이런 수학은 처음이야2

이런 수학은 처음이야 2 - 읽다 보면 저절로 문제가 풀리는 ‘수’의 원리 ㅣ 이런 수학은 처음이야 2
최영기 지음 / 21세기북스 / 2021년 5월

'서가명강' 시리즈인 <이토록 아름다운 수학이라면> 을 읽고 최영기 교수님을 알게 되었다. 서가명강 시리즈 책은 중고등학생이 보고 이해하기는 조금 어렵지만 수학이나 수학교육을 전공하거나 고등학교 수학을 이해하는 사람이라면 따라갈 수 있다. 그리고 <이런 수학은 처음이야> 는 수학을 공부하는 중고등학생을 위해 도형 파트를 중심으로 쓰여진 책이다. 이번에 나온 <이런 수학은 처음이야2>는 수를 주제로 한 책이다.

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1장은 수의 탄생에 대한 이야기가 전개된다.

우리는 보통 수학이 서양에서 발달했다고 생각한다. 그러나 0이라는 수를 생각해낸 건 서양이 아닌 동양이었다. 고대 서양에서는 있음과 없음의 이분법적 사고방식에 지배받아 없는 것에 대한 논의를 할 필요를 느끼지 못했다. 그러나 동양에서는 '색즉시공 공즉시색'이라는 말처럼 있는 것이 없는 것이고 없는 것이 있는 것이라 없음에 대한 개념이 사유의 중심에 있어서 0이 탄생하게 된 것이다.

또한 자연수 세계에서 해결되지 않는 문제를 해결하기 위해 수 체계를 확장하려는 시도로 인해 정수가 탄생했다. 모든 수가 실질적 필요에 의해 생긴 것은 아니다. 형식적 추상 규칙을 따르기 위해 음수가 도입되고 사칙연산의 닫힌 체계를 위해 유리수로 수 체계가 확장된다. 정사각형의 대각선 길이를 유리수로 해결하지 못해 새로운 수인 무리수가 도입되기까지 많은 시간이 소요되었다.

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2장에서는 유한소수, 무한소수, 순환소수, 실수 이야기가 전개된다. 그러기 위해 1이 왜 소수에서 배제되어야 하는지, 소인수분해의 유일성이 필요한 이유가 쉽게 설명되어 있다. 루트2가 무리수임을 증명하는 과정은 귀류법을 이용해 소인수분해의 유일성에 위배되어 모순임을 보이는 방식으로 증명한다.

그런 다음 자연스럽게 무한의 세계로 안내한다. 자연수의 개수와 짝수의 개수가 같다는 것을 일대일 대응으로 확인할 수 있다. 유한소수, 순환소수가 유리수고, 순환하지 않는 무한소수가 무리수임을 확인하는 과정이 중학생이 읽어도 이해될 정도로 쉽게 설명되어 있다.

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3장에서는 가우스, 파스칼, 오일러와 함께 수 여행을 떠나는 장이다. 학생들이 가장 신기하게 생각할 것 같은 부분은 아마도 11×11, 11×11×11, 11×11×11×11,... 을 구하는 것과 파스칼 삼각형, 그리고 (0,0)에서 (x,y)에 도달하는 경우의 수가 같다는 것이다. 여기서 차원으로까지 나아가는데 파스칼의 삼각형에서 1을 제거하고 남은 부분은 n차원의 점, 선, (n-1)차원 이하의 면의 개수들, n차원의 면의 개수와 같다. 파스칼의 삼각형을 공간 도형까지 연결한 건 오일러수라는 값을 수학자들이 매우 중요하게 생각해서다. n차원 공간의 꼭짓점의 수를 v, 모서리 수를 e, 2차원 면의 수를 f2, 3차원 면의 수를 f3, . . . n차원 면의 수를 fn이라 할 때, v-e+f2-f3+. . . +(-1)의 n제곱×fn의 값을 도형의 오일러 수라하고 이걸 1차원부터 나열하면 0과 2가 교차된다. 고차원 공간에서 최소의 면을 이용한 닫힌 도형의 오일러 수를 이용하여 고차원 오일러 수를 구하는 과정까지 연결되면서 수학의 연결성이 극치를 이룸을 느낀다.

