• 행렬식이 0일 때와 0 아닐 때
행렬식 값이 0인 행렬과 0이 아닌 행렬 간에는 중요한 차이가 있다. 3×3 행렬의 행렬식을 계산하면 기하학적으로 그 차이를 이해할 수 있다. "u, v, w"를 변으로 하는 평행육면체의 부피눈 벡터 "u, v, w"를 행으로 구성하는 행렬의 행렬식과 같다는 것을 기억하자. 행렬식이 0이면 행렬의 행 중 적어도 하나가 다른 형의 선형결합을 의미한다. 이 행렬식에 대응하는 기하학적 모양은 높이가 0으로 평평해져서 2차원의 평행육면체가 되므로 부피는 0이 된다. 즉, 평행사변형이다. 행렬식이 0이면 행렬이 불충분 Deficient하다고 표현한다.
반면, 행렬의 행렬식이 0이 아니라면 그 행렬의 행들은 선형독립이다. 이 경우 행렬식을 계산하면 실제 평행육면체의 부피와 같다. 행렬식이 이 아닌 경우 행렬이 충분하다고 표현한다.
어떤 행렬에 대해 행연산을 수행할 때 행렬식이 0인 행렬과 0이 아닌 행렬의 성질은 변화지 않는다. 행렬 A의 행렬식이 0이 아니라면 그것의 기약행사다리꼴 행렬의 행렬식도 0이 아니라는 것을 알 수 있다. 어떤 행렬의 기약행 사다리꼴 행렬 RREF에서 0이 아닌 행의수를 그 행렬의 랭크라고 한다. 행렬 A의 RREF에 n개의 피빛이 포함되어 있는 경우,
행렬 A는 풀 랭크 full rank 라고 한다. 행렬 A의 RREF가 0 의 행을 포함하면, A는 풀 랭크가 아니고 det (A) = 0이 된다. 반면에 det(A) not= 0이면 rref(A) = 1이다. - P211