldHardy는 어느 날 저녁식사 자리에서 이런 이야기를 꺼냈다가, 한 회의론자로부터 "2+2=5라는 가정하에 맥태거트McTaggart 가 교황임을 증명하라."는 주문을 받고 잠시 생각에 잠겼다가 이렇게 대답했다. "우리는2+2=4임을 이미 알고 있으므로 당신이 제시한 가정에 따르면 54 이며, 양변에서 3을 빼면 2 = 1이다. 그런데 맥태거트와 교황은 두 사람(2)이므로, 결국 둘은 한 사람(1)이다."
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