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중학교 수업을 안한지 오래되어 기억이 희미하지만 10여년 전에 중학교 근무할 때 정수와 유리수를 중1 처음에, 유한소수와 순환소수는 2학년에, 무리수와 실수는 3학년 때 가르쳤다. 각 학년 첫 부분에 수의 체계가 배치될 만큼 기본이 되는 중요한 부분이다. 제목만큼, 이렇게 쉽게 쓰여진 수학교양도서가 흔치 않을 듯 싶다. 중고등학생들이 읽으면 가장 좋을 것 같고 초등학생들도 이해할 수 있는 부분이 꽤 있을 것 같다.

네이처 매트릭스

네이처 매트릭스 - 지구의 모든 생물과 함께 살아가는 일상적인 삶을 위하여
로버트 마이클 파일 지음, 정지현 옮김 / 타인의사유 / 2021년 5월

파아랗고 초록초록한 시원한 표지가 책을 읽기 전부터 나를 힐링시켰다. 나 역시 도시에 살고 있고 높고 네모난 건물, 빽빽하게 질주하는 자동차들과 그것들이 내뿜는 매연이 익숙해졌다. 내가 어릴 적만 해도 이렇게 도시화되지는 않았는데 산은 깎여가고 아파트는 늘어나서 지금의 지경에까지 왔다. 초등학생 때 집 마당에서 듣던 뻐꾸기 소리와 옆 공터에 찾아오던 박쥐무리들을 아직 기억한다. 이제 그런 공터나 뻐꾸기는 없다. 공간의 상실은 곧 추억이 상실되는 느낌으로 이어진다. 이 책의 저자 역시 우연히 다시 보게 된 엽서의 사진을 보고 옛날을 회상하며 이 책을 쓰게 됐으며 자연과 인간의 공존, 그리고 자리를 잃어가는 자연을 어떻게 보존하고 보호할 것인지에 대한 저자의 에세이다.

인간이 야생 서식지를 완전 점유하여 일반종 동식물도 사라지면 자연과의 접촉 경험이 줄고 관심도 멀어져 그것을 지키려는 노력도 줄어든다. 이 순환이 인간과 자연을 단절시키는데 이것을 저자는 "경험의 멸종"이라 부른다.

교외는 시골이 아니다. 하지만 계획과 관심 그리고 자연에 많은 돈과 땅을 쓰려는 의지만 있다면 교외에도 가치 있는 것들이 살아남을 수 있다.
p.35

아이들이 자주 찾는 도시의 공터가 파괴되면 아이들의 놀이의 상실, 자연 문맹, 고립을 경험한다. 그런 의미에서 국립공원은 더욱 중요하다. 이 책에서는 저자가 일했던 세쿼이아 국립공원을 예로 들었는데 지금 공원은 기물 파손, 자연물 제거, 야생동물 먹이주기와 죽이기 등 수많은 불법행위들이 자행되고 있어 몸살을 앓고 있다. 공원을 이용하는 사람의 무지에서 비롯된 결과를 과거로 돌리기 위해 저자가 제안하는 파크 패스 제도는 상당히 설득력있다.

동식물의 이름을 정하는 과정도 잠깐 소개되어 있는데 흥미로웠다. 그러나 이에 그치지 않고 자연의 단어를 제대로 사용하는 것에 대한 책임감의 문제를 언급한다. 그러기 위해서는 자연이 우리에게 주는 것을 고스란히 느끼는 감각과 그것이 주는 만족을 느끼라고 말한다. 만족을 글로 적으면 그 만족은 잊히지 않는다.
1960년대 디즈니가 스키 리조트를 세우려던 미네랄 킹에 대한 소회도 풀어놓는다. 대지 이용을 경제적 잣대로만 생각하는 것을 멈추고 윤리적, 미학적으로 옳은지를 검토하는 것은 중요하다. 그리하여 저자는 <네이처 매트릭스>, 즉 자연과 인간은 결코 분리될 수 없으며 자연은 인간의 정신이 기원하고 영구히 뿌리내리는 유기체와 같다는 핵심 개념을 정립한다. 그리고 이 개념에 필수적인 여섯 가지 요소인 대지윤리기초, 자연학습, 지역 초점, 합의 원칙, 공동체주의적 정의, 생태복구를 얘기하며 인간과 자연은 별개가 아니라 떼려야 뗄 수 없는 관계임을 상기시킨다.

