(서평) 수학 독습법 -도미시마 유스케 作-

수학 독습법 - 읽기만 해도 이과적 사고가 머리에 심어지는
도미시마 유스케 지음, 유나현 옮김 / 지상사 / 2023년 2월

수학이라는 과목을 다들 어떻게 생각할까? 대학 입시를 위한 공부, 머리만 아픈 암기와 계산의 연속. 수학을 선뜻 좋아한다는 사람은 거의 없었으리라 본다. 하지만 사실 수학 말그대로 수 數 에 대한 역사는 인류의 문명의 흐름을 보여준다고 할 정도로 오랜시간동안 내려온 지식의 결정체라 할 수 있다. 이 책은 우리가 왜 수학을 공부해야하는지, 수학적 사고란 무엇인가에 대해 쉽게 설명해주는 해설서라 볼 수 있다. 예시와 쉽게 풀어주는 개념을 따라 내려가다보면 어느 샌가 이과적 생각의 프로세서를 이해할 수 있을 것이다. 물리학자, 소립자 실험 연구원 및 퀀트 정량적 분석가로도 활약했던 저자가 들려주는 '수의 세계' 로 들어가보자.

Prologue

- 필요한 것은 큰 틀의 이해

수학에 대한 기초적인 이해는 반드시 갖춰야 하는 일반 상식이 되었다. 수학에 대한 이해 없이는 현대 사회를 이해할 수 없다. 비즈니스에서 요구하는 것은 복잡한 방정식을 푸는 능력이 아니다. 우리에게 필요한 것은 큰 틀의 이해다. 수학이 무엇인지, 어떻게 접근해야 하는지, 어디에 도움이 되는지 알려주는 '수학의 조감도' 를 머리에 심는 것이 이 책의 목표다.

- 수학적 사고를 설치하라

'수학적 = 이과적 사고' 의 핵심은 쓸데없는 것을 버리고 본질에 초점을 맞추는 '심플 이즈 더 베스트 (Simple is the best)' 라고 할 수 있다. 이러한 발상은 상당히 비즈니스적이다. 어떻게 보면 전략 컨설턴트의 사고법과 비슷해 보이기도 한다. ... 이 책을 한마디로 정의하면, 읽기만 해도 이과적 사고가 머리에 심어지는 '미래를 살아가기 위한 수학의 겨냥도' 라고 할 수 있다.

수학은 접근 방식에 따라 몇 가지 분야로 나뉘는데, 그중에서도 가장 중요하다고 할 수 있는 것이 대수학, 기하학, 미적분학, 통계학이다. 이 4가지는 각기 다른 방법으로 문제에 접근하여 해결로 이끄는 든든한 존재다.

1) 모르는 것을 알게 하는 대수학

2) 형태와 숫자를 연결하는 기하학

3) 변화를 분석하는 미적분학

4) 거시적인 시각으로 경향을 파악하는 통계학

Chapter 01. 다가올 시대에 필수적인 수학 사대천왕

- 문과적 사고와 이과적 사고는 한 끗 차이

'수학적 발상은 문과적 발상과 한 끗 차이' 수학에도 문과적, 비즈니스적 발상과 똑같은 발상이 존재한다. 단지 수학에서는 말 대신 수식으로 사고를 이어 나간다는 점이 다를 뿐이다. 앞에서 설명한 수학의 4대 분야는 제각기 독립적으로 작용하는 것이 아니라 서로 밀접하게 연관되어 있다. 사대천왕은 각자 가진 능력을 발휘해서 문제 해결이라는 하나의 목표를 향해 나아가는 존재다.

- 대수학 : 모르는 것이 있으면 가설을 세운다

비즈니스에서 필수적인 가설 사고. 대수학에서는 아직 파악하지 못한 미지의 숫자가 있을 때, 그것을 x 나 y 같은 문자로 치환하여 식을 세우고 사고를 이어 나간다. 숫자를 묹로 대체하는 학문이라서 '대수학' 이라고 불린다.

