1. 예전에는 ˝논리학은 세계에 대해 말하지 않는다˝...

1. 예전에는 ˝논리학은 세계에 대해 말하지 않는다˝는 러셀의 말이 퍽 인상깊었다 전제가 참<일 경우> 결론도 필연적으로 참<일 수밖에 없는> 관게를 다루는 게 논리학이라면, 전제가 실제로 참<인지> 여부를 따지는 일은 논리에 속하지 않는다 그 일은 세계에 대해 말하고자 하는 여타 분과학문들의 소관이다 논리학은 세계에 대해 말하지 않는다 세계에 대해 말하는 것은 실증과학이고, 논리학은 그 과학들이 말하는 것들 간의 논리적 관계만을 다룬다 ˝논리, 그것은 그 스스로에 대한 의무일 뿐이다˝라는 비트겐슈타인의 말도, ˝논리는 논리를 위한 것일 뿐˝이라는 다자이 오사무의 말도, 나는 그렇게 이해하고 넘어갔다

2. <논리적 관계>라는 것을 우리는 명확히 이해하고 있는가? 전제가 참일 경우 결론이 반드시 참일 수밖에 없다는 그 논리적 관계를 우리가 진정 이해하고 있을진대, 하면 우리는 무언가가 참이라는 것을 진정 이해하고 있는가? 가장 포괄적인 의미에서의 참 개념을 우리는 견실하게 이해하고 있는가? 여기서 참에 대해 으레 상당히 포괄적으로 제시되는 조건을 논리적 귀결개념에만 걸맞게 약화시켜 논리학에서의 참이란 논리적 형식에 의해서 참이 되는 것이라 할진대, 그럼 그 때 우리는 <논리적 형식>이랄 것을 진정 가지고 있는가? 직관주의자가 수학에서 건져내는 논리적 형식은 무엇인가? 일상적 논쟁이나 인터넷상 키배에서 우리는 ‘니 논리대로라면 여차여차하다‘라는 말을 자주 쓴다 이 때 말해진 <논리>란 형식논리에서의 논리가 아니라 외려 그 진술에서 선제되는바 세상의 어떤 이치, 법칙, 당연한 귀결관계 등지로 이해되어야 하는데, 이렇게 이해된 바로서의 논리적 형식이란 과연 무엇인가? 우리가 이해하고 있다고 여기는 논리적 형식이 그렇게 이해되는 소이연은 결국 우리가 세계를 이해하고 있다고 여김이 아닌가? 논리적 귀결관계가 전제에 따른 필연적 참됨의 보존성에 달려 있다면, 필연적 참됨 개념에 대한 이해란 우리가 갖는바 세계 전체 혹은 세계의 특수 부분을 관장하는 이치에 대한 이해와 마찬가지 아니겠는가? 그럼 헤겔이 옳았다는 건가?ㅡ논리와 이성과 실재는 결국 하나이고 하나여야 하는 방향으로 전개되는가? 헤겔을 원용한 셀라스와 브랜덤은 이에 러셀에 반하여 ‘논리학은 세계에 대해 말하기 때문에 그리고 오직 그 때문에 논리학일 수 있다‘는 식의 체계를 전개한 것인가? 비트가 수학적 명제의 참이란 형식에 의한 동어반복일 뿐이라 정의한 데에 러셀이 고통스러웠던 이유도, 그 형식에 의한 동어반복이란 개념이 므엇임지 하나도 찾아내지 못했다던 이유도, 결국 그도 은연중에 수학이 세계에 대해ㅡ혹은 뭐가 되었는 논리 이외의 것에 대해 개입하고 있음을 직관적으로 감지하고 있었기 때문은 아니겠는가? 우리는 결국 삶에서 많은 논리<들>을 이야기하며 살 수밖에 없지 않은가? 수학의 논리, 자연과학의 논리, 역사의 논리, 문학과 예술의 논리, 인생의 논리ㅡ개중 형식논리가 스스로에 대한 권리를 요구할 수 있는 자리는 어디 있는가? 직관주의논리 다치논리 퍼지논지 초일관논리 등, 일탈논리 내지 논리적 다원주의를 지향하는 입장들이 대두한 근본적인 이유는, 논리가 이렇듯 최종적으로는 논리만을 위한 건 아니라는 착상에 뿌리를 두고 있는 현대적 시대상에 기인한 게 아닐까?

