일상의 무기가 되는 수학 초능력 : 미적분 편

일상의 무기가 되는 수학 초능력 : 미적분 편 ㅣ 일상의 무기가 되는 수학 초능력
오오가미 다케히코 지음, 이인호 옮김 / 북라이프 / 2019년 7월

슈퍼 히어로가 멋져 보이는 이유는 그들이 가진 초능력!

그런데 수학 초능력이라고?

음, 뭣에 쓸 수 있으려나~~

이 책은 《일상의 무기가 되는 수학 초능력》시리즈 중 '미적분'을 다루고 있어요.

우선 미적분은 별을 관측하면서 시작된 학문이라고 해요.

고등학교에서 배웠던 미적분을 떠올리면 눈앞이 캄캄해지는 것 같아요.

그건 미적분에 대해 아는 게 거의 없다는 뜻 ㅋㅋㅋ

지금이야말로 내 머릿속 암흑기에 빠진 미적분을 구해내야 할 때인 것 같아요.

바로 이 책으로 말이죠.

아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠가 미적분을 발명한 결과, 현재는 대학교 교육과정 수준의 계산으로 별의 움직임을 알 수 있게 되었대요.

그밖에도 미적분학은 물리학과 다양한 분야에서 세밀한 현상을 이해하는 데 활용되고 있어요.

우리가 미적분에 대해 알아야 할 건 문제 풀이 방법이 아니라 처음 식을 만들 때의 상황을 제대로 이해하는 일이에요.

책에서는 미적분의 기초 용어에 대한 설명부터 미분을 통해 알 수 있는 것과  적분을 통해 알 수 있는 것을 차례대로 설명해주고 있어요.

현재 미적분학에서 주로 사용하는 적분 기호인 ∫ (인테그랄)​은 라이프니츠가 고안했대요.

먼저 미분은 '잘게 나누는 일'이에요. 무엇을 잘게 나눌까요? 

예를 들어 TV, 스마트폰, 컴퓨터 등 각종 스크린 화면을 아주 커다랗게 확대해보면 빛나는 작은 점들로 이루어져 있어요. 어떤 점 1개와 그 이웃 점은 보통 서로 비슷한 색이라는 사실을 이용해서 이미지 파일의 크기를 줄이는 기술​을 이미지 압축이라고 해요. 이웃한 점끼리 색이 다른 경우, 색이 전혀 다른 장소를 찾아내는 기술을 윤곽 검출이라고 해요. 이는 엄밀하게 따지면 미분은 아니지만 '잘게 나눈 뒤 그 성질을 파악하여 처리한다'라는 사고 방식 자체는 미분과 유사하다고 할 수 있어요.

다음으로 적분은 '잘게 나눈 것을 모으는 일'이에요. 적분과 미분은 서로 '반대 연산' 관계예요. 예를 들어 모양이 복잡한 어떤 도형의 넓이를 구하려면 디지털 카메라를 이용할 수 있어요. 넓이를 구하고 싶은 도형과 넓이를 이미 알고 있는 종이를 함께 디지털카메라로 촬영한 후 두 개를 비교해보는 거예요. 도형 안쪽에 있는 점들의 개수를 전부 센 다음 이미 알고 있는 것 안에 있는 점들의 개수를 넓이로 환산하면 복잡한 도형의 넓이를 구할 수 있어요.

미적과 적분을 설명하려면 좌표를 알아야 돼요.

좌표란 적당한 축과 눈금으로 위치를 표현하는 것이에요. 눈금의 폭과 눈금의 의미는 좌표를 통해 표현하려는 대상이 무엇인가에 따라 달라져요.

수학에서는 ​축에 x 나 y 등의 이름을 붙여 평면상에서의 점의 위치를 나타내곤 해요.

x 축과 y 축으로 이루어진 평면을 xy 평면이라고 해요. 이때 xy 평면 위의 점을 'x 값과 어떤 관계식을 통하여 구한 y 값'으로 설명한다면 이는 '함수'를 이용한 거예요.

함수는 집합과 집합을 이어 주는 것을 말해요. 함수는 영어로 function 이라서, 함수를 수식으로 나타날 때 영어의 머리글자를 따서 f​ (x) ​라고 적어요. 이는 x 에 관한 함수라는 뜻이에요.

함수의 식을 알면 그래프를 그릴 수 있어요. 그래프로 나타내면 x 와 y 의 관계를 한눈에 파악할 수 있어요.

 ​f​ (x) ​에서 f​ ' (x) ​를 만드는 방법을 미분이라고 해요. 어떤 함수에서 기울기를 구하는 함수(유도함수)를 만드는 일이 미분이에요.

미분은 기본 규칙을 알면 계산이 수월해져요. ​그러니까 미분 공식을 알면 훨씬 빠르게 미분할 수 있어요.

적분은 원래 '극한'의 개념을 통해 계산해야 했지만 라이프니츠의 발견 덕분에 미분을 통해서도 적분을 구할 수 있게 되었어요.

함수 f​ (x) 를 '적분한 다음 미분하면 원래대로 돌아온다'는 뜻이에요.

하지만 미분과 적분은 '완전한' 역연산은 아니에요.

일반적으로 어떤 식을 '적분한 다음 미분하면' 원래의 식으로 돌아오지만, '미분한 다음 적분하면' 원래의 식으로 돌아오지 않아요. 이는 최초로 미분한 시점에서 상수항에 관한 정보를 잃어버리기 때문이에요.

이 책을 보고나니 '미적분'은 그 자체로 슈퍼 히어로인 것 같아요.

미적분의 발명으로 별의 궤도를 계산해서 우주 비행까지 가능해졌으니까요.

이토록 멋진 미적분이라는 초능력을 언제쯤 사용하게 될지는 미지수예요~~