0 의 발견

0의 발견 - 수학은 어떻게 문명을 지배했는가
요시다 요이치 지음, 정구영 옮김 / 사이언스북스 / 2002년 6월

책 소개서두에 나오는 말이다.

<0의 발견>은 1939년 처음 일본에서 출간된 이래 현재까지 널리 읽히고 있는 수학대중서의 원조 같은 책이다. 아주 오래 전에 씌어진 책이지만 수학의 가장 기본적인 2가지 주제를 집중적으로 다루고 있기 때문에 현재에 읽기에도 손색이 없다.

2가지 주제는 0(영)이라는 숫자의 '발견'과 연속성 문제. 0이라는 숫자의 도입이 현대수학을 얼마나 발전시켰는가 하는 이야기다.

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지금은 고인이 된 저자의 약력을 간단히 살피면 , 아래와 같다.

최근작 :	<0의 발견>,<제로의 발견> … 총 4종 (모두보기)
소개 :	1898~1989. 1923년 도쿄대 수학과를 졸업했다. 지은 책으로 <함수론>, <수학서설> 등이 있고 푸앵카레의 <과학과 방법> 등을 일본어로 옮겼다.

이첵은 제목 그대로 0 이라는 숫자의 발견과 이것이 인류의 문명사에 끼친 지대한 공로를 아주 간략한 몇가지의 예로 설명 , 첨언한 글이다.. 1956 년도에 1차 개정을 하고 , 재 개벙판이 1978, 12월 에 나왓다 , 최초 소개된 시점이 1939 년도 로서 그들의 대동아 전쟁 발발 1년전이 될것이다..

목차는 무척 단조롭다 1, 영의 발견 2, 직선을 끊는다 가 전부 다이다...

본론으로 들어가면 사람들이 숫자 게산에는 에전에 어떤 방식으로 하였을까가 이야기의 출발 점이다.. 숫자를 손으로 적으로면서 하는 필산과 , 이에 이용되는 기수법 ( 15세기 , 이때도 이미 아라비아 숫자를 쓰기 시작 한다. ) , 동시대에 많이 사용되었으나 사장된 러시아식( 또는 유럽식) 주판이 있었다.. 인도의 기수법이 아라비아인에게 소개된 시기는 대략 773 년도 정도 라고 한다..

전파된 이후 유럽에선 여러 산용 문자나 숫자을 900 년경 부터 1480년경 까지 써내려오면서 다른 기수법은 사멸 되어 버리고 자리잡기 기수법인 인도 기수법만이 명맥을 지켜 오게 되었다.. 여기에서 자리잡기란 말은 아래 예에서 - 27,529 란 숫자에서 첫번재 2 와 뒤에서 둘재 자릿수의 2는 다르다는 것이다... 이는 주판을 써서 수를 표현 하는 방법과 같은데 0 이 들어가는 자리으 주판알은 밑으로 내려논 상태이다.. 그러나 주판으 ㅣ모양과 사용법이 여러나라에서 다양하게 변화하고 있는 몇천년의 세월사이에 어느나라에서도 자리잡기 기수법은 발명되지 않았고 그어떤 시대에도 인도 기수법 이전에는 사용 되어 지지 않았다는 점이다..

어찌보면 이러한 0의 발견이 없었다면 오늘날 쓰이는 2진법 체계인 컴퓨터 ( O과 1 만으로 모든 숫자를 표현 함 -- 혹 잊어버리신 분들을 위해 ) 는 말할것도 없고 대부분의 전자 기계의 운명은 구석기적인 퇴보를 하였을 지도 모를 일이다.. 우리가 현실 세계에서 사용되는 10진법 또한 0 이 있어야만 성립 할 수 있는 수의 체게이다..

이러한 자리잡기 기수법은 16세기 말에 소수 표기법의 발명으로 완성 단게에 접어 들었고 이어서 유리수와 무리수까지 확장 되기에 이르렀다...

챕터 2 경우 서양수학의 기원에서 부터 출발한다. 탄생은 그리스에서 그리고 그리스 수학은 피타 고라스에서부터 시작 된다고 애기한다.. 그 엤날 피타고라스는 < 무엇보다도 산술을 중요시해서 이것을 상업용계산 기술 이상의 것으로 격상시키고> < 기하학의 원리를 높은 견지에서 고찰하여 그 정리를 비물체적으로 그리고 이론적으로 연구 > 하였다고 전해 진다..

또한 수학을 바라보는 입장 차이도 있다 예를 들면 그리스인들은 수학적 사실 ( 에를 들어서 유클리트 기하학의 여러 정리들) 을 이미 존재 하는 거이 발견 되는 것으로 여겼다면 , 현대 수학자들은 푸앙카레가 말했듯이 수학적 사실을 < 수학자 자신이 때로는 수학자의 변덕이 창조> 하는 것으로 여긴다.