3. 논리학 역시 언어로 된 체계이다 콰인에 따르면 언어체계는 자극에 따른 반응을 현시하는 성향들이 조직화된 체계이다 논리학은 특정 언어적 자극에 대한 언어적 반응성향을 현시하는 성향, 즉 언어적 성향에 대한 성향으로서의 메타-성향이다 골자는, 논리적 체계 역시 어디까지나 자연적 자극-반응의 테두리 내에서 조율되는 전체론적 체계의 일부로서, 전체 체계를 고려하건대 자극-반응 간 입출력 관계가 상당부분 미결정적일 경우 논리학 역시 수정될 여지가 있다는 점이 부정될 수 없다는 것이다 언어 학습 및 현시에 대한 여타 언어학적 심리학적 인지과학적 이론들을 차치하고, 막연한 수준에서 콰인의 자연주의와 (언어 특정화된)전체론을 받아들인다면, 콰인이 주장하는 바와는 반대되게도 논리적 다원주의는 필수인 듯하다 다만 이를 거부하는 콰인 최후의 보루는 그의 과학주의 내지 물리주의지만(이런 점에서ㅡ즉 그가 이해한 <이성>이란 것이 <과학적 이성>이란 점에서ㅡ콰인은 과학주의적 헤겔주의자였다), 그 요소가 논리학(및 수학)이라는 요소와 맺고 있는 전체론적 망-관계가 나는 상당히 약하다고 본다 다르게 말해 논리학이 과학의 시녀가 될 필요가 없을 정도로는ㅡ즉 과학적 존재론의 언어를 규율짓고 정돈하는 역할에만 머물 필요는 없을 정도로는ㅡ자율적일 수 있으며, 따라서 과학적, 물리주의적 일원주의와는 별도로 다원적일 수 있다고 본다(다원주의를 제외하면, 페넬로페 매디는 수학에 대해 이런 성격의 자율성을 옹호한 셈이다) 그럼 다시 제시되는 선택지는 몇인가?ㅡ우리는 자연주의적 의미론과 함께 논리적 다원주의를 받아들이든지, 혹은 자연주의를 받아들이되 콰인식으로 정통적인 1계술어논리만을 오롯이 적법한 논리학으로 받아들이든지, 둘 다를 무시한 채 논리 자체를 위한 추상적 논리체계를 단지 형식과학으로서 계속 구성하든지, 이도저도 아니하고 그저 삶을 살아내든지, 그러면 결국 말년의 비트처럼 철학을 하지 말아야하는지ㅡ이외의 또다른 선택지인가?

4. 분명한 건, ˝논리학은 세계에 대해 말하지 않는다˝는 러셀의 철학적인 말도, ˝논리학과 윤리학, 그것은 그것 스스로에 대한 의무일 뿐이다˝라는 비트의 현실적이고 체념적인 말도, ˝논리는 논리를 위한 것일 뿐˝이라는 다자이의 문학적인 말도, 각각 어떤 면에서는 이제 올바르지 않은 말들이 되었다는 것이다