대수학 = 가설을 명확하게 만드는 도구

함수 = 두 변수 사이의 관계성

- 기하학 : 보이지 않는 것은 형상화하여 파악한다

첫걸음은 데이터의 시각화

요즘은 데이터 활용이 비즈니스 성패를 좌우한다는 말이 있을 정도로 데이터 활용이 중요해졌다. 가장 효과적으로 데이터를 잘 다루는 방법은 인간의 경우 눈으로 정보의 80%를 얻는 시각적 동물이기에 데이터의 시각화는 이해를 돕는 데 큰 역할을 한다. 비즈니스에서도 그래프타 표를 적절하게 활용한 프레젠테이션이 좋은 평을 듣게 되는 이유다.

기하학 = 시각화하는 도구

- 미적분학 : 복잡한 것은 단순화하여 분석한다

미세한 변화에 초점을 맞춘다

인간 사회도 자연 현상도 복잡하게 변화한다. 복잡한 상황에 직면하면 어떻게 해야 할지 몰라서 사고가 멈춰 버리기도 한다. 그럴 때 효과적인 방법이 있는데 바로 단순하게 생각하는 것이다. 이럴 때 미적분학에서는 발상을 전환하여 상황자체를 단순하게 만든다. 복잡한 상황을 힘겹게 그대로 처리할 것이 아니라 우선 단순화해서 생각하는 것이다. 이것을 실현하기 위해 미적분학에서는 아주 작은 변화에 초점을 맞춘다.

미분 = 대상이 단순해질 때까지 잘게 잘라서 처리하는 방식

적분 = 미분의 접근 방식을 따라 잘게 자른 것을 다시 합쳐서 원래대로 되돌리는 것

- 통계학 : 거시적인 시각에서 전체를 내려다본다

수집한 데이터로 알 수 있는 것

데이터를 무작정 많이 모으기만 하면 정보량이 너무 많아서 실질적인 경영 판단으로 이어지기 어렵다. 데이터를 의사 결정에 활용하려면 정보량을 줄이고 전체를 봐야 한다. 여분의 정보를 쳐내고 전체적인 분포 양상을 보는 것이 통계학의 방식이다.

통계학 = 전체를 내려다보는 도구

Chapter 02. 대수학 - 가설을 세워 수수께끼를 푸는 수학

- 함수를 자유자재로 쓰려면

대수학 : 미지의 숫자를 문자로 치환하여 사고하는 학문

변수 : 문자로 대체된 숫자

함수 : 변수 사이의 관계성

- 일차함수 : 심플 이즈 더 베스트의 대명사

일차함수는 가장 단순한 직선

- 이차함수 : 일상생활 속 보이지 않는 조력자

이차함수는 밥그릇 모양 / 운동과 밀접한 이차함수 / 진자의 운동에 숨겨진 이차함수

- 지수함수 : 인류를 쥐락펴락하는 스피드광

코로나 19 사태로 알려진 무서운 개념

지수는 '로그 눈금 그래프' 로 보면 이해하기 쉽다

- 로그함수 : 숫자의 마법사

매그니튜드가 1 증가하면 약 31.6배

지진의 규모를 알아보기 쉽게 나타내는 방법

산성 중성 염기성을 알아보기 쉽게 나타내는 방법

Chapter 03. 기하학 - 시각화의 유용성을 보여주는 수학

Chapter 04. 미적분학 - 변화를 단순화하여 파악하는 수학

Chapter 05. 통계학 - 빅데이터 시대를 살아가기 위한 수학

통계학은 내려다보듯 데이터를 관찰하여 특징을 파악하고 거기에서 지식을 얻는 학문이다. 대수학이나 기하학과 달리 통계학의 역사는 비교적 짧다. 학문으로써 인식되기 시작한 것은 겨우 17세기부터이다. 통계학은 방대한 데이터의 특징을 파악하여 지식을 얻는 방법론을 확립하고자 사회적 수요에 의해 탄생했다.

