미적분의 힘

미적분의 힘 - 복잡한 세상을 푸는 단순하고 강력한 도구
스티븐 스트로가츠 지음, 이충호 옮김 / 해나무 / 2021년 9월

미적분을 총괄하는 책이다. 이 책의 좋은 점은 미적분의 수학적 내용을 설명하면서도 실용적 가치를 부각하기 때문이다. 나는 미적분이 왜 고등학교에서 선택과목으로 '전락'했는지 의문인 사람이다. 그 많던 내용이 수학에서 빠지면서 미적분은 오래전부터 수학교육에서 지위를 잃어갔다. 미적분이 없으면 휴대폰, 컴퓨터, GPS도 없고 사람을 달에 보내는 일도 없었을 것이다. 우주도 미적분의 비밀을 품고 있다. 과장 보태 세상 만사를 움직이는 힘이 미적분이라 해도 과언이 아니다.

이 책은 무한으로부터 이야기를 시작하고 있다. 원넓이를 구하기 위해 무수히 많은 피자조각을 붙여 나열하여 직사각형 넓이 구하기로 환원하는 아이디어로부터 순환소수 0.33...=1/3을 실무한과 가무한으로 해석하는 것, 그리고 이로부터 0으로 나누는 것의 혼돈상황과 제논의 역설까지 다루며 1장부터 상당히 깊이 있는 수학을 다룬다. 2장에서도 이어서 원주를 정96각형을 이용해 실진법으로 구한 아르키메데스의 이야기가 나온다. 그는 포물선의 구적법으로 포물선 활꼴 넓이를 구했다. 아르키메데스가 쏘아올린 작은 공이 어떻게 <아바타>나 <토이 스토리>인물 구현에 역할을 하는지 이어지는 스토리가 자연스럽게 전개된다.

무한은 미적분의 기초다. 실무한으로서의 무한소수를 품고 있는 실수가 실재하기 때문에 모든 것을 연속적인 것으로 간주해샤 한다고 주장하는 미적분이 실수로 정량화될 수 있고 끝없이 잘게 쪼갤 수 있다는 극한의 개념을 토대로 미적분이 설 수 있다.

케플러와 갈릴레이의 등장은 미적분을 운동의 세계로 가져다 놓았다. 그들이 없었다면 GPS도 없었다.

4장은 미분과 적분이라는 두 가지 상이한 개념이 어떻게 지금처럼 미적분으로 붙어다니는지 얘기하고 있다. 융성했던 기하학이 쇠퇴하고 대수학이 각광을 받으면서 두 영역이 자연스레 결합된다. 그 중심에 데카르트가 있다. 오늘날 고교 수학도 모두 데카르트가 시작점이 된 해석기하학으로 전개되고 있다. 미적분학과 최적화는 데이터 압축에 큰 영향을 미쳤는데 그 중심에 있는 페르마의 업적을 소개한다. 페르마는 마지막 정리로 유명하지만 미분학을 물리학에 적용하기를 시도한 첫 학자다. 이것이 우주의 작동 시스템에 미적분이 내장되어 있음을 시사한 초기 단서가 된다.

중간에 등장하는 지수와 로그, 도함수, 선형함수의 정의 등은 독자가 이 책을 이해하기 위해 필요한 지식을 제공한다. 7장에 들어서서 본격적으로 뉴턴과 라이프니츠가 운동과 곡선을 미적분학으로 탄생시킨 배경이 등장한다. 드디어 dy/dx가 등장하는 것이다. 이 둘은 서로 다른 경로를 통해 미적분학의 기본정리를 발견했다. 뉴턴은 연속적인 대상인 운동과 흐름에 대해 생각하다가, 라이프니츠는 미분소를 통해 미분을 도입했다. 미분소는 HIV 즉 사람 면역 결핍 바이러스를 이해하고 치료하는데 도움을 주었다.