[마이리뷰] 철학의 모든 것

철학의 모든 것
요나스 피스터 지음, 손영식 외 옮김 / 북코리아 / 2019년 2월

철학의 하위 분야별 주요 주제들을 철학사 순으로 간략하게 정리한 개론서이다 모든 내용이 간결하고 압축적인 논증과 반박논증으로 구성되어 있어 철학사에서 굵직한 주제들과 그에 대한 주요 철학자들의 입장을 개략적으로 포착할 수 있다 배치는 철학사 순이지만 철학사 책이라기보단 주제별 입문서라 봐야겠다 논의가 극히 개괄적이고 피상적이어서 숙달자에겐 필요가 없고, 이제 갓 입학한 철학과 학부 1년생 내지 철학사 교양강의를 수강하는 대학생에게 보조수단으로 추천될 법하다 적당한 독서역량과 더불어 추상적이고 생경한 논의에도 기죽지 않을 지적 배짱을 갖추었다면 고등학생이 읽기에도 무리가 없겠다 간략하고 기초적인 교과서같은 느낌의 책이기에 지적 흥미를 느끼며 읽을 교양서로는 적합지 않고, 쉬운 난이도와 피상적인 논의로 인해 반복적으로 활용할 책으로도 요긴한 편이 아니니, 어떤 목적을 염두에 두든 구매소장보다는 빌려서 일별하기를 추천한다

사족. 다뤄지는 주제뿐만 아니라 주제에 대한 접근법 역시 영미철학 내지 분석철학쪽으로 다소 치우쳐 있다 이는 20세기 철학이 다뤄지는 4부에서 저자가 명시적으로 언급하는 점이기도 하다 그러니 초심자라면 좀 더 균형있는 시각을 위해 비슷한 분량과 난이도에서 대륙철학 위주로 쓰인 남경태, ˝한눈에 있는 현대철학˝을 병행하여 읽는 것도 좋겠다

십오년전 여름이었다 하루가 멀다 하고 때려부시며 엄마...

십오년전 여름이었다 하루가 멀다 하고 때려부시며 엄마아빠 싸우는 소리에 주말 새벽에도 잠을 설치다가 둘 다 지쳐 잠들어 조용해질 늦은 오전 즘이면 숨죽여 거실로 나와 에어컨도 없이 선풍기 하나 틀어놓은 채 하염없이 맑고 파랗고 투명한 배경으로 하얗게 웃는 구름들 흐르는 창밖 풍경만 벗삼아 헤겔의 역사철학강의나 하이데거의 존재와 시간을 읽던 여름방학이었다 즐거운 기분이라곤 하냥 없이 외롭고 괴롭고 좆같기만 하던 기억인데 헤겔도 하이데거도 읽은지 몇 년은 좋이 지나 지랄맞은 한파에 살만 에이는 한겨울밤, 왜 문득 추억으로 솟아대는 일인지, 모르다가도 모를일이다

논리로 보는 패러독스 패러독스로 배우는 논리

논리로 보는 패러독스 패러독스로 배우는 논리
손병홍 지음 / 새문사 / 2016년 7월

 뚜렷한 주제의식 하에 깔끔하고 알뜰하게 구성된 초중급 교양 논리학 저서이다. 제목에 충실하게도, 철학사의 주된 역설들을 기초적인 논리학 수준에서 분석하고 재구성하여 평가하면서, 그 과정에서 자연스럽게 여러 역설과 얽힌 논리적, 철학적, 수학기초론적 사안과 쟁점들을 초보적인 수준에서 논구 및 해설해준다. 가장 큰 특징이자 장점은 책 전체에 걸쳐 모든 역설들을 자연언어로 준형식화하여 논증으로 재구성함으로써, 해당 역설의 도출과정에서 어떤 지점에 논리적, 의미론적, 철학적으로 문제성이 있는지를 분명하고 깔끔하게 드러내고자 하였다는 점이다. 기초적인 논리학 지식이 있다면 무리 없이 수월하게 읽을 수 있겠으나, 논리학을 학습해본 적 없는 사람이어도 통상적인 논리적 직관만으로 충분히 논의를 따라갈 수 있게끔 서술되어 있다. 철학적으로 적잖이 복잡하고 난해한 주제임에도 이렇듯 초보자에게 접근성이 좋은 탁월한 교양서이니, 개인의 기호와 관심하는 정도에 따라 구매소장도 적극 추천할 법하다. 