- 통계학의 분류

1) 기술 통계학 : 데이터의 특징을 알기 쉽게 기술

2) 추측 통계학 : 제한된 데이터로부터 전체 상황을 추측

3) 베이즈 통계학 : 새로운 데이터를 학습하여 예측을 수정

수학적 사고의 방법에서부터 4대 천왕이라 하는 대수학, 기하학, 미적분학, 통계학의 활용을 읽으며 이과적 사고의 개념에 대한 접근법을 배울 수 있었다. 사회가 발달하고 우리가 살아가는 이 시대는 이제 데이터로 이야기하는 시대이며, 인문학적 사고와 사회적 현상의 모습 또한 숫자와 기호들로 해석할 수 있을 만큼 기술의 발전 또한 이루어졌다. 그 예로 0과 1의 이분법으로 이루어지는 데이터에 대한 해독에서 나아가 이제는 언어적 데이터로 해석하고 설명할 수 있는 ChatGPT 라는 AI 의 인공지능이 나타난 것도 대표적인 예로 들 수 있다.

우리는 이 세상을 우리가 생각하는 대로 볼 수 있다. 수학적 사고가 가능한 사람은 또 다른 관점에서 바라볼 수 있는 생각의 회로를 가지게 된 것으로 생각할 수 있다. '왜 우리는 수학을 배우는가?' 열심히 수학과 씨름하던 고등학생 시절을 회상하면 그 물음에 쉽게 답을 못해왔던 나 역시도 어렴풋이나마 수학의 큰 틀을 파악하고 수학적 사고방식을 한다는 것이 어떤 것인가를 느낄 수 있었다. 수학을 어려워했던 사람일 수록 이 책의 매력을 더 깊이 체감할 수 있으리라 생각한다.

[100자평] 수학 독습법

수학 독습법 - 읽기만 해도 이과적 사고가 머리에 심어지는
도미시마 유스케 지음, 유나현 옮김 / 지상사 / 2023년 2월

수학적 사고의 방법을 통해 세상을 바라보는 새로운 관점

(서평) HEAR -야마네 히로시 作-

히어 HEAR - 듣기는 어떻게 나의 영향력을 높이는가?
야마네 히로시 지음, 신찬 옮김 / 밀리언서재 / 2023년 2월

인간은 다른 사람과 살아가야 하는 사회적 동물이다. 유대를 맺고 함께 살아가기 위해서는 소통이 필요하고, 이러한 소통을 위해서 말을 잘하고 말을 잘 들을 수 있어야 한다. 요즘 사람들은 인터넷 기술이 발달되면서 여기저기 여러 분야를 이야기하는 사람들이 많다. 이렇게 마이크를 들고 이야기를 하는 사람이 늘어날 수록 들어주는 사람과 듣는 자세에 대한 중요성이 점차 커져간다.

이야기를 하고 싶은 사람이 늘어난다는 것은 또 다른 말로 자신을 알리고, 자신을 알아주기를 바라는 사람이 많아진다는 것이다. 또한 대화를 하더라도 대부분의 사람들은 서로를 이해하려고 하기보다는 답을 하려고 이야기하는 성향이 강하다. 어찌보면 세상이 급박하게 돌아가고, 복잡해질수록 반목과 갈등이 깊어지는 것은 이러한 서로간의 이해에 대한 간극이 벌어지기 때문이 아닐까? 이 책은 듣기의 효과적인 기술을 통해 상대를 변화시키고 사람들을 끌어당기는 기술을 이야기한다.

