리만이 들려주는 적분 1 이야기

리만이 들려주는 적분 1 이야기 ㅣ 수학자가 들려주는 수학 이야기 1
차용욱 지음 / 자음과모음 / 2007년 11월

 적분?  積分?  수학도 어려운데, 한자까지 하라니, 이 공부를 어떻게 하나?  걱정부터 앞서는 것이 수학이다.  수학을 싫어하지도 않았는데도 이 요상한 말들이 나오기만 하면 아이들이 하는 '얼음, 땡'놀이에 나도 모르게 동참을 하게 된다.   그래도 다행인것은 책을 읽는것은 좋아한다는 것.   그 덕분에 그렇게 싫어하던 수학속으로 이렇게 들어가니 얼마나 다행인가?  아이들에게 조금은 유식한 엄마가 되어보는 길... 그 길을 위해서 <수학자가 들려주는 수학 이야기>의 첫권을 만나보련다.

 적분.  한자로는 積分.  한자의 뜻 그대로 풀면 '부분을 쌓다', '나눈 부분을 모으는 행위'를 적분이라고 한다.  그런데, 이 적분이 왜 수학에 사용되어지는 걸까?  아니, 처음 리만이라는 이 거대한 수학자가 적분이라는 것을 왜 만들어 냈을까가 궁금해 지기 시작한다.  '왜 이런 걸 만들어서 공부할 걸 더 늘린거예요?' 따지고 싶지만, 이미 만들어진 것이니 넘어가자.  그도 그렇고, 리만 샘이 만들지 않았다면, 또 다른 수학자가 머리 싸메고 끙끙 거리고 있었을 것이다.

 적분이 가장 많이 쓰이는 분야는 도형의 넓이 구하기다.  원리는 간단하다.  어떤 도형의 내부가 차지하는 넓이가 얼마인지 알고 싶을때, 그 도형의 내부를 여러 개의 도형으로 채워 나가면서 도형의 넓이는 구하는게 적분이다.  그리고 도형의 넓이를 채워나가는 일정한 도형중 한변의 길이가 1인 정사각형을 단위 정사각형이라고 한다.   그렇담, 적분을 가지고 알수 있는 넓이는 사각형이나 삼각형만 가능할까?  이렇게 딱 떨어진 도형만 가능하다면, 리만 선생이 그렇게 애를 쓸 필요도 없었을 것이다.  완벽하게 둥근 원도, 타원도 가능한것이 적분이다.   어떻게?

 둥근원에 내접한 정육각형과 외접한 정육각형을 그려보자.  그렇게 되면 (내접한 정육각형의 넓이< 원의 넓이 < 외접한 정육각형의 넓이)가 된다.   그런데 이 정육각형을 더 쪼개면 조금씩 조금씩 내접한것은점점 커지고 외접한 것의 넓이는 점점 작아진다.   아니, 이렇게 어려울수가?   그렇다면 넓이를 구하기 위해서는 계속해서 꼭지점을 그리고 하나하나 계산을 해야만 적분을 이해할 수 있단 말인가?  물론, no~.  계산도 실험도 종이와 연필이 아닌, 무한하고 광할한 우리의 머릿속에서 대신하면 된다.

 1/2 + 1/4 + 1/8+ 1/16 + 1/32 +.....= ?  어떤 답이 나올까?  굉장히 어려운 문제 처럼 보인다.  자연수도 아닌 분수를 끊임없이 더하고 있지 않은가?  이 세상에 없는 답이 나올지도 모른다.  만약, 적분을 모르고 있다면 말이다.   분수는 어려워 보여도, 무한반복되는 듯한 이 수들은 무한급수로 보이지만 규칙성이 있다. 처음 수보다 1/2로 더해지고 있다.  사과의 반쪽, 반의 반쪽, 반의 반의 반쪽... 이렇게 끊임없이 반쪽을 외치면서 사과를 모아보면 어떻게 될까?  사과 하나가 나온다.  답은...?  1이다.  저 길고 어려워보이는 분수의 답이 1이라니...   아... 그래서 적분을 제대로 몰랐을 때, 수학시험의 답 중에 1이 그렇게도 많았었나 보다. 

 거대한 수학자, 리만선생은 적분이란 무엇인가를 시작으로 적분의 원리와 넓이 구하기의 일반화 시도를 알려주고 있다.  그리고 적분기호와 dx 의 딜레마, 적분의 넓이와 카발리에리의 원리까지 하나하나 알려주고 있다.  물론 쉽지만은 않다.  수학을 몸서리치도록 싫어하는 사람에게는 말이다.  하지만, 일반론이 아닌, 개념의 이해로 적분이 그렇게 어렵지 않구나 하는 생각이 들게 한다.  수학을 좋아라 했던, 수학 전공자들이 본다면 이게 뭐야 하겠지만, 적분을 처음 접하는 사람들에게는 적극 추천하고 싶은 그런 책이다.  게다가 책으로도 이해가 안되어도 걱정하지 않아도 된다.  자음과 모음몰로 들어가면 동영상 강의가 있으니까 말이다.