 절판되긴 했지만 입수하거나 이용할 경로가 있다면 야마오카 에쓰로의 "거짓말쟁이 역설"을 함께 읽는 것도 좋겠다. 이 책과 비슷한 분량과 난이도로 쓰였으면서 이 책에 제시된 바보다 좀 더 다양한 접근법이나 이론들을 조금 더 상세하게 제시하고 있으니, 이 책으로 먼저 입문한 뒤 개괄적으로 이해한 바를 보강 및 확장하기에 매우 적합하겠다. 

273-8쪽

(15장, 구문론으로의 도정, ‘단일언어 프로젝트’ 절 중)

이 글[「보편적인 공리적 방법에 관한 탐구Untersuchungen zur allgemeinen Axiomatik」]의 목적은, Hilbert의 메타수학에서 증명론 및 모형론의 기초적인 개념들을 유형-이론적 언어type-theoretic language 내에서 형식적으로 해명하되, 단 여기서 고려중인 언어가 대상언어object language라는 표준적인 가정을 제거한 채로 이 작업을 수행하는 것이라 묘사해볼 수 있다. 사실상 Carnap의 목표는, 당시 메타수학 분야에서 증가하고 있던 경향으로서 기초론적 논의에 대한 Hilbert식의 두 층위 언어적 접근two-language approach에 반대하여, Russell식의 단일언어적monolinguistic 접근을 취하는 것이었다. (273-4)

(中略)

Carnap이 「탐구」를 쓴 직접적인 계기는 Fraenkel의 『입문』 [『집합론 입문Einleitung in die Mengenlehre』]에 있는 구절로서, 거기서 Fraenkel은 당시 메타수학에서 가장 핵심적인 개념들 중 하나였던 완전성completeness 개념이 지닌 애매함을 논의한다. 논문의 18절에서 Fraenkel은 공리체계axiom system(이후 AS로 약칭)와 관련하여 명백히 다른 세 가지의 완전성 개념을 도입한다. (274)

(中略)

다음으로 Carnap은 동형성isomorphism을 분석하기 시작한다. 가장 단순한 경우로서 동일한 유형에 속하는 두 관계 P와 Q에 대해, 동형(P, Q)isom(P, Q)라는 관계는 PMPrincipia Mathematica에서와 동일하게 정의된다. 거기서 이 개념은 할당되는 유형과 무관하게 임의의 관계체계들 간의 관계들로까지 정교하게 확장된다. 이러한 동형성 개념을 활용하여 Carnap은 다음과 같은 두 가지 종류의 공리들(혹은 AS들) 간의 구분을 도입한다: 바로 형식적formal 공리와 실질적material 공리로서, 전자는 하나의 모형model과 동형적인 모든 구조structure들 역시 그 모형으로 갖는 공리이며, 후자는 형식적이지 않은 공리이다. Carnap이 이러한 구분을 도입하는 요점은 다음과 같이 설명될 수 있다: 다음과 같은 세 가지 주장들로 이뤄진 특정 공리체계 T를 생각해보자: 세 개의 R-항들R-terms이 존재하는데, 각 항은 관계 R 내의 여타 두 항을 나타내며, R은 反반사적irreflexive이다. 직관적으로 우리는 T가 Fraenkel이 말한 의미에서 불가분기적(分岐的)nonramifiable이라 말할 것이다. 왜냐하면 T는 R의 “형식form”을 결정하기 때문이다. 하지만 사소하게 우리는 T를 무한하게 많은 공리들로 “분기ramify”시킬 수 있다. 가령 ‘수 20은 하나의 R-항이다’와 같이 그것 자체와 그 부정문 모두 T와 일관적으로 결합될 수 있는 공리들로 분기시킬 수 있는 것이다. 하지만 모든 그런 분기화들이 공통적으로 갖는 측면은, (우리가 말하듯이) 非논리적 원초용어nonlogical primitive들에 대한 (부분적인) 해석interpretation을 제공하는 것이거나, 혹은 (Carnap이 말하듯이) R의 특성 및 그 항들의 본성에 관해 무언가를 주장하는 것이다. R의 “형식”에만 관계하는 주장들로 국한할 경우 T의 그 어떤 분기화도 가능하지 않으며, 이러한 직관이 바로 Carnap이 형식과 내용 간의 대비를 설명함으로써 포착하고자 했던 바이다.