나비학자이자 환경보호가이자 환경관련 작가로서 그는 환경문학을 생각하기에 이른다. 인간과 자연의 이원주의를 버리고 나와 타인(여기에는 자연도 포함되어 있다)이 하나이며 동일한 존재라는 사실을 받아들이도록 이 책은 계속 촉구하고 있다. 감성적으로 건드리기도 하고 이성적으로 설명하기도 한다. 그러나 이 책 안의 여러 에세이들이 말하고자 하는 바는 하나다. 우리는 자연과 함께 살고 있고 또 함께 살아야 한다는 것이다.

인간의 품성

인간의 품성 - 우리는 얼마나 선량한가?
크리스찬 B. 밀러 지음, 김태훈 옮김 / 글로벌콘텐츠 / 2021년 5월

성선설과 성악설에 대해 고민해본 적이 있다. 순수한 어린 아이들을 보면 성선설이 맞는 것 같다가 극악무도한 범죄자들을 보면 성악설이 맞는 것 같았다. 그러다가 고등학교 때 배운 윤리 지식을 최대한 상기시킨 후 성무성악설이 좀 더 일리가 있다고 잠정적 결론을 내렸다. 백지와 같은 인간이 어떤 환경을 제공받느냐에 따라 악해질수도 선해질수도 있다면 인간의 품성을 더 나은 방향으로 이끌어야 하지 않겠는가 생각했다. 이 책은 그런 점에서 나의 생각과 일치하는 점이 많았다.

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미덕이란 무엇일까. 이 책에서는 미덕을 네 가지 특징으로 결정짓고 있다. 특정 상황에 적절한 선한 행동을 하고, 특정 미덕과 관련 있는 다양한 상황에서 적절한 행동을 하고, 적절한 이유나 동기에서 비롯된 행동을 하고, 시간이 지나며 안정적이며 신뢰할 수 있는 동기가 있는 것을 미덕을 가졌다고 본다.

왜 우리는 선한 품성을 가져야 하느냐고 묻는 질문에, 이 책에서는 덕 있는 삶이 감동과 영감을 주고 더 나은 세상을 만들며 부차적으로 보상을 받을 수 있다고 강조한다.

재미있는 연구 결과가 있다. 죄책감을 가진 상태에서 남을 더 잘 도와주고 쑥스러운 상태에서 그 상태를 회피하기 위해 남을 더 잘 도와준다는 것인데, 그보다 더 놀라운 실험은 혼자보다 집단의 상황에서 남을 더 잘 돕지 않는다는 것이다. 이는 책임감이 분산되는 이유도 있고 쑥스러움을 회피하고자 하는 '관중 억제' 때문이기도 하다. 물론 이러한 이기적 측면도 있지만, 인간이 가진 공감, 즉 이타주의적 측면은 선한 성품으로의 긍정적 변화를 이끌어낸다. 인간이 양면성을 갖고 있다는 것은 유명한 밀그램의 실험으로도 알 수 있다. 자신이 책임을 지지 않는 일에 대해서 남에게 위해를 가할 수 있으면서도 자신이 그 위해를 조절할 수 있게 되거나 책임이 주어지면 위해의 정도가 놀랍게 줄어든다. 거짓말의 경우도 타인을 위한 선의의 거짓말인 경우도 있지만 자신을 보호하려는 심각한 거짓말도 있다. 심지어 심각한 거짓말은 거의 가까운 사람에게 가해진다. 우리 대부분은 정직하지 않지만 그렇다고 거짓말을 하거나 진실을 말하는 것에 대해 부정직하지도 않은 이중적 모습을 보인다.