Prologue

'뭐든 이야기하고 싶게 만드는 사람' 을 보면 심리학 (심리요법) 적으로 공통된 잘 듣는 기술을 구사하고 있다. 그렇다면 '뭐든 이야기하고 싶게 만드는 사람'의 비결은 뭘까? 수용은 상대의 가치관이나 사고방식을 무조건 받아들이는 것이다. 공감은 상대의 감정을 상상하고 이해하는 것이다. 자기일치는 있는 그대로의 자기 모습을 깨닫는 것, 그리고 '나는 이걸로 괜찮아' 라고 생각하는 것이다.

듣는 기술은 본질적으로 내가 '어떻게 이야기할 것인가' 가 아니라 상대가 '어떻게 이야기하게 만들 것인가' 이다. 듣는 사람 입장에서는 말하는 사람의 폭넓은 지식과 경험이 오히려 부담스럽고 거추장스러울 수 있다. .상대의 이야기를 잘 듣지 못하는 사람은 자신이 이야기하는데만 집중하는 경향이 있다.

사람들은 원래 말하는 것을 좋아한다. 당신 주변에도 수다스럽거나 자신의 이야기를 들어주기를 바라는 사람들이 많을 것이다. 자기 말을 들어주기만을 기다리는 사람들 말이다. 잘 들어주는 것도 능력이기 때문에 강력한 무기가 될 수 있다. ... 사람들은 누구나 자신이 상대의 이야기를 잘 듣는다고 생각한다. 그래서 대부분 듣기보다는 어떻게 하면 말을 잘할까에 집중한다. 이러한 의식을 조금만 바꿔도 듣는 기술에 대한 큰 깨달음을 얻고 잘 든는 능력을 발휘할 수 있으리라 장담한다.

Chapter 01. 일단 들어라, 사람의 마음을 움직이려면

- 듣기만 했는데 상황이 순식간에 변한다

일상에서는 상대의 이야기를 들을 기회는 얼마든지 많다. 고객의 이야기 듣기, 상사 또는 부하직원의 이야기 듣기, 가족의 이야기 듣기, 연인이나 친구의 이야기 듣기. 무언가 일이 잘 안 풀릴 때 잘 듣기만 해도 상황이 극적으로 좋아질 수 있다. 당신이 잘 들어주면 굼뜨던 사람이 움직이고, 단단히 닫힌 마음이 열리며, 엉킨 고민도 술술 풀려나간다.

- 내가 말을 줄이면 상대의 마음이 열린다

이야기 듣기의 전문가인 심리상담사가 구사하는 기술이 바로 말수 줄이기와 비슷하다. 심리상담도 묵묵히 상대의 이야기를 듣는 것이 기본이다. 먼저 '말수 줄이기' 부터 실천해보자.

- 적극적으로 이야기하지 않아도 된다

당신 주위에도 이런 사람이 있을 것이다. 말주변이 썩 좋지도 않고 적극적으로 이야기하지도 않는데 모두에게 호감을 주고 영업 성과도 좋은 사람. 이런 사람에게는 공통점이 있다. 바로 상대의 이야기를 잘 들어준다는 것. 이야기를 잘 들어주는 사람은 상대가 스스로 필요한 것을 술술 말하게 한다.

- 심적 부담감을 낮추는 것이 핵심

듣는 사람의 역할은 상대를 받아들이고 인정하는 것에서 시작한다. 그래야만 상대가 마음을 열고 이야기하기 편한 분위기가 조성되기 때문이다. 최근 기업 조직론을 논할 때 중시하는 것 중 하나가 구성원들의 '심리적 안전감' 이다. 심리적 안전감이란 다른 사람이 자신의 발언을 부정하거나 거절하지 않는 상황에서 편안한 마음으로 이야기한다는 것이다.