이로써 Carnap은 Fraenkel이 제시한바 복수의 완전성 개념들을 해명해낼 채비를 갖추게 된다. 먼저 Carnap은 Fraenkel이 두 번째로 제시한 불가분기성nonramifiability(nichtgabelbarkeit)에서 시작한다. 우선, g(R)과 —g(R)이 각각 모순 없이 f(R)에 결합될 수 있을 경우(즉 f(R)&g(R)과 f(R)&―g(R) 모두가 일관적consistent일 경우), 공리체계 f(R)은 g(R)로 분기될 수 있다. 모든 형식적 공리 g(R)에 대해 AS가 g(R)로 분기될 수 없을 경우, 그 AS는 불가분기적(nicht-gabelbar)이다.

Freankel의 세 번째 완전성 개념(Carnap의 “단형적(單形的)(일형적)monomorphic”. Huntington의 “충분한sufficient”, Veblen의 “정언적categorical”, Fraenkel과 Weyl의 “완전한”)은 다음과 같이 정의된다: 한 AS는 그 모든 모형들이 동형적일 경우 단형적이다.

다음으로 Carnap은 상기 두 완전성 개념 간의 연관성을 설명한다. (E)(f&g)일 경우 f는 g와 양립가능compatible(verträglich)하며, 그 연언이 非일관적일 경우 즉 (Eh)((f&g)→(h&―h))일 경우 양립불가능incompatible(unverträglich)하다. 이어서 그는 ‘f와 g는 양립 가능하다’가 ‘f&g는 만족된다satisfied’, ‘f&g는 일관적이다’, ‘―g는 f의 귀결consequence이 아니다’ 등과 동치임을 증명한다. 또한 f와 g가 양립가능하다면, f는 만족된다. f와 g의 양립불가능성은 f&g의 비일관성 내지 공허성emptiness과 동치이며, f로부터 ―g가 따라나온다follow는 주장과 동치이다(「탐구」, 80b쪽).

f(R)이 g(R)로 분기가능하다는 말은, g가 형식적이고 f&g 및 f&―g가 만족가능하다satisfiable는 말과 동치이며, 또한 g가 형식적이고 g와 ―g 그 어느 쪽도 f의 귀결이 아니라는 말과도 동치이다(80b-81a쪽). Carnap은 ‘다형적(多形的)polimorphic’과 ‘분기가능한’이 동등한 개념이라고 결론내린다.1)

1) Tarski는 「연역이론의 표현수단이 지닌 한계에 관하여On the Limitation of the Means of Expression of Deductive Theories」(1935, LSM[『논리학, 의미론, 메타수학Logic, Semantics, Metamathematics』])에서 모든 정언적 공리체계가 불가분기적임을 증명했다. 그 논문의 註 1에서(384쪽) 밝히길 이 정리는 1927년에 발표되었으며 그 결과는 “Abraham Fraenkel의 〔『입문』〕 352쪽의 각주3에서 언급되었다”고 Tarski는 진술한다. 혹여 Carnap이 이미 알려져 있던 결과를 그저 되풀이한 데 지나지 않는다고 독자들이 오해하지 않도록 하기 위해, Fraenkel의 각주에서 이와 연관된 부분으로서 완전성에 관한 당시의 수학적 연구에 관해 언급하는 대목을 여기 인용해둔다: “이에 관해서는 가령 Dubislav 및 … Carnap … 등을 보라(뿐만 아니라 이 저자들의 더욱 깊이 있지만 미출간된 저술들 및 A. Tarski의 저술 역시 참조할 것).” 여기서 Carnap의 “미출간 저술”이란 아마 「탐구」를 가리킬 것인바, Fraenkel은 그 원고를 읽은 적이 있다.