9장부터는 우주의 이야기다. 우주는 미지의 세계이긴 하지만 논리적인 공간이다. 자연을 하나의 메커니즘으로 묘사한 뉴턴 이후 물리학과 미적분학의 계몽 시대를 후반부에 소개하고 있다. 편미분/상미분 방정식 내용이 나오기 때문에 학부 3학년 이상을 거치지 않으면 내용이해가 어려울 수 있다. 개인적으로 마지막 부분이 가장 이해하기 어려웠는데 파동 이야기의 등장으로 푸리에 급수가 등장하고 다시 이것이 의학에서 X선, CT등에 수학이 어떻게 영향을 주었는지 서술하며 광범위한 미적분학의 미래에 대해 설명하기 때문이다. 물리학이 왜 수학 친구인지, 생명과학은 왜 수학과 친구를 먹어야만 하는지 어렴풋이 이해할 수 있다. 인공지능이 판을 칠 미래에 미적분은 어떤 모습을 하고 있을지, 의학과 사회학, 정치학 등은 어떤 모습을 하고 있을까? 예측이 쉽지 않지만 분명한 건 미적분이 미치지 않는 곳은 없다고 단언할 수 있다. 수학이 어디에 필요가 있느냐고 묻는 사람들에게는 미적분에 한정해도 그 쓰임을 셀 수 없이 많이 얘기할 수 있다. 이 책은 그에 대한 이야깃거리를 제공해주는 좋은 수학교양도서다.

1일1줄일기

1일 1줄 일기 - 인생을 바꾸는 1줄 글쓰기의 힘
이토 요이치 지음, 홍성민 옮김 / 서울문화사 / 2021년 9월

일기를 써보자, 몇 번 다짐하고 일기장도 사 봤지만 잘 안됐다. 실패한 이유가 뭘까 생각했는데 내가 너무 일기를 거창하게 생각해서인 것 같다. 이 책은 그런 내게 부채감을 덜어줄 수 있는 제목으로 시선을 끌었다. 1일 1줄 일기라니. 정말 1줄만 적어도 인생이 변화할 수 있다는 말인가. 저자는 단언컨대 그렇다고 얘기한다.

​

1줄 일기는 한 줄만 써도 된다. 바쁜 하루 속에서 새로 배운 것, 실수한 것 등 기억이 남는 것을 쓴다. 이때 그때의 광경과 자신의 감정을 떠올릴 수 있는 키워드를 써둔다. 그리고 그것이 내게 어떤 의미를 갖는지 돌아본다. 그럼 내가 어떤 상태인지 알 수 있고 무엇을 해야하는지도 파악할 수 있다. 돌아보기의 습관화를 행하는 사람과 그렇지 않은 사람은 배움과 성장면에서 크게 달라진다. 돌아보기를 꾸준히 하면 과거와 현재를 연결하는 선이 보이고 그 연장선 위에 미래가 보인다. 이로부터 많은 것들이 단순해져 내가 내 인생의 중심축이 될 수 있다. 매일 일어나는 다양한 일에서 얼마나 많은 깨달음을 얻을 수 있느냐가 관건이며 그 못지 않게 기록하기도 중요하다. 매일 기록하는 것 자체로 기분이 좋아지고 의식이 바뀌며 자연스럽게 내가 바라는 나의 모습에 가까워진다.

무언가를 개선하기 위한 깨달음은 구체적 개선책과 추상적 내용이 결합되면 활용하기 쉽다. 또한, 1줄일기를 계속 쓰다보면 구조화가 되는데, 내 일기의 공통점을 차거나 시간 순서로 나열해보거나 상대적으로 생각하기 등의 기법을 사용하면 된다.

1줄일기를 쓴 후 자꾸 돌아보면 과거에 심각하게 생각했던 부정적인 일이 긍정적으로 생각되고, 기회를 잡는 감각도 기를 수 있으며 꿈과 목표에 도달할 수 있다. 왜냐하면 자신의 축이 명확해지고 이것이 내 운명이다 라고 할 일을 기회가 왔을 때 확신하는 감각이 길러지기 때문이다.

모티베이션 상승, 하강을 나타낸 라이프라인차트를 그려보는 것도 좋다. 인생을 조감해 돌아보면 지금 중시하고 있는 축이 무엇인지 뚜렷하게 알 수 있다. 그리고 마지막으로 강조하는 것은 습관화다. 1줄일기는 정말 딱 한 줄인데 습관화할 수 있지 않을까?

결국 일기를 쓰는 것은 나에 대해 더 잘 알고 발전하기 위해서다. 이 책은 그 여정으로 1줄만 쓰는 일기가 왜 효과적인지 밝히고 독려하는 책이다.

리시의 다이어리

리시의 다이어리 ㅣ 베스트 세계 걸작 그림책 56
엘런 델랑어 지음, 일라리아 차넬라토 그림, 김영진 옮김 / 주니어RHK(주니어랜덤) / 2021년 9월

일기를 쓴다는 건 참 좋은 일이면서도 어렵다. 몇번을 다짐하고 실패했는데 이런 내가 아이에게 일기를 써보라고 했다가 아이도 실패했다. 동기가 부족한 상황에서 일기쓰기는 힘들었을거다.

