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공식의 아름다움 - 원자폭탄에서 비트코인까지 세상을 바꾼 절대 공식
양자학파 지음, 김지혜 옮김, 강미경 감수 / 미디어숲 / 2021년 11월
평점 :
*본 서평은 출판사로부터 도서를 제공받아 작성되었습니다*
수학의 아름다움, 수학을 이루고 있는 공식들의 아름다움에 대해 들어본 적이 있는가?
한국에서 공식의 아름다움에 대해 이야기한다면 모두들 일찍이 자신은 수학을 포기한 '수포자'라고 소개하기 시작할 것이다. 그러나 공식은 외우는 것이 아닌 이해하는 것이며 그 공식들을 이루고 있는 우주의 법칙을 이해하게 된다면 그 아름다움에 모두들 빠질 것이라고 확언하는 도서가 있다. 바로 도서 공식의 아름다움이다.
수학을 배우기 시작할 때 가장 먼저 배우는 것은 사칙연산 중 덧셈과 뺄셈이다.
이 덧셈(+)과 뺄셈(-)의 유래를 알게 되면 수학이 친근하게 느껴지는데
덧셈(+)과 뺄셈(-)의 시작
유럽 중세 시대 당시 술을 팔던 상인들은 술통에 술이 얼마만큼 남아있는지 통을 들여다보지 않고도 알 수 있게 하기 위해 술통 위에 술이 있는 양만큼 가로로 길게 표시하기 시작했다. 그렇게 술이 팔리는 것과 함께 가로줄이 계속 술통 위에 그려지다 그 술독을 다시 채울 때는 헷갈리지 않게 세로줄을 그리기 시작했다. 술의 양이 항아리 속에서 늘어나니 항아리에는 (+)라는 가로와 세로줄이 만나는 덧셈의 기호가 그려지기 시작했다. 이렇게 술의 양이 줄어듦에 따라 (-)가 술의 양이 다시 늘어남에 따라(+)가 탄생하게 된 것이다.
1+1의 정답은 창문일까? 2일까?
누군가를 놀릴 때 사용하는 수학 문제가 있다. 그것은 바로 '1+1'이다. 1 더하기 1이 무엇이냐고 물어보면 재빠르게 2라고 나오거나 질문하는 상대에 따라 '창문'이라고 대답하기도 한다. 그런데 정말 1 더하기 1의 답은 2일까?
<페아노의 다섯 가지 공리>
1 더하기 1의 답은 왜 2가 나오는 것일까? 이탈리아 수학자 페아노(Peano)는 자신의 이름을 딴 Peano's axiom 페아노 공리를 만들었다.
첫 번째. 1은 자연수이다.
수학 우주에 자연수가 있었으니 그것은 곧 1 이었다.
두 번째. 정해진 자연수 a마다 따름수 a'가 있다.
수학자 페아노는 자연수 a마다 따름수 a'있다고 하였는데 그럼 자연수 a의 따름수 a'는 어떻게 존재하고 있는 것일까? 그 존재의 위치와 모양에 따라 명제의 판도가 달라진다. 페아노는 따름수가 자연수만이 혼자 덩그러니 남겨져있고 따름수는 멀찍이 떨어져 있거나 자연수를 바탕으로 사방으로 퍼져나가는 모양이 아닌 직선으로 a의 따름수 a'가 존재한다고 주장했다.
세 번째 공리는 1은 어떤 자연수의 따름수가 아니다.인데
개인적으로 가장 흥미로운 공리는 바로 네 번째와 다섯 번째다.
네 번째 공리. 서로 다른 자연수는 서로 다른 따름수를 가진다.
1,2,3,4, (중략),…
1, 1',2',3',(중략),…
위에 세 번째 공리에서 1은 어떤 자연수의 따름수가 아니라고 했다. 그럼 1은 어떤 자연수의 따름수가 아니라고 생각하고, 그렇다면 다른 자연수들은? 2의 따름수가 2'=3이라면 방향을 바꿔 3의 따름 수도 3'=3과 같이 나가는 방향에서 반대로 바꾸게 된다면 2의 따름수와 3의 따름수가 같은 값을 가질 수도 있는 거 아닌가? 하는 물음이 생긴다.
그렇게 된다면 2와 3의 따름수가 같아버리는 오류가 발생하여 공리 네 번째가 탄생한 것이다.
정리하자면
n과 m이 모두 자연수이고, n ≠ m라면 n'≠ m'이고
반대로 b, c가 모두 자연수이고 b'=c'라면 b=c라는 것이다.
그렇다면 여기서 또 하나 생각해 봐야 할 문제가 있다.
그런데 만약 이런 식으로 자연수와 따름수가 직선 모양으로 나아가고 있다가
1, 2, 2.5 , 3, 4
2.5와 같이 비자 연수가 출현한다면 어떻게 해야 할까?
그것에 대해서는 공리 다섯 번째.
명제 P(n)이 자연수의 한성질이라고 하자. P(1)이참이고 P(n)도 참이라고
가정하면 명제 P(n')은 참이 되어 모든 자연수에 대하여 참이 된다.
이렇게 수학자 페아노는 다섯 가지의 공리를 통해 1+1=2이라는 등식을 증명했다.
정말 흥미롭지 않은가? 페아노 공리뿐만 아니라 도서에서는 인류를 지배하고 있는 다양한 방정식과 수학적 사고에 대해 이야기하며 우리가 살고 있는 곳이 사실상 숫자로 표현될 수 있는 공간임을 알게 해준다. 정말 신비롭다.
수학이라는 단어를 생각해 보면 숫자와 더불어 수많은 공식을 '암기'위주로 가르침을 받았던 것이 생각이 난다. 왜 이런 답이 나오는지는 생각하기도 전에 어떻게 구성되며 만들어져있는지도 모를 공식들을 이용해 문제를 풀게 된다. 생각을 하는 인간에게 공식을 대입해 정답을 도출하는 기계로 수학을 대하길 바랐으니 수학의 아름다움을 알기도 전에 포기해버리는 수가 늘어나는 것 같다. 부디 도서 공식의 아름다움과 같이 수학에 대해 물음을 갖고 생각할 기회를 제공하는 사물들이 늘어나 많은 사람들이 수학을 알아가는 즐거움을 얻을 수 있었으면 좋겠다.