마지막으로 Carnap은 Fraenkel의 첫 번째 완전성 개념인 결정가능성decidability 개념을 설명한다. 공리체계 f(R)가 만족되고 모든 형식적 g(R)에 대해 그것 자체나 그 부정이 f(R)의 귀결일 경우, f(R)은 (a-)결정가능(a-)decidable(entscheidungsdefinit)하다. 이에 대응하는 c-개념은, 모든 g(R)에 대해 “각각의 경우 그 귀결이 정립될 수 있는 절차가 제시될 수 있다”고 진술한다(「탐구」, 95b쪽).

이러한 설명들을 고려해보건대 Carnap은 결정가능성 개념이 불필요한(잉여적인) 것이라 주장하였다. 왜냐하면 a-결정가능성은 앞선 두 가지 완전성 개념과 동치이며, c-결정가능성 개념은 공허한 개념으로 남을 여지가 많기 때문이다. Carnap이 이 마지막 주장을 견지한 이유는, 임의의 AS의 c-결정가능성은 PM에서 구현된 바대로의 수학 전체가 지닌 c-결정가능성과 동치임이 보여질 수 있다고 생각했기 때문이다. 완전성 개념을 해명한다는 목표는 이러한 탐구를 통해 달성된다. (277-8)

cf) 어떤 공리정식들 집합에 포한된 논리외적 기호에 대해 두 가지 종류의 서로 다른 해석이 모두 참을 산출하고, 이런 해석 하에서 정식에 따라 기술된 사물의 체계가 공리체계에 있는 모든 항목item에 대해 다른 체계의 항목이 유일하게 대응되도록 서로 관계한다면, 그 두 해석은 동형적isomorphic이라고 말한다. 더 나아가 한 특정 공리적식들 집합에 대한 가능한 (때로는 모형model이라 불리는) 해석의 모든 결과가 서로 동형적이라면, 공리들 집합은 정언적categorical 내지 일형적monomorphic이라 불린다. 이러한 개념은 1887년 데데킨트에게는 익숙했다. 다만 ‘정언적’이라는 명칭은 논리학자 듀이의 제안에 따라 1904년 베블런이 도입했다. 아마도 베블런과 듀이는 정언적 명제와 선언적 명제의 대비를 염두에 두었던 것 같다. 그러나 본디 ‘정언적’이란 ‘비선언적non-disjunctive’이라기보다는 오히려 ‘서술적predicative’임을 의미한다. 그리고 이와는 별도로 그 단어는 여타 맥락에서 과다하게 사용된다는 단점이 있다. 그러므로 공리들의 일형적 집합과 다형적 집합을 구분한 카르납을 따르는 편이 더 좋을 듯하다.

일형적 공리집합은 암묵적 정의 프로그램을 완전하게 수행해낸다. 왜냐하면 암묵적 정의에 나타나는 정식을 서로 다르게 해석할 수 있다 하더라도, 그런 해석들은 모두 동일한 논리적 구조를 지니고 따라서 순수하게 형식적인 기준들로는 구분할 수 없기 때문이다. 어떤 공리집합이 일형적이라면, 동일한 기호법으로 좀 더 많은 공리를 부가함으로써 그 정식에 있는 논리외적 기호들의 의미를 더욱 상세하게 만들려는 시도는 쓸데없는 일이다. 왜냐하면 우리가 어떤 정식을 선택하든지, 그 정식이나 그 공리정식들의 부정은 이미 그것을 허용하는 모든 해석 하에서 참이라는 의미에서 그 공리정식들의 귀결이기 때문이다. 그러나 이것이 일형적 공리집합이 어떤 식으로도 결코 유용하게 확장될 수 없음을 뜻하지는 않는다. 다른 기하학의 예를 생각해보면 매우 분명하게 알 수 있듯이, 일형성monomorphism은 항상 어떤 원초primitive개념이라는 도구에 대해 상대적이다.

- W. and M. Kneale, 『논리학의 역사 2』, 박우석 外 譯, 한길사, 2015, 24-5쪽.