숫자 없는 수학책

숫자 없는 수학책 - 하버드 천재 소년이 보여주는 구조와 패턴의 세계
마일로 베크먼 지음, 고유경 옮김 / 시공사 / 2021년 9월

도형을 예로 들어보자. 우리는 모두 도형이 뭔지 어느 정도 알고 있다. 어떤 물체를 보면 그게 원인지, 직사각형인지 아니면 다른 어떤 도형인지 쉽게 구별한다. 핮비만 수학자는 이렇게 묻는다."도형이란 무엇일까? 무엇 때문에 도형이라고 할까?" 당신은 모양별로 물체를 알아볼 때 그 물체의 크기아 색상 ,용도, 사용 기간, 무게, 물체를 가져온 사람, 물체를 집으로 다시 가져가야 할 사람 등은 고려하지 않는다. 그렇다면 당신이 고려하는 건 뭘까? 당신이 뭔가를 원처럼 생겼다고 말한다면 대체 어떤 점을 알아낸 걸까? (-13-)


어쩌면 시공간이 일직선의 차원을 가진 표준 4차원 공간이라고 생각할지도 모른다. 하지만 그렇지 않다. 적어도 우리가 시공간을 표준 4차원 공간으로 설계하면 예측이 부정확해진다.
시공간이 원환체나 실사영평면처럼 휘거나 뒤틀린 공간이라면, 우리가 우주 전체를 생각할 때 현실이 어떻게 작용할지에 대한 직관이 무너질 것이다. 우주가 유한할 수는 있지만, 구의 표면처럼 경계가 있지는 않다. 우주가 팽창할 수는 있지만, 아무렇게나 팽창할 수는 없다. 빅뱅 이전에는 정말 아무것도 없을 수 있다. 북극 북쪽에 아무것도 없는 것처럼, 시간 여행의 가능성, 또는 우주의 한 부분에서 다른 부분으로 바로 데려가는 웜홀에 관한 질문은 결국 우리가 정확히 어떤 공간에 살고 있는지에 관한 물음이 될 것이다. (-53-)


더 뜨거운 지점이 훨씬 밝은 색을 띠도록 색칠해 구분하면 된다. 그 영역을 거의 같은 온도로 나뉘는 등고성으로 그릴 수도 있다 아니면 온도를 차원으로 나타낼 수도 있다. 뜨거운 점은 더 높은 차원으로 차가운 점은 더 낮은 차원으로 표시하면 된다. 어떤 방식을 선호하든 ,각 지도가 제공하는 기본 정보는 같다. 여기서 관찰해야 하는 건 위치와 온도 사이의 대응관계다. 책상 위 각 지점에 값이 할당된다.수학자들은 이렇게 쓴다.


지도 : 책상 위 지점 ->온도 (-92-)


이러한 증명을 형식 증명이라고 한다. 공리에서 출발하므로 추론 규칙만 사용할 수 있다. 직관이나 상식에는 기댈 수 없고, 추론 규칙만 사용할 수 있다. 직관이나 상식에는 기댈 수 없고, 추론 규칙에만 사용할 수 있다. 그렇다. 공리로 증명한 이전 사실을 사용해도 되지만, 궁극적으로 모든 사실은 공리와 다시 연결되어야 한다. 이러한 증명의 목적은 수사학적 의미로 보면 설득력이 없다. 형식 증명은 보통 거의 읽을 수조차 없다. 하지만 인정된 사실의 엄격하고 정확한 체계 내에서 근거를 찾을 수 있다. (-151-)


주목할 게 또 있다. 모형은 굳이 수학적이지 않아도 된다. 모형 세계의 내부 규칙은 '상극끼리 끌린다'라든지 '유유상종이다' 처럼 대략적이고 질적일 수 있다. 오히려 이런 유형은 수학이 아닌 모형을 만드는 편이 훨씬 더 쉬울 것이다. 어쨌든 정확한 수치를 예측하는 모형은 잘못됨을 증명하기 매우 쉽다. 
놀라운 건 우리 세계가 수학적 모형화를 매우 잘 이해한다는 것이다. 주변을 주의 깊게 살펴보면 ,실제로 많은 것들이 수학으로 자기들의 행동을 설명해달라고 외치고 있다. (-202-)


일정한 간격으로 이어지는 글라이더를 발사하며 무한 성장을 이끄는 시작 패턴이 있다.'로빈 경'이라 불리는 패턴은 체스 기사처럼 바둑판을 가로지르며 유유히 이동한다. 수백만 번의 시간 단계를 거치며 자로 잰 듯 정확하게 자기 패턴을 복제하는 '제미니' 도 있다. (물론 이러한 패턴을 사냥하듯 찾아내 올해의 패턴 상을 주는 열정적인 온라인 커뮤니티도 있다.) 흑백 픽셀 위에서 일어나는 어떤 움직임을 상상하기만 해도 나름의 패턴이 있다. (-219-)


위상 수학, 해석학,대수학, 수학 기초론,모형화,이 다섯가지가 책에 등장하고 있다. 눈치가 빠른 이들이라면 이 다섯개는 수학과 깊은 연관성을 지니고 있음을 깨닫게 될 것이다.수학은 개념 파악부터 머리를 아프게 하고, 수학적 계산이 나를 힘들게 한다. 그리고 수학은 본질적으로 숫자에 낯선 이들에게는 공포나 다름없다. 한지만 괴짜도 있다. 수학을 좋아하는 이들은 세상을 수학의 프리즘으로 바라본다. 세사의 모든 것을 수학적 진리의 범주안에 넣고 싶은 목적을 가지고 있다. 소위 인간이 단순히 거리를 계산하는 것을 넘어서서, 세상 속의 수많은 현상들을 수학적 계산에 의존하게 되고, 그 예측도를 높여나가려 하는 이유는 여기에 있다.기상학, 주식, 금융,정치 곳곳에 수학이 널리 쓰여지는 이유는 여기에 있다. 인간의 삶이 편리해지는 건, 수학의 공이 상당히 크다 말할 수 있다. 


도형에 대한 이해,증명에 대해서, 그리고 차원이라는 개념, 구조와 패턴, 그리고 어떤 수학적인 계산, 방정식 뿐만 아니라 세상을 수학적으로 바라볼 수 있는 사고는 어떻게 만들어질 수 잇을까에 대해서 공론화가 가능하다. 더군다나 이 책은 숫자없는 수학이다. 구조와 패턴, 우주에 대한 이해, 공리에 의한 증면, 지도 속에 감춰진 수학적인 이해가 동시에 필요하다. 방정식, 수식이 나오지 않고, 숫자도 등장하지 않는다. 더 나아가 수학은 어렵지 않다고 말하고 있으며, 세상에 대한 깊이가 깊어질 수록 수학의 효용성은 더욱 커지고, 수학의 위상은 높아진다. 인공지능도 수학에 의해서 만들어졌고, 로봇도 마찬가지다. 지구 밖 우주로 여행을 떠날 수 있고, GPS를 활용해 지도 없이 먼 여행을 떠날 수 있는 것도 수학이 있었기 때문이다. 더 나아가 빅뱅 이전의 우주의 형태, 태양이 만들어지고, 지구가 만들어지는 전과정, 앞으로 지구의 마지막 순간은 언제가 될지에 대한 계산까지, 지구 너머의 다른 세상으로 여행을 떠나는 것도 수학이 있기 때문이며, 수학적 사고가 깊어진다면,그동안 불가능했던 수학적 미스터리를 풀 수 있는 날이 찾아올 것이다.