부정행위에 대한 내용은 상당히 흥미로웠다. 부정행위를 할 수 있는 조건이나 여건이 되는데도 명예제도 서명이나 십계명 회상, 거울보기 같은 간단한 작업을 행하면 부정행위의 비율이 확 줄어든다. 우리는 타인은 물론 자기 자신에게도 도덕적으로 보이기를 바라는 것이다.

결론적으로, 우리는 환경적 특징에 민감하게 반응하며 도덕적이 되기도, 비도덕적이 되기도 한다. 또한, 행동만 볼 것이 아니라 행동의 동기까지 살펴보아야 한다. 각 개인은 어떤 상황에서는 공격성의 정도가 낮고 어떤 상황에서는 공격성의 정도가 높다. 공격성의 정도가 높은 상황이 다음에 또 오더라도 이 사람은 다시 공격적이 되기 쉽다. 그렇기 때문에 나의 품성을 잘 이해하면 특정 상황에서의 나의 행동을 예견할 수 있고 더 나은 방향으로 행동을 의식적으로 변화시킬 수 있을 것이다.

마지막 장에서 품성을 계발하는 방법을 이야기 한다. 억지로 뭔가를 하려고 하지 않기, 미덕이라는 꼬리표 붙이기, 넛지를 이용하여 미덕으로 주의 환기시키기 등이 있는데 저자도 이러한 방법들이 장기적으로 효과가 있는지, 행위자의 동기에까지 영향을 미치는지에 대해 연구된 바가 없다고 밝히며 한계를 인정하고 있다. 도덕적 역할 모델의 설정, 상황 선택하기, 우리 자신에 대해 잘 알기 등도 마찬가지다. 이 모든 방법들은 우리 주변의 환경과 더불어 복합적으로 고려되어야 함을 이야기하고 있다.

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나는 이 책의 대부분의 생각에 동의하지만 마지막 장인 종교(특히 이 책에서 예를 드는 기독교)에 대한 부분은 동의하지 않는 부분도 있었다. 불교, 기독교, 이슬람교 등 모든 종교의 교리는 아름다우며 사람들을 올바른 방향으로 긍정적인 것임을 인정한다. 하지만 일부 무신론자들이 끔찍한 일(강제노동수용소, 집단학살 등)을 저질렀다고 하는 대목에서 히틀러, 스탈린, 모택동, 폴 포트 등을 비기독교인이라는 하나의 프레임이 집어 넣고 이들이 단지 기독교를 믿지 않았기 때문에 혹은 비종교인이었기 때문에 이런 끔찍한 일을 저질렀으며 만약 종교를 믿었다면 어땠을까, 라는 여지를 두는 부분은 동의하기가 힘들었다. 기독교라는 이름으로 자행되는 세계의 수많은 전쟁들과 힘없는 민간인들의 불행은 어떻게 설명해야 할까? 저자는 이에 대해 이러저러한 항변을 하고 있지만 내 기준에는 썩 논리적으로 느껴지지 않는다. 하지만 저자는 자신의 논거가 타당하지 않을 수도 있음을 받아들이며 열린 자세를 취하고 있다. 자연과학, 공학적인 연구가 아닌 이러한 인문학적 연구들은 여러 이견이 있을 수 있기 때문에 연구 자체가 더 어렵다. 그럼에도 불구하고 인간의 품성에 관한 논의의 기회를 가진다는 것 자체가 상당히 고무적인 일이라 생각된다. 결국 인간은 더 나은 방향으로 나아가야 하며 선한 품성을 계발해야 한다는 것에는 이견이 없기 때문에 이 책을 읽은 것만으로도 선한 품성을 함양할 계기가 된 것 같고 도덕적 인간에 한 걸음 다가간 것 같다.

