[오늘의 한문장] 수학의 눈으로 보면 다른 세상이 열린다

공준

공준
1. 임의의 서로 다른 두 점은 직선으로 연결할 수 있다.
2. 직선은 무한히 연장할 수 있다.
3. 임의의 점을 중심으로 하고 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴수 있다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. 한 평면 위의 한 직선이 그 평면 위의 두 직선과 만날 때 동측내각의 합이 2직각보다 작으면 이 두 직선은 그쪽에서 만난다(쉽게 설명하면, 평행선은 영원히 만나지 않는다).
(22p)

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공리

공리
1. 같은 것과 같은 것들은 서로 같다.
2. 같은 것들에 같은 것을 더하면 그 합은 서로 같다.
3. 같은 것들에서 같은 것을 빼면 그 차는 서로 같다.
4. 서로 포개어지는 것들은 서로 같다.
5. 전체는 부분보다 크다.

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정의

수학에서는 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장과 별개로 그 의미를 약속으로 미리 정한 것을 정의definition 라고 한다.
정의는 단지 약속이므로 참, 거짓을 판단하지 않는다.
유클리드는 우선 기본적인 용어를 정의하면서 서술을 시작한다
. 《원론》의 첫 문장은 다음과 같다.
점은 쪼갤 수 없는 것이다.
(21p)

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유클리드

고대 그리스 수학을 집대성한 유클리드는 저서 《원론》에서 처음으로 5개의 공리와 5개의 공준을 정하고 이로부터 당시까지 알려진 모든 수학적 사실을 일목요연하게 재배치했다.
공리는 수학 일반에서 대전제를 의미하며, 공준은 기하학에서 대전제를 의미한다. 당시에는 공리와 공준을 구분하기 위해 다른 단어를 선택했으나 훗날 모두 공리라는 용어로 불리게 된다.유클리드의 그리스어 이름은 에우클레이데스이며 《원론》 역시 영어식 번역을 옮긴 말로 원제목은 《스토이케이아》이다. 그리스어로 세상을 구성하는 기본 요소라는 의미를 담고 있다. (20p)

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수학의 시작은?

사람들이 알고 있는 수학 지식의 출발점은 어디일까? 이 역시 수학 에서 본질적인 물음 가운데 하나다. 수학 세계에서 참으로 증명된 문장을 정리theorem라고 한다. 하나의 정리는 또 다른 정리를 사용해서 증명한다. A를 설명하기 위해서는 B가 필요하다. B가 참이라는 것을설명하려면 C가 필요하다. C를 위해서는 D가…. 이렇게 거슬러 올라 가면 논리의 끝에 무엇이 있을까?(19p)