그림으로 쉽게 배우는 수학 매듭 이론

매듭 이론 - 그림으로 쉽게 배우는 수학
신조 레이코.다나카 코코로 지음, 권기태 옮김 / 성안당 / 2025년 9월

[ 출판사로부터 도서를 제공받아 작성한 리뷰입니다. ]

매듭 이론을 아시나요.

일상에서 실이나 끈으로 매듭을 만드는 건 알지만 수학에서 매듭 이론이 있다는 것은 최근 기사를 통해 알게 됐네요.

퀀티뉴엄(Quantinuum)이 양자컴퓨터를 활용해 위상수학 분야에서 난제로 꼽힌 매듭 이론(Knot theory)의 존스 다항식을 계산하는 데 성공했는데, 이는 이론으로만 존재하던 양자 알고리즘이 처음으로 실제 하드웨어에서 구현된 사례이며, 처음으로 양자컴퓨터가 단순 성능평가가 아닌 진짜 수학 문제를 다룰 수 있다는 걸 보여준 것이라고 하네요.

《그림으로 쉽게 배우는 수학 매듭 이론》은 신조 레이코와 다나카 코코로의 책이에요.

이 책은 일반인을 위한 매듭 이론 입문서로, 그림을 통해 복잡한 내용을 최대한 쉽게 설명했다고 하네요. 처음엔 일상에서의 매듭과 수학에서의 매듭이 어떻게 다른지를 알려주고 있어요. "수학에서는 매듭의 양쪽 끝을 닫음으로서 그 매듭이 '묶여 있는지' 혹은 '풀려 있는지'를 판단합니다. 앞으로 수학에서 '매듭'이라고 하면 단순히 끈을 묶은 것이 아니라, 묶은 후 양 끝을 닫은 끈을 의미하는 것으로 약속합니다. 또한 끈은 고무줄처럼 자유롭게 늘였다 줄였다 할 수 있는 것으로 생각합니다." (16p) 단순한 고리를 매듭이라고 부르지 않기 때문에 끈의 양 끝을 연결한 형태가 주어졌을 때, 그것이 단순한 고리로 변형될 수 없다는 것을 확인할 수 없으면 매듭이라고 할 수 없어요. 끈의 양 끝이 연결된 형태가 간단하게 고리가 되는지 아닌지를 판단하는 일이 어렵다는 점을 설명하는 것이 이 책의 목표 중 하나인데, 차근차근 그림과 함께 설명을 따라가야 같은 매듭인지 다른 매듭인지를 구분할 수 있어요. 저자들은 쉽게 배울 수 있다고 했지만 마냥 쉬운 내용은 아니라는 것, 근데 집중하다 보니 나름 재미있어요. 끈을 다시 묶거나 자르지 않고 끈이 풀리는 '수갑 탈출 마술의 비밀'은 신기하더라고요. 거울에 비친 고리를 실제로 공간 내에 있는 매듭으로 간주한 것을 원래 매듭의 거울상이라고 하는데 고리의 거울상 다이어그램은 원래 다이어그램 교점의 상하 정보를 바꾸면 얻을 수 있어요. 고리의 다이어그램을 이용하여 고리를 연구하는 방법을 알려주는데 각각의 내용들은 연습문제와 풀이 과정으로 익힐 수 있어요. 고리를 사람이라고 상상하면 굉장히 변장에 능숙해서 공간 내에서 움직이면 다양한 모습으로 변화하기 때문에 같은 고리인지, 아니면 다른 고리인지를 판단하기가 쉽지 않아요. 하지만 외모를 바꾼다고 해도 지문을 바꿀 수 없듯이, 불변량을 확인하면 고리를 구별할 수 있어요. 자신이 다루고 있는 것이 고리 자체인지, 다이어그램인지를 아는 것이 핵심이네요. 복잡해 보이는 고리라도 다이어그램을 자기 교차 교환으로 다른 고리의 다이어그램으로 바꾸면 간이 고리수를 쉽게 구할 수 있어요. 알듯 모를 듯, 중간에 헤매다가 따라가는 수준이지만 흥미로운 매듭의 세계였네요.