뉴턴 하이타이트 48, 책은요..
미분과 적분의 근본 원리를 눈으로 확인시켜 주는 150 여 컷의 그림이 수록되어 있어요.
미분과 적분의 기초가 되는 여러 개념을 풍부한 사례로 설명하고
뉴턴과 하이프니츠의 논란 등, 미분과 적분에 관한 역사적 배경 해설이 담겨 있습니다
또한 미적분의 발전에 기여한 학자들의 이야기 등 다양한 참고 지식 수록으로 유명하지요.
우선 미분 적분이란 무엇인가에 대해 살펴봅니다.
문과 출신이었지만 저 역시도 미분과 적분을 배웠습니다.
미적분이란 계산방법이라는 뜻입니다.
오늘날에는 인공위성의 궤도, 건출물의 강도, 경제 상황의 변화 등 폭넓은 분야의 계산에 미적분이 사용되고 있지요.
미분 적분이라는 수학은 17세기에 뉴턴에 의해 탄생합니다
그러나 뉴턴이 미적분의 모든 내용을 아무것도 없는 상태에서 발명한 것은 아니라고 해요.
제 1장에서는 뉴턴에 의해 미적분이 탄생하기까지 이루어졌던 선인들의 발견을 따라가 봅니다.
17세기 들어와 미적분이 발전하는데 빼 놓을 수 없는 도구가 등장합니다.
프랑스의 수학자 르네 데카르가 만들어냈다는 "좌표" 입니다.
좌표란 평면위의 어떤 지점을 원점으로부터 가로와 세로의 거리로 나타낸 것인데ㅡ
지도의 위도와 경도와 같은 개념인 셈입니다.
좌표를 사용해 함수(수식)을 그래프(도형)으로 나타내고
(또는 도형을 수식으로 나타내고)
도형문제는 수식으로 푸는 (또는 그 반대로 하는) 학문이
해석 기하학이라 하며
데카르트와 페르마가 그 창시자라고 합니다.
제 2장, 뉴턴의 미분법
곡선에 접선을 그으려면 어떻게 하면 될까?
학자들을 괴롭혀 온 접선문제에 뉴턴이 마침에 답을 내 놓습니다.
접선 문제를 해결하기 위해 뉴턴이 도입한 것은
한없이 0에 가까운 한순간의 시간을 나타내는 0 (오미크론)입니다.
2장에서는 뉴턴이 접선 문제를 해결하기 위해
어떤 것을 생각했는지,
그리고 미분법이 어떻게 만들어졌는지에 대해 알아볼 수 있었습니다.
뉴턴의 미분법으로 접선의 기울기를 구할 수 있다는 거 아시나요?
뉴턴이 생각해 낸 접선의 기울기 구하는 방법을 유율법이라고 부르는데,
뉴턴이 그래피 위를 움직이는 점의 속도를 유율이라 불렀기 때문입니다.
뉴턴은 유율법을 통해 접선 문제를 해결했는데,
이 유율법이야말로 바로 미분법인 것입니다.
그렇다면 뉴턴이 미분법을 만들어 냄으로써
포물선에 접선을 그릴 수 있게 되니 것은 어떤 의미가 있는 것인가?
바로, 변화를 포착할 수 있게 된 것입니다.
미분을 이용하면 언제 어떻게 변하는지를 알 수 있습니다.
포물선 뿐 아니라, 폭 넓은 종류의 곡선(함수)에 응용할 수 있습니다.
3장, 미분과 적분의 통일
미분법을 완성시킨 뉴턴은 적분법에 대해서도 연구합니다.
미분법이 곡선의 접선 기울기를 구하는 방법인데 반해
적분법은 곡선에 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 방법을 알려주지요.
이번 장에서는 고대 그리스에서 유래한 적분법과 뉴턴이 완성시킨 미분법이
뉴턴에 의해 통일되고, ,미적분으로 하나가 되는 모습을 살펴보았습니다.
적분의 기원은 고대 그리스로 올라갑니다.
고대 그리스의 수학자, 물리학자인 아르키메데스는
그의 저서에서 포물선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 방법을 설명했습니다.
그 방법은 포물선의 안쪽을 우수한 삼각형으로 나누어서 넓이를 구하는 것으로
착출법이라고도 합니다.
미분법으로 미래를 예측할 수 있다!!
우주선의 고도는 어떻게 변하는 지 파악할 수 있고,
속도를 적분해 우주선의 고도를 구할 수 있지요.
또한 미적분에 의한 계산 그대로 헬리 혜성이 찾아오기도 했었답니다.
뉴턴은 접선의 기울기를 구하는 미분과 넓이를 구하는 적분은
역 관계에 있다는 것을 발견합니다.
이 발견에 따라 뉴턴은 미적분의 창시자라고 일컬어지게되고
미분과 적분이 역의 관계에 있다는 것을 미적분의 기본 정리라고 합니다.
4장, 미분과 적분의 발전 배경
미적분에는 뉴턴 이외에 창시자가 또 하나 있으니
바로 독일의 철학자,수학자인 라이프니츠입니다.
4장에서는 뉴턴과 라이프니츠 사이에 생긴 미적분 창시자를 둘러싼 격렬한 싸움,
뉴턴의 역사적 저서 "프린키피아"와 미적분을 둘러싼 수수께끼,
그리고 뉴턴 등장 이후 현대에 이르기까지
미적분이 발전해 나가는 모습 등을 소개합니다.
5장. 심화지식편
5장의 전반부에서는 미적분을 사용해 친근한 문제를 해결하는 방법을 소개하고
후반부에는 미적분의 위력을 실감하는 강의를 담았습니다.
미적분으로 문제를 해결하는 여러가지 사례를 담았는데,
가령, 어떻게 하면 상자의 부피가 최대가 될까는 미분이 답을 알려줄 수 있고,
원주의 길이를 적분하면 원의 넓이가 된다거나
구의 부피도 적분으로 구할 수 있다는 점
적분으로 샴페인 잔의 부피도 구할 수 있는 등
사례와 그 풀이를 담았습니다.