미적분의핵심 - 다카하시 슈유

수학 개념 따라잡기 : 미적분의 핵심 - 지식 제로에서 시작하는 ㅣ 지식 제로에서 시작하는 개념 따라잡기 시리즈
Newton Press 지음, 이선주 옮김, 다카하시 슈유 감수 / 청어람e(청어람미디어) / 2020년 11월

<미적분의 핵심>은 수학 문제를 나열한 책도 아니고 수학 문제를 쉽게 풀도록 유도하는 책도 아니다. 대부분의 지면을 미분과 적분의 정의와 원리를 소개하는데 사용하고 미적분의 탄생 배경과 현실 응용에 남는 부분을 할애한다. 떄문에 원리를 이해한다면 1시간 내에도 완독할 수 있다. 

아이작 뉴턴(1642-1727)은 1665년 런던에 유행하던 페스트를 피해 고향으로 돌아가 연구하던 1년 가량의 기간동안 미적분학, 만유인력의 법칙, 빛의 이론을 연이어 발견했다. 뉴턴의 이름 앞에 붙곤하는 천재라는 수식어가 딱 어울리는 위대한 업적들을 단기간에 쌓인 것이다. 

16-17세기 유럽은 패권을 거머쥐기 위한 전쟁이 빈발하던 시기로 총탄이나 포탄의 궤적을 미리 파악해 대비할 수 있지 않을까에 대해 고민하던 때였다. 발사된 포탄의 궤적은 전체적으로 포물선을 그리는데 포탄의 진행방향은 중력에 의해 시시각각 변하게 된다. 단순히 포탄의 궤적을 나타내는 함수를 발견하는 것으로는 특정 순간에 포탄이 어떤 방향으로 움직이는가를 설명하지 못했다. 운동하는 물체의 매순간의 이동방향을 알려면 접선에 대한 개념이 필요했는데 데카르트와 페르마도 이 '접선 문제'를 생각하긴 했으나 완전히 해결하지 못한 상태였다. 

한 점을 지나는 접선을 긋기 위해서는 접선의 기울기를 알아야 하는데 원(circle)이라면 원 위의 한 점을 지나는 직선 가운데 원의 중심으로부터 직각인 직선이 접선이 되지만 포물선의 접선은 그런 방식으로 구할 수 없었다. 뉴턴은 좌표에 그려진 '곡선이나 직선은 시간에 따라 작은 점이 움직이는 자취'라는 개념을 도입했다. 극히 짧은 시간을 나타내는 오미크론이란 기호를 고안해(나중에 극한이라는 개념으로 발전한다) 곡선 위를 움직이는 점이 어느 순간에 점 A에 있고 오미크론만큼의 시간이 지나면 움직이는 점은 A'에 위치하기 때문에 직선 A-A'의 기울기를 알면 점 A에서의 접선을 구할 수 있었다. 즉 곡선을 한 없이 점에 가까운 직선의 모임으로 생각하고 접근한 것이다. 정리하자면 곡선의 함수를 알면 곡선 위의 점 A의 좌표(x, y)를 알 수 있고 오미크론(O에 가까운 한없이 짧은 시간)이 지난 후의 점의 위치인 A'의 좌표(x+op, y+oq)도 구할 수 있으므로 기울기를 얻어 접선을 구할 수 있다.  

뉴턴의 방법으로 기울기를 구하면 접선의 함수를 구할 수 있게 되는데 이렇게 생긴 함수를 '도함수'라고 하고 도함수를 구하는 것을 '함수를 미분한다'라고 한다. 함수를 미분할 때 '(프라임)을 사용하고 대신 dy/dx를 사용하기도 한다. 이 표기는 뉴턴과 함께 미적분법의 창시자로 알려진 라이프니츠가 고인한 것이며 여기서 d는 differential의 머리글자다.  