엘리어트 파동이론

엘리어트 파동이론
R N. 엘리어트 지음, 이형도 엮음, 로빈 창 옮김 / 이레미디어 / 2006년 4월

엘리어트는 1871년에 태어나 1948년에 사망하기까지 다양한 직업을 가지고 일을 해왔고 특히 회계 업무에 관한 전문적 능력을 지닌 사람으로 알려져 있다. 그가 1927년, 다소 늦은 나이에 투병생활을 하며 주식시장에 관심을 갖게 되면서 창안한 이론이 바로 엘리어트 파동이론이다. 나는 일명 주린이로, 주식을 아주 약간, 정말 미세하게 아는 단계이지만 주식을 업으로 하는 사람들은 엘리어트 파동이론을 모르는 사람이 잘 없다고 한다. 그정도고 주식계의, 기술적 분석의 고전책이라고 할 수 있다. 주식시장에서 가격변화에 반응하는 인간 심리가 일정한 법칙을 가지고 움직이며 이 리듬을 이해하는 것은 인간 이해와 연결되어 있으며 이를 바탕으로 투자에 접근하면 성공할 수 있다고 보는 이론이 파동이론이다. 그의 예측은 95% 이상의 적중률을 보였다. 무조건적으로 이 이론을 따라야 한다는 것이 아니라 투자자들이 하나의 투자 방법으로 이해하고 접근해야 할 것이다.

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이 책은 최대한 원문을 훼손하지 않았기에 옮긴이의 말에 의하자면 학문적으로 체계가 잡힌 것들은 아니며 생경한 개념들도 많아 번역이 어려웠다고 한다. 이를 감안하고 읽어나가면 될 듯하다.

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1부에서는 파동의 원리에 대해 다룬다. 5회의 연속된 파동으로 이루어진 완결된 파동운동의 특징을 알아본다.그리고 파동이 교정과정을 거치는 것, 파동의 연장, 이후의 시장 행태와 동향을 살펴봄으로써 이론의 타당성을 입증해 나간다. 다소 어려운 내용이긴 하지만 그래프를 통해 차근차근 설명하고 있다. 그리고 파동 원리를 응용해보는데, 1921년 6월 정확히 시점을 잡아 주식을 보유한 어느 투자자를 가정해 슈퍼 사이클 파동이 끝난 상태고 제5사이클 운동이 시작되는 과정 등을 설명하고 프라이머리 제5파동이 끝나는 시점에 팔겠다는 목표로 매각시점을 결정한 투자자의 규칙을 하나하나 알려준다. 뿐만 아니라 침체 시장의 희귀 사례들을 알아본다.

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2부는 파이낸셜 타임스에 엘리어트가 게재한 글을 중심으로 하고 있다.

파동원리가 무엇인지 소개하고 파동의 요인은 어떤 것이 있는지를 설명하고 있다. 파동의 적용 사례들을 중심으로 도표와 그래프를 적절히 활용하여 설명하고 있으며 파동을 적용할 때 유의점을 함께 소개하고 있다.

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3부는 자연의 법칙이다. 알려진 자연의 법칙이나 인간의 활동 등은 모두 하나의 규칙을 갖는다는 입장이다. 교정 패턴은 그 방향이나 크기에 상관없이 일정하고 연장 파동은 현 사이클 내의 전진 진행에서만 나오며 교정 파동에서는 나타나지 않음도 알 수 있다. 그래프 그리는 법과 여러 가지 사례는 많은 도움이 되었다. 인플레이션의 경우 장이 어떻게 대응하는지, 그리고 더불어 금값의 변동까지 그래프로 표현하고 있다.

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가치 투자의 정석이 피터 린치 책이라면 기술적 투자의 정석은 엘리어트라고 봐도 무방할 것 같다. 인간 세계에서 일어나는 일의 한 종류인 주식이 이렇게 뒤늦게 주식에 합류한 한 개인이 발견한 법칙을 무난하게 따라왔다는 것도 놀랍다. 이 이론을 바탕으로 더 많은 주식투자자들이 기술적 투자에 대한 길을 넓힐 수 있을 것으로 기대한다.

