새로운 수가 등장할 때마다 수학자들은 실질적인 의미와 사용처에 대하여 충분한 논의를 거쳤고, 이 검증 과정을 무사히 통과하여 현재까지 살아남은 수 체계는 그림 16과 같다. - P53
우리는 주어진 상황에 따라 다양한 수를 활용하고 있다. 아내의 수를헤아릴 때에는 자연수로 충분하고, 금의 무게를 계산할 때는 분수가 동원된다. 또한 고대 그리스의 기하학자들은 등변직각삼각형의 빗변의길이를 나타내기 위해 2^0.5와 같은 무리수를 개발했고, 르네상스시대의수학자들은 3차방정식의 해를 구하다가 (-1)^(1/2)과 같은 허수를 도입했다.‘ - P54
일요일에서 출발하여 반대방향으로 진행할 수도 있다. 즉, -1은 토요일이므로 -1=6이고, 이와 비슷하게 -2=5이다.
이런 식으로 수를 할당하면 정수 전체를 ‘일주일‘이라는 작은 원 안에 집어넣을 수 있다. 이 상황을 시각적으로 표현하면 그림 18과 같다. - P55
그런데 3 × 6은 3+3+3+3+3+3과도 같아야 한다. 혹시 다른 답이 나오지 않을까? 다행히 이 값도 4로 떨어진다. 또한 7에기반을 둔 나머지연산에 따르면 3 = 10이므로 3 ×6 = 10×6 = 60=4이다.
어떤 경우에도 동일한 답이 나오고 있으니 상황은 꽤 긍정적이다. - P59
《산술학 연구》의 첫 장은 다음과 같은 정의로 시작된다.
두수 B와 C의 차이가 a로 나누어떨어질 때, 와 는 a에 대하여 ‘합동congruent‘이다..…" 이런 경우 a를 ‘모듈modulus‘이라 한다. - P60
예를 들어, 1=8이고 3 = 10 (모듈 7) 이므로 1 +3=48 +10=18과 합동이며, 1×3=38×1080과합동이다. [확인: (a‘+b‘) - (a+b)에 해당하는 14 와 ab‘ - ab에 해당하는 77은 모두 7로 나누어 떨어진다.] - P63
모듈 10으로 합동인 수를 이용하면 모든 제곱수(자기 자신을 두 번곱한 수)가 0, 1, 4, 5, 6, 9로 끝나는 이유를 알 수 있다. 모든 정수는 0~9 중 하나와 모듈 10으로 합동이므로, 모든 완전제곱수는 0, 1,2,3,4,5,
6,7,8,9의 제곱 중 하나와 합동이다. 그런데 이들을 제곱하면 0, 1, 4,9,
6, 5, 6, 9, 4, 1이 되고 정수를 10으로 나눈 나머지는 1의 자리 수와 일치하므로, 1의 자리가 2, 3, 7, 8로 끝나는 제곱수는 존재하지 않는다. - P60
그러므로 위의 합동방정식이 y라는 해를 가지려면 p는 q에 해당하는 가로줄 어딘가에 있어야한다. 그리고 해가 하나밖에 없으려면 p는 q에 해당하는 가로줄에서 단 한 번만 등장해야 한다(두 번이상 등장하면 p/q의 값이 하나로 정의되지 않는다.). - P65
왜 그럴까? 가장 큰 이유는 곱셈표에 ‘0‘이 너무 많기 때문이다. 즉, 0이 아닌 두 수를 곱했을 때 0이 되는 경우가 너무 많다. 예를 들면 다음과 같은 경우이다.
2×3 = 0 (모듈6) - P66
모듈이 합성수일 때 나눗셈이 불가능한 이유는 쉽게 증명될 수 있다.
모듈 m이 m = a×b로 표현된다고 가정해보자 (a와 b는 m보다 작은 정수이다.). a와 b는 0과 합동이 아니지만(모듈 m), a×b는 0과 합동이다. 이것은 앞서 확인했던 2×3 = 0(모듈 6)을 일반화한 것으로, 거기서 1/2을 정의할 수 없었던 것처럼 1/a(또는 1/b)도 정의할 수 없다. - P67
따라서 t(u-v)는 p로 나누어떨어진다(모듈에서 0이라는 것은 p의 배수라는 뜻이다). 그런데 두 수의 곱이 소수p로 나누어떨어지려면 적어도 둘 중 하나는 p의 배수여야 한다. 만일 가의 배수라면 t=0 이어야 하는데, 이것은 우리의 가정에 위배된다는 0과 합동이 아닌 임의의 수였다.). 그리고 (u-v)가 t의 배수라면 u = v(모듈p) 여야 하는데, 이것도
"u, v는 모듈 p에서 서로 다른 임의의 수라는 가정에 위배된다. 즉, t에 해당하는 가로줄에 같은 수가 두 번 등장한다는 가정이 틀렸다는 뜻이다. 그러므로 에 해당하는 가로줄(t+1번째 가로줄)에는 하나의 수가 두 번 나타나지 않는다. - P68
처음 몇 개를 나열해보면 3, 5, 17, 257, 65, 537………… 등 모두 소수이다.
그런데 1732년에 오일러가 틀린 사례를 찾아냈다. n=5일 때 페르마의 수는 2^32+1이 되는데, 이 수는 641 로 나누어 떨어진다. 오일러는 이 사실을 일일이 손으로 계산하여 알아냈지만, 모듈연산을 이용하면 훨씬쉽게 증명할 수 있다(사실은 증명이 아니라 반증이다.). - P69
그러나 이 시점에서 우리는 영국의 수학자 에릭 템플 벨Eroc TempleBell이 남긴 말을 마음속에 새겨둘 필요가 있다. "모든 세대에 걸쳐 정상적 지능을 보유한 사람 100만 명 중 기초적인 수학지식만으로 이 증명을 적절한 시간(예를 들어, 1년) 안에 완수할 수 있는 사람은 열 명도 안될 것이다." - P70
이것은 정수론에서 매우 중요한 정리로, 흔히 ‘페르마의 정리 Fermar‘s theorem‘로 알려져 있다(페르마의 마지막 정리 Fermat‘s Last Theorem와는 다른 정리이다!). - P74
그러므로 임의의 소수에 대하여1×2×.….×(p-1) = -1 (모듈 p)이다. 이것은 윌슨의 정리Wilson‘s theorem로 알려져 있다. - P77
임의의 수 q가 소수인지 합성수인지 쉽게 판별하는 방법이 있다.
1×2×..×(q-1) + 1이 q로 나눠서 떨어지면 q는 소수이고, 그렇지 않으면 합성수이다. - P77
그러나 숫자가 커지면 이 방법은 별로 실용적이지 않다. 예를 들어,
17 이 소수인지 확인하려면 1×2×.….×16+1=20,922,789,888,001을 17로 나눠야 하는데, 대형 컴퓨터로 계산해도 꽤 오랜 시간이 걸린다. - P78
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