- 일단 '그렇구나' 라고 말해보세요

간단하면서도 곧바로 효과를 볼 수 있는 듣기 방법이 있다. 바로 '그렇군, 그렇구나' 와 같은 반응을 나타내는 것이다. 이는 수용, 공감, 자기일치 중에서 수용은 상대에게 보여줄 수 있는 간단한 말이다. 보통은 '왜?' 라고 물어보면서 이유를 알아내려고 한다. 아니면 "그렇게 말하는 건 업무에 도움이 안돼" 라고 말하면서 경계심을 내비치며 은근히 충고하는 것이 일반적이다. 또는 상대를 두둔하고 싶을 때도 있다. 하지만 일단은 수용이 먼저다.

- 재밌게 말하지 못해도 상관없다

말을 거의 하지 않았는데도 기분이 편하고 좋은 대화도 있다. 대화에는 반드시 말하는 사람과 듣는 사람이 있다. 대화가 잘 풀리지 않는 이유는 말하는 사람이나 듣는 사람, 혹은 둘 모두에게 문제가 있기 때문이다. 일반적으로는 '역시 말주변이 없으니까 그런거지' 라며 말하는 사람에게 문제가 있다고 이야기하는 경우가 많다. 하지만 사실은 듣는 사람이 더 중요하다.

- 들어준다는 것은 곧 알아준다는 것

대화 상대가 바라는 것은 '수용, 공감, 자기일치' 이다. 심리상담은 내담자가 스스로 해결할 수 있도록 돕는데, 그러기 위해서는 자신의 존재를 받아주고 (수용), 마음을 알아주며 (공감), 자기 생각을 정리 (자기일치) 하는 단계를 거쳐야 한다. 수용, 공감, 자기일치가 충족되어야 비로소 자기 스스로 해결할 수 있기 때문이다.

자기 자신을 수용하려면 타인의 수용이 필요하다. 왜냐하면 다른 사람에게 인정받아야 비로소 자신의 존재를 스스로 인정할 수 있기 때문이다. 다른 사람이 '자신의 존재를 인정한다', '자신의 마음을 알아준다' 는 편안한 마음이 없다면 자신을 돌볼 생각을 하지 못한다.

- 내 말을 잘 들어주세요

대화를 이끌어가는 것은 말하는 사람이 아니라 듣는 사람이다. 다만 대화의 주인공은 듣는 사람이 아니라 어디까지나 말하는 사람이다. 말하는 사람은 하고 싶은 이야기를 할 수 있어서 기분이 좋고, 대화 전체를 지배하고 있다는 생각에 만족한다. 하지만 대화를 이끌어나가는 것은 듣는 사람이다. 이것이 바로 '잘 듣는' 기술이다.

'해결책을 알려주세요', '조언해주세요' 라고 구체적으로 요청하지 않는 한 상대는 그저 들어주기만을 바란다. '실은요...', '고민이 있는데요...' 라고 말해도 그것은 '내가 하는 말을 잘 들어주세요' 라는 의미이다. 잘 들어주면 상대는 기분좋게 이야기할 수 있다.

- '무엇을 말할까?' 보다 '무엇을 들을까?'

상대의 이야기를 듣고 있노라면 점점 자기 이야기를 하고 싶어진다. 그러다 어느새 '다음에 무슨 이야기를 하지?' 라고 생각하고 있는 자신을 발견하게 된다. 결국 상대의 말을 들어주는 데 실패하고 만다. 상대의 말을 잘 들어주려면 '무엇을 말하지 않을까?' 를 생각하는 것이 좋다. 듣는 것에 익숙해지기 전까지는 다음과 같은 준비를 해보는 것이 어떨까?