적분법 개념의 기원은 고대 그리스 수학자 아르키메데스(BC 287-212)로 거슬러 올라간다. 아르키메데스는 소진법(method of exhaustion)을 사용해 포물선과 직선이 만나는 영역의 넓이를 구했다. 독일의 위대한 천문학자인 요하네스 케플러(1571-1630)도 적분개념을 사용해 '케플러의 제2법칙(행성이 태양을 공전할 때 일정한 시간 동안 만드는 공전궤도의 면적은 항상 같다)'을 찾아냈다. 케플러는 아르키메데스가 한 것과 유사하게 부채꼴의 면적을 작은 삼각형으로 무한히 나누었다가 다시 더하는 방법으로 계산했다. 

17세기 들어 카발리에리와 토리첼리가 적분법의 개념을 발전시켜 직선이나 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하거나 입체의 부피를 구하는데 활용했지만 어떠한 곡선에나 적용가능한 일반적인 방법을 찾지 못한 상태였다. 뉴턴은 적분이 미분과 역의 관계임을 알아냈고 미분법과 마찬가지로 적분법도 일반적 적용이 가능해졌다. 적분과 미분이 서로 역의 관계이므로 만약 f(x)라는 함수를 적분한다는 것은 미분해서 f(x)가 만들어지는 함수를 찾는 과정과 마찬가지가 된다. 즉, F(x)를 미분하면 f(x)가 될 때  f(x)는 F(x)의 도함수이고 f(x)를 적분하면 F(x)가 되는데 F(x)를 f(x)의 원시함수라고 한다. 

적분에는 긴 'S'자 모양의 인티그럴(∫)이라는 기호를 사용하는데 이것은 합계를 의미하는 summa의 머리글자를 따온 것이며 미분법의 dy/dx와 마찬가지로 라이프니츠에 의해 고안되었다. ∫ydx는 가늘고 긴 사각형의 넓이[y(세로축) x dx(가로축)]의 합계라는 의미로 해석할 수 있다. 적분이 어떤 함수의 만들어내는 면적을 구하는 것이기 때문에 특정 범위를 지정하여 그 범위의 면적을 구할 수도 있다. 예를 들어 x축의 a와 b 지점(a<b)과 함수가 이루는 면적을 구하는 것은 원시함수인 F(b)에서 F(a)를 뺀 것과 같다. 이 때 'F(b)-F(a)'를 a서 b까지의 정적분이라고 한다. 

영특한 초등학생이나 중학생 또는 나처럼 뇌가 정적으로 움직이는 사람들을 위해 미적분법의 탄생과 원리를 아주 쉽게 설명한 책이다. 개념과 원리에 치중하여 미적분에 대한 개념을 이해하는 것을 돕기 위해 쓰여졌으며 여기서 얻은 이해를 바탕으로 보다 높은 수준의 미적분학으로 건너가길 소망하는 책이라 느껴졌다. 

수험생 시절을 떠올려보면 수학은 참 오묘한 학문이었다. 한 문제에 붙들려 낑낑대던 수고는 해답을 발견해냈을 때 얻는 희열로 씻어지고 새로운 문제를 찾게 만들었다. 수학을 잘하고 못하는 정도의 차이는 있겠으나 모든 인간은 수학적 사고를 할 수 있다. 수학이란 숫자라는 문자를 사용해 논리적 사고를 펼쳐 자신과 대화를 주고받는 학문이라고 느낀다. 마치 철학처럼. 수학과 철학은 동떨어져 보이지만 사용하는 도구(말, 글, 숫자 등)만 다를 뿐 이성과 논리를 바탕으로 해답(진리)를 찾아가는 여정이라는 점에서 대동소이하다 할 수 있을 것이다. 

<미적분의 핵심>은 수학에 관심이 없었던 초심자가 읽어도 이해할만큼 친절하게 쓰여있다. 미적분에 대한 개념을 얻기에 아주 유용할 것이라 생각한다. 

<출판사로부터 책을 제공받아 읽고 주관적으로 작성한 리뷰입니다.>