매일 20분 엄마와 함께하는 책 읽기의 힘

매일 20분 엄마와 함께하는 책 읽기의 힘
이미은 지음 / 메이트북스 / 2021년 5월

책을 품은 아이의 미래는 밝다

이 책의 첫 페이지를 넘겨 나온 '지은이의 말' 부분의 제목이다. 책 읽기의 중요성은 굳이 말하지 않아도 될 정도다. 뒤늦게 성인이 되어 책을 좋아하게 된 나의 경우도 좀더 책 읽기의 즐거움을 빨리 알았더라면 어땠을까 하는 아쉬움이 크다. 내 아이는 어렸을 때부터 책이 주는 기쁨을 만끽하게 해주고 싶어 과감하게 거실에 티비를 없애고 책을 넣었더니 확실히 책을 더 가까이하게 되었고 책을 읽어달라고 자주 얘기한다.
나는 아주 피곤한 경우를 제외하고 책 읽어주는 것에는 최선을 다하려고 하는데 아이가 조금씩 커갈수록 어떻게 읽어줘야 좋을지에 대한 고민이 생긴다. 미술 등으로 연계된 거창한 독후활동은 아니더라도 책을 읽은 후 자기 느낌을 알고 표현해보는 것은 매우 중요하다고 생각한다. 하지만 어떤 질문을 아이에게 던지는 것이 좋은지, 어떤 책이 아이에게 적합한지 점점 어려워지는 느낌이 들 무렵 이 책을 만났다.

매일 20분 읽어주는 책으로 어떤 효과를 얻을 수 있을까? 이 책은 아이의 자존감, 인성, 사회성, 공부습관을 기를 수 있고 아이의 감정 코칭뿐만 아니라 부모와의 관계 회복 및 부모까지 행복해지는 마법같은 일이 일어난다고 말한다. 그리고 각 항목에 적합한 책과, 그 책을 읽은 후의 질문을 예시로 들어 부모가 활용하기 좋도록 구성했다. 이 책에서 소개하는 질문독서법의 예시는 다음과 같다.

<질문독서법의 예>

1. ‘왜~까?’ 질문으로 표지의 내용 상상하기

2. 엄마는 읽고 아이는 그림 자세히 보기

3. 느낌 또는 인상 깊었던 장면 이야기하기 – 아이가 선택을 하면 이유를 꼭 물어주기

4. 궁금한 것에 대한 질문 만들기 – 3단계의 답에서 ‘다’ 또는 ‘요’를 ‘까?’로 바꾸고 앞에 ‘왜’ 넣으면 됨. 질문에 익숙해지면 인물의 ‘마음’을 묻는 질문 꼭 하기

5. ‘만약 나라면~?’ 질문으로 나만의 메시지 찾기

책에 따라 이 질문을 조금씩 수정하며 아이에 맞게 쓰면 될 것 같다.
아이의 상황에 맞는 책을 소개해주고 이것을 어떻게 질문독서로 연결할 수 있는지 예를 각각 들어주어 정말 좋았다. 딱하나 아쉬웠던 점은 소개된 책이 유아부터 초등 고학년, 중학생까지 넓은 스펙트럼을 갖고 있어서 내 아이의 연령에 적합한 책인지 아닌지 검색을 해서 확인해보아야 했다. 책 소개 시 대략적인 추천연령도 함께 있었으면 좋겠다는 생각을 했는데 책들을 하나하나 검색해보는 재미도 있어서 나름 괜찮았다.

부모가 아이를 사랑하는 것은 아이만 사랑하는 것이 아니라 아이를 통해 부모인 나 자신을 사랑하는 법도 함께 배운다는 뜻이다.
p.311

뒤늦게 성인이 되어 책을 좋아하게 된 내가 느끼는 이 감정을 아이도 함께 느꼈으면 좋겠다. 책 덕분에 위태위태했던 순간을 극복하고 얼마나 내 삶이 풍요로워졌는지 매순간 느낀다. 그리고 어려움을 극복하고 행복을 만끽하는 감정도 책으로 얻었다. 아이를 위해 책을 사고 함께 그림책을 읽으며 그림책의 매력에도 흠뻑 빠졌다. 아이와 함께 할 독서 여정이 이 책에서 소개한 질문독서법으로 더욱 알찬 시간이 될 것 같다.