이 책의 주인공 리시는 할머니 생신 선물로 꽃과 함께 다이어리를 선물한다. 아마 엄마 심부름이었을 거다. 다이어리 즉 일기가 뭔지 모르는 리시는 할머니가 생신 선물로 일기장을 받아들고 기뻐하는 게 이상하기도 궁금하기도 했을거다. 할머니는 오래된 일기장을 하나 꺼내 리시에게 읽어준다.


일기의 주인이자 주인공은 리시다. 여기서 리시는 할머니다. 할머니의 이름을 따 손녀의 이름도 리시이기 때문이다. 일기의 주인공인 리시(할머니 리시)가 어느 날 얼음 연못에 빠진 오리를 구해준 사건이나, 깨진 꽃병을 수습한 사건 등 매일 리시가 기억나는 또는 경험한 사건들과 일상이 고스란히 기록되어 있다. 리시는 그런 일기장 주인공이 누군지 무척이나 궁금하다. 재미도 있고 자기 같기도 한데, 과연 이 글의 주인공은 누굴까? 할머니는 그 주인공이 자기 자신이라고 말한다. 자기 일기의 주인공은 자기 자신인거다. 오직 내가 주인공이고 내 생각 내 감정 내 일상이 글로 펼쳐지는 마법같은 공간, 일기장. 리시는 일기장의 의미를 그제서야 알게 된다. 그리고 리시도 마침내 보물이 될 자신의 일기장을 펼쳐 첫 일기를 쓰는 것으로 이 그림책은 마무리된다.


그림책의 색감도 너무 따뜻하다. 나도 아이도 내일부터 일기장을 꺼내 적어보기로 했다. 단 한줄이라도, 오늘 생각나는 즐겁거나 재밌거나 슬펐거나 했던 모든 기억들, 일상들을 적어내려가는 건 큰 기쁨일 것 같다. 그리고 다음에 아이가 더 커서, 일기장을 꺼내보았을 때 과거를 추억하며 현재를 더 잘 살 수 있게 하는 동력이 될 수 있을 것 같다. 나도 내가 5살 6살 때 썼던 일기장을 가지고 있다. 이제 몇 권만 남았지만 그때 기억이 어렴풋이 난다. 그 시절 행복했던 순간, 가족의 일상들, 어린이의 시선에서 바라본 세상은 얼마나 또 아름다운지. 내 아이들도 이 책을 읽고 일기쓰기의 소중함을 느끼게 되길 바라본다.

우리가 사랑해야 하는 이유

우리가 사랑해야 하는 이유 - 최선의 관계를 찾아서
앙투안 드 생텍쥐페리 지음, 송혜연 옮김 / 생각속의집 / 2021년 9월

우리에게 <어린 왕자>로 잘 알려진 생텍쥐페리. 이 작품 말고는 대부분 잘 모를 거라 생각한다. 이 책은 생텍쥐페리의 작품 속에서 의미 있는 구절들을 엮은 잠언집이다. 잠언은 가르쳐서 훈계하는 말이라고 국어사전에 나와 있다. 딱히 가르치거나 훈계하는 느낌 없이 자연스럽게 생텍쥐페리의 작품 속에 녹아든 인생의 가르침은 어느 에세이보다 풍성하고 진실되다. 그리고 그의 작품, 인생, 그리고 가치관을 엿볼 수 있다.

​

이 책을 읽으면서 생텍쥐페리의 다른 작품들을 많이 만나볼 수 있었는데 그중에서도 <사막의 도시>,<바람과 모래와 별들>이라는 작품을 꼭 읽어보고 싶다. 이 책의 구절 중에 우리가 등산하고 기분이 좋은 건, '있는 힘을 다해 산을 올라왔다는 것 때문에 당신의 마음이 그렇게 설레는' 것이라고 했는데, 작은 문장 하나가 나를 되돌아보게 했다. 인간의 본성, 삶의 방향성, 가치 같은 것들 말이다. 얼마 전에 읽은 한귀은 교수의 <밤을 걷는 문장들>에서의 내용이 이 잠언집과 많이 겹쳐진다. 사랑을 주면 줄수록 더 크게 성장할 수 있고, 내 것을 주고도 잃기만 하면 그건 주는게 아니라 나를 상실한다는 말. 등등.