그리스의 산술 개념은 항상 기하학과 결부 되었고 어떤 정리든 반드시 기하학적인 형태로 증명을 애야 하였다는 사실에서 논리적인 틈새가 생긴다.. 우선 선분의 연속선을 생각할때 점을 생각해 볼수 있다.. 당시 형상수라는 이론을 가지고 있는데 이는 < 1은 위치가 없는 점이며, 점은 위치가 있는 1> 이라는 생각을 기번으로 가지고 있다.. - 만물은 수이다- 라는 말은 어쩌면 만물은 점 , 즉 1 이 모여서 된 수라고 보앗다.. - 유클리트 [ 기하학원론] 은 -점은 부분을 갖지 않는다-라는 유명한 정의로 시작 되는데

점이 크기를 같는다면 필연적으로 선이 유한개의 점으로 이뤄진다는 생각으로 나아간다.. 즉 피타고라스의 눈에 선은 마치 개개의 염주의 배열과 같은 선분이다. 이런 구조의 선이면 임의의 두선을 가지다 비교를 하면 그 비를 항상 두 자연수의 비로 나타낼수 있어야 했다.. 즉 두선의 길이는 항상 서로 < 통약 가능> 한 것이 명제이다.. -여기에서 애기하는 수는 주로 자연수 ( 양의 정수) 이다. 그러나 문제는 그의 유명한 정리인 < 직각 삼각형의 빗변을 한변으로 하는 정사각형의 넓이는 직각 삼각형의 나머지 두변을 각각 한변 으로 하는 두 정사각형의 넓이를 합한 것과 같다 > 는 것 . 그러나 이러한 성립이 가장 쉽게 알수 잇는 삼각형이 직각 이등변 삼각형인데 이는 통약 불가능한 선분의 존재를 확실하게 보여준 ( 즉 직각 이등변 삼각형의 빗변 과 한변의 길이가 이루는 비는 두 자연수의 비로 나타낼수 없다는 것 ) 에서 그의 피타고라스 학파의 고민은 시작 된다.. -즉 변의 길이다 1인 정사각형의 경우 대각선 길이의 제곱은 2가 된다.. 이는 무리수인 루트 2 ( 1.414 등) 으로 표기 된다. .

즉 그전 까지의 수학의 개념은 자연계에 있는 아름다운 대칭성이나 산술이 자연수의 비례로 표시되어야만 하는 법칙을 그 학파 스스로 깨어져 버린 결론이 도출 된것에 대해 그전 까지의 세계관과 종교관에도 심대한 타격이 오게 된다.

이후 제논에 의에 그 유명한 제논의 역설인 A 와 거리가 떨어진 B 라는 경로 사이를 이동할때 , 절반의 절반 이동이라는 궤변을 통해 수많은 점을 통과해서 b 에 도달 하여야 하는 고로 결국 운동은 이루어 질 수 없다라는 것을 보였다.. 이는 아킬레우스와 거북의 경주로도 유명한 결코 거북이를 따라 잡을 수 없는 논리와 날아가고 있는 화살은 정지해 있다는 - 화살이 일정한 장소에 있기 위해서는 그장소에 ( 어떤 특정 점에 ) 정지해 있어야만 가능 하다.. 그런데 화살이 날아가지 위해서는 각 시점에서 일정한 장소에 있어야 하니 결국 화살은 운동 하지 않는다라는 결론이다..

이러한 제논의 역설을 깨기 위해서는 다른 가설을 사용 하여야만 한다. 즉 선분이 있고 무한이 많은 점들이 존재 하지만 이는 유한한 점들은 아닌 것이다.. 역설의 표현이 특정 점이 일정한 크기를 가져서 일정한 시간이 필요 하다면 반대로 점은 크기가 없으며 , 시간 또한 크기가 없는 시간점들이 모여서 이뤄진 것이라는 가설을 생각 해볼 수 있다.. 선분 ab 가 무수히 많은 점들로 이뤄 지지만 그 점 하나하나에 대응 하는 시간점이 길이가 없는것이라면 양끝단에 아를는 시간은 반드시 무한일 필요는 없다 -하는 관점으로 제논의 역설을 바꿔 볼 수가 있다.. 이것만으로도 제논의 역설은 이슈가 있다.. 즉 아주 작은 시간점이라도 대응 대는 한점은 정지 해 있다고 생각 한다 하지만 현실에서는 운동을 하고 화살은 과녁을 뚫는다 . 그래서 역설의 변증법은 무한 급수 이론을 애기한다.

제논의 기여는 유클리트 기하학의 체계를 세우는데 아주 큰 기여를 하였고 , 피타고라스 학파의 선은 크기가 있는 점들이 모여서 이뤄졌다라는 ? 순박한 산술 자연조화의 법칙은 깨어지게 되었다...

특히나 제논은 시간이라는 개념을 단순한 시간 점들의 집합으로 볼 수 없다는 것을 명료 하게 보여주어서 다른 차원 의 < 시간 문제 > 에도 엄청난 기여를 하였다... 즉 시간은 점 집합이 아니라 흐른다는 것이었고 이러한 연속성이 무엇으로 바귀었냐에 역설의 논점을 두게 된다..

그러나 이것 만으로 선분의 정체를 파악 하기에는 역부족 이다 . 다른 가설을 들면 선과 선이 만나는 접점은 점으로 이워진것을 상상 할수 이다.. 기하학 체게에서는 이를 인정 하여 크기가 없는 점이 모여서 길이가 있는 선분이 생긴다라는 것이다..

어떻게 크기가 없는 점이 모여서 길이가있는 선이 될 수 있는 지는 < 연속 >에 대한 문제이고 선의 개념을 시간 개념과 같이 였어서 해석 해야만 하는 부분이 남아 있다..

독일의 수학자 데데킨트는 이 연속성의 본질을 다음과 같이 설명 한다 ( 1858/ 11/ 24 ) - 직선이 연속이라는 말은 직선을 둘로 끊을때 그 경계에 점이 잇으면 오직 하나뿐이라는 의미이다 -

2013 / 4/ 5 서평을 쓰다보니 책의 요점 정리가 되긴 하였지만 아직도 수의 연속성에 대한 문제는 시간 함수와 아울러서 아직도 수학자들의 숙제이기도 하다. 유리수 무리수와 어쩌면 철학의 영역에도 해당 하지 않을까 생각해 보는 -책력거 였습니다.