1) 조언하지 않기

2) 자신의 경험을 말하지 않기

3) 자신의 의견을 말하지 않기

4) '그런데 말이야...' 라고 말하지 않기

Chapter 02. 말하지 마라, 사람들이 먼저 다가오게 하려면

- 뭔가를 알려주고 싶어도 참아라

- 상대의 말을 평가하지 마라

- 굳이 설명 따위 필요 없다

- 궁금한 것이 있어도 참아라

- 눈앞에 있는 사람에게 관심을 가져라

- 듣고 있는 척하지 마라

- 열심히 듣기만 해서는 안 된다

상대의 이야기를 들을 줄 모르는 사람의 또 다른 특징은 '진지한 유형' 이다. 진지한 사람은 상대의 이야기를 열심히 들으려고 하는 나머지 오히려 들을 줄 모르는 사람이 되어버린다. 원인은 '멘탈 노이즈' 이다. 멘탈 노이즈 mental noise 란 말이나 행동에 무의식적으로 영향을 주는 심리적 버릇을 뜻한다. 멘탈 노이즈의 종류는 매우 다양한데 대표적으로 다음 5가지가 있다.

1) 완벽주의 노이즈

2) 시간은 돈이다 노이즈

3) 접대 노이즈

4) 파이팅 노이즈

5) 바른 생활 노이즈

어떤 멘탈 노이즈가 됐건 들을 줄 아는 사람이 되는 것을 방해한다. 특히 진지한 사람에게는 이런 노이즈가 마음속 깊이 뿌리내리고 있을 가능성이 크다. 상대를 위하는 마음이 오히려 상대가 이야기하기 힘들게 하는 원인이 될 수도 있다.

Chapter 03. 조언하지 마라, 상대가 원하는 것을 먼저 말하기 전까지는

- 너무 가까워도 너무 멀어도 듣지 못한다

3가지의 잘 듣는 방법

1) 안심하고 이야기할 수 있는 신뢰 관계를 만드는 기술 (수용, 공감)

2) 속마음을 털어놓게 만드는 기술 (자기일치)

3) 지치지 않고 듣는 기술

대화할 때는 말하는 사람과 듣는 사람의 거리감이 매우 중요하다. 여기서 말하는 거리란 심리적 거리를 뜻한다. 보통은 상대를 이해한답시고 불쑥 다가가는 경우가 많다. 하지만 잘 들어주는 사람은 항상 너무 가깝지도 않고, 너무 멀지도 않은 적당한 거리감을 잘 유지할 줄 안다.

- 해결해달라는 뜻이 아니다

심리상담사는 상대가 안심하고 이야기할 수 있도록 항상 '러닝 learning' 이라는 키워드를 의식한다. 티칭 teaching 도 안고 코칭 coaching 도 아닌 러닝이다. 잘 듣는 사람은 어떤 상대와 대화를 나누더라도 '배우자' 라는 마음을 잃지 않는다.

이 책에서 줄곧 이야기하는 바는 수용, 공감, 자기일치이다. 남과 나의 입장과 서로의 생각이 틀리다는 것을 확인하는 것이 아닌 서로가 다름을 이해할 때 비로소 이해가 시작되는 것이고, 관계가 진전될 수 있는 것이다. 여기서 이야기하는 듣기의 기술들은 여러 가지가 있다. 침묵을 두려워하지 말 것이며, 듣기 위해 질문하라는 것 등 실제 우리의 대화속에서 사용할 수 있는 방법들을 소개한다. 더불어 여러 사람과 오랜 시간동안 이야기하면서도 지치지 않는, 그리고 화상통화를 이용한 대화에서의 듣기의 기술에 대해서도 이야기해준다.

인간관계론의 시대를 막론한 대가인 데일 카네기는 '상대의 말을 잘 들어주는 것은 상대에게 최고의 찬사를 주는 것과 같다.' 라고 이야기했다. 그만큼 상대의 말을 들어주는 것은 상대를 인정하는 것이고, 이는 인간의 사회적 욕구와도 바로 맞닿아 있는 부분이다. 여러분도 듣기를 통해 더 나은 대화를 하고 이로 인해 나의 인간관계가 더 넓어지는 것을 경험해 보기를 권유한다.

[100자평] 히어 HEAR

히어 HEAR - 듣기는 어떻게 나의 영향력을 높이는가?
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존 맥스웰 리더십 불변의 법칙 - 25주년 특별개정판
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