<어린 왕자>는 아주 어릴 적 읽었다. 그때는 큰 감동을 느끼지 못했다. 시간이 지나고 지금 잠언집에서 만나는 수많은 구절들이 내 마음을 풍요롭게 한다. 어떤 책이 온전히 내 것이 되기 위해선 내 마음이 그것을 온전히 받아들일 수 있을 정도로 성숙해야 한다. 내가 완전히 성숙한건 아니지만 분명 어렸을 때보다 더 포용적이고 단단해진 느낌이다. 더 나이가 들고 세월이 흐르면 더 많은 문장을 깊이 있게 이해하고 삶에 녹아들게 할 수 있을 것 같다. 이 책의 구절에도 있듯, 세월이 흐르는 걸 인생이 완성되어 가는 걸로 생각하면 나는 시간이 가고 나이를 먹는게 두렵지 않다.

​

이 책은 생텍쥐페리의 주옥같은 작품들 중 우정, 사랑, 타인과의 관계, 그리고 나 자신에 대한 내용들로 이루어져 있다. 생텍쥐페리 직업이 비행기 조종사였던 만큼 별과, 사막과 바람에 대한 내용이 많다. 결국 인간은 타인과의 관계를 끊어낼 수 없는 존재이고 어떻게하면 풍요로운 인생을 살 수 있는지, 존재의 본질에 대해 논하는 잠언집이다. 이렇게 주옥같은 문장들을 한 권의 책으로 엮으니 한구절 한구절 읽으면서 더 와닿는 것 같다. 새삼 생텍쥐페리라는 작가의 위대함이 느껴진다. 그의 작품의 깊이와 일상을 보는 통찰력은 대단하다. 돈과 숫자로 모든 것을 환산하고 집착하려는 사람들이 늘어나고 있지만, 돌이켜보면 진짜 중요하고 행복한 시간들은 돈과 상관없는 곳에 있었다. 이 책은 그런 부분들을 정확히 말해주고 있다. 인생의 보석을 찾고 싶다면 이 책, 그리고 생텍쥐페리의 작품들을 추천한다.

초등 어린이 그림 영한 사전

초등 어린이 그림 영한 사전
가나북스 편집부 지음 / 가나북스 / 2021년 11월

내가 학창 시절 공부할 때는 전자사전이라는 걸 갖고 있는 아이가 많이 없었다. 지금처럼 스마트폰 세대도 아니라 두꺼운 한영, 영한 사전을 교실 사물함에 두고 찾아가며 공부했었다. 아날로그적으로, 손때묻은 사전을 열심히 찾아가며 독해문제집 여백에 쓰고, 동의어, 파생어 등을 꼬리에 꼬리를 물고 찾아 썼다. 직접 그렇게 손으로 사전을 찾아가며 공부했을 때, 지금처럼 스마트폰으로 슝 하고 찾아지는 단어보다 더 기억에 남았다. 내 아이들이 영어공부를 하게 되면 모르는 단어가 생길텐데 그때마다 폰이나 패드를 쥐어주고 찾아보라고 하는 것보다 직접 알파벳 순으로 된 사전을 찾아본다면 더 기억에 오래 남을 것 같다. 이 사전은 초등학생을 위해 친숙한 그림과 시원시원하게 큰 글자 크기로 아이들이 쉽게 사전을 찾고 읽을 수 있도록 되어 있다.
색이 있는 단어와 없는 단어가 있다. girl처럼 색이 있는 단어는 초등학교 기본 단어다. 품사표시 및 관련된 영어단어가 있을 경우 아래에 표기되어 있다.
오른쪽 위와 왼쪽 위에는 각 페이지의 첫 단어를 표시하여 빠른 찾기가 가능하게 도왔다. 그리고 단어의 밑에는 문장에서 어떤 쓰임을 갖는지 알 수 있도록 예가 나와 있다.
부록에는 명사의 복수형, 인칭대명사의 격변화, 동사의 시제변화, 인덱스가 나와 있어 문법적으로 올바른 표현을 익힐 수 있도록 구성되어 있다.
아이들이 좋아할만한 그림이 그려져 있어서 더욱 친숙하게 영어를 학습할 수 있는 초등학생용 영한 사전이어서 아이들 외국어 첫 사전으로 정말 좋을 것 같다. 아이들이 보통 들고 다니는 어휘책은 딱딱하게 단어, 발음기호, 뜻, 예시문들이 죽 나열된 경우가 많은데 그림과 함께 관련된 어휘까지 나와 있어서 재미있게 잘 외워질 것이다. 아이들 첫 영한사전으로 추천할만한 사전이다.