'수학 오디세이'는 수학의 발전에 대해 쉽게 이야기한 책이다. 수학에 대해, 고대부터 현재까지의 수학의 발전에 따라서 재미있는 이야기들을 풀어 놓았다. 수학의 각 항목도 시간의 흐름에 따라 어떻게 발전해 왔는지 자연스럽게 연결시켰다.
저자는 수학자나 과학자가 아니라 다양한 분야에 대해 글을 쓰는 작가라는 것을 감안하면 이 책을 이해하는데 도움이 된다. 그만큼 수식에 대한 설명은 거의 없고, 있더라도 매우 쉬운 설명이 있는 책이다.
어떤 부분은 이해가 안되는 문장들이 있는데, 이는 내가 주의 깊게 읽지 않았거나 번역자가 어렵게 번역을 했거나 원저자가 사실 잘 이해를 못하고 글을 썼을 3가지 가능성 중의 하나이다. 아마도 마지막 가능성이 가장 높다. 그래도 수학의 전체 흐름에 대해 그리고 신기한 부분에 대해 자세한 조사와 설명/이야기는 수학의 역사에 대해 이해를 높여주었다.
이 책은 각 장이 시간의 흐름에 따라 나타난 수학의 부분들을 설명해 주는 형식이다.
이에 각 장을 따라가면서 내용을 살펴보고자 한다.
1장. 수학의 어머니, 숫자
숫자를 어떻게 세게 되었는지, 고대의 셈법에 대해 쓴 잡다한 이야기.
2장. 계산의 시작
우리가 말하는 산수의 역사에 대한 잡다한 이야기.
3장. 셀 수는 없지만 잴 수 있는 것들
숫자를 넘어서 재는 것, 즉 측량이라고 불리는 기하에 대한 것들이 나온다.
기하학은 수학의 기초를 이루는데 어떻게 기하학이 나왔고 그것들이 뒤의 여러 수학 분야에 어떻게 연결이 되는지가 이 책의 내용들인데,
이 장에서는 유클리드의 기하학을 근간으로 기하학과 삼각법에 대해 이야기해준다.
4장. 둥근 세계
기하학의 발전에 따라 원, 곡선, 원뿔이 중요한 기하학의 문제가 되고,
이로부터 입체 기하학에 대해 설명해 준다. 부피는 미적분의 기초가 된다.
이로부터 비유클리드 기하학이 나오게 된다.
5장. 마술 같은 공식
3장과 4장에서 기하학의 발전을 보았는데, 5장에서는 이런 기하학이 2장에서 보았던 기초적 계산,
즉 대수학(Algebra)에 연결이 되기 시작한다. 이에 따라 대수학은 점점 어려워진다.
대수학과 기하학의 결합의 과정에서 페르마의 마지막 정리 같은 것도 나오게 된다.
이 방정식은 사실 기하학과 연결이 되어 있던 것이었다.
6장. 손 안에 들어온 무한
5장에서는 기하학과 대수학이 연결되었다면, 이 장에서는 미적분학이 대수학과 연결된다.
미적분학(Calculus)는 원래 계산한다는 말에서 나온 것이라는데, 무엇을 계산할려는 것이었을까.
기하의 면적을 계산하고 접선을 계산하면서 적분과 미분이 나오게 된다.
미적분학은 뉴톤과 라이프니츠의 독자적 방명품이 아니라 앞선 데카르트 등의 연구자들이 기초를 놓은 상황에서 위의 두 사람이 기존 것에서 새로운 개념을 꺼내놓게 된다.
뉴톤과 라이프니츠의 차이는 두 사람이 사용한 기호법 정도인가 알았었는데 (우리가 쓰는 대부분의 기호법은 라이프니츠가 고안한 방식이다.)
라이프니츠는 미적분과 무한히 작은 것들의 합을 구하는 것에 집중했었고 (일반적인 미적분?)
뉴톤은 거듭제곱 수열의 미적분 (멱급수의 미적분)에 관심이 컸다.
(사실, 미적분학이 실제 공학에서 자주 쓰이게 될때는 급수로 변환했을 때이다.)
이후 베르누이 형제가 멱급수를 제외한 대부분의 미적분학을 완성시키게 된다고 한다.
7장. 일상에서도 활약하는 숫자들
6장까지 이해를 하면 사실 대부분의 수학은 이해가 끝난 것이다. 그외에 안다룬 부분은 이 책 저자가 이해를 할 범위를 넘어가는 부분일 것이다.
이 책의 저자는 확률과 통계에 대해 이야기해주는데 우리가 알기 쉬운 현실과 연결된 예로서 쉽게 설명해 준다. 이 장과 다음장에서 설명하는 집합론을 제외한, 미적분학 이후의 수학은 이 책의 저자가 다룰 수 있는 범위가 넘는다.
8장. 수에서 멀어진 수학
집합론에 대해 짧게 다루고 있다. 7장 부터는 아주 쉽게 읽힌다. 저자는 내용에 대해 잘 모르고 있다.
수학은 숫자를 못세고 집합으로 동물을 세다가 숫자가 나왔는데, 발전하다가 집합이 나오게 된다고 한다.
집합과 다른 방정식, 미적분, 삼각함수 등 사이의 간격이 왜 그렇게 컸는지 이해할 수 있었다.
9장. 증명
수학과 논리학이 연결되고 있다. 수학은 숫자 언어를 벗어나 논리로 가고 있다는데....
수학의 실체가 무엇인지 질문을 던지고 있다.
언어로서의 수학이 순수한 형태를 벗어나게 되면 더 이상 수학이 아닐 것이다.
책 뒷표지에 써있는 갈릴레오의 말인 "우주를 이해할려면 반드시 그것이 어떤 언어로 작성되었는지 알아야만 한다. 수학이 바로 그 언어이다"라는 말에
내가 동의하는 그 말에 더 이상 수학이 동의하지 않는다면.
이 책보다 어려운 책으로 수식이 도배된 교양 책이 있다. 수학이 아닌 물리의 발전에 대해 거대한 도전을 해놓은 책이다.
