미적분의 힘

미적분의 힘 - 복잡한 세상을 푸는 단순하고 강력한 도구
스티븐 스트로가츠 지음, 이충호 옮김 / 해나무 / 2021년 9월

미적분학이 성공을 거둔 비결은 바로 복잡한 문제를 단순한 부분들로 쪼개는 데 있다. 물론 이 전략은 미적분학의 전유물이 아니다. 문제를 잘 푸는 사람들은 어려운 문제를 부분들로 쪼개면 훨씬 쉬워진다는 사실을 안다. 독특한 미적분학의 비법은 , 분할하여 정복하는 이 전력을 극단적으로, 즉 '무한에 이르기까지' 추구하는데 있다. (-23-)


극한 limit 은 도달할 수 없는 목적지와 같다. 그곳에 점점 더 가까이 다가갈 수는 있지만, 절대로 그곳에 이를 수는 없다. (-49-)


아르키메데스는 알렉산드리아의 도서관장으로 일하던 친구 에라토스테네스에게 보낸 편지에서 방법에 대해 썼는데, 에라토스테네스는 그 시대에 아르키메데스를 유일하게 이해할 수 있었던 수학자였다. 아르키메데스는 방법이 자신이 관심을 가진 결과들에 대한 "실제 증명을 제공하는 것은 아니지만" 무엇이 참인지 알아내는 데 도움을 준다고 밝힌다. 방법은 아르키메데스에게 직관을 제공한다. 그는 "방법을 통해 먼저 문제에 대한 지식을 일부 얻으면, 아무런 사전 지식 없이 발견하려고 하는 것보다 증명을 발견하기가 훨씬 쉽다" 라고 말한다. 다시 말해서, 방법을 만지작거림으로써 아르키메데스는 해당 분야에 대해 감을 얻는다. 이 감이 물 샐 틈 없이 완벽한 증명을 발견하는 길을 안내한다. (-99-)


2200여년 전에 아르키메데스가 친구 에라토스테네스에게 쓴 편지는 사실상 병 속에 수학 메시지를 넣어 보낸 것이나 다름없었다. 그 메시지는 아무도 이해할 수 없는 것이었지만, 아르키메데스는 메시지가 시간의 바다를 건나 무사히 전달되길 기대했다. (-110-)


갈릴레이는 낙체가 지나온 거리를 알려주는 이 법칙과 함께 그 속력을 아려주는 법칙도 발견했다. 낙체의 속력은 낙하 시간에 비례해 증가한다. 여기서 흥미로운 것은 갈릴레이가 어느 순간에 낙체가 지닌 속력을 이야기하고 있다는 점인데, 이것은 얼핏 보기에 역설적인 개념처럼 보인다. (-139-)


하지만 GPS는 단지 위치를 파악하고 경로를 인도하는 시스템에 불과한 것이 아니다. GPS는 100나노초 이내의 오차로 시간 동기화를 가능케 하는데, 이 때문에 은행 간 이체와 그 밖의 금융 거래에 유용하게 쓰인다. 또 무선 전화와 데이터망을 동기화하는 데에도 쓰여, 전자가 스펙트럼의 특정 진동수들을 효율적으로 공유하게 해준다. (-151-)


이 교차로에 이르고 나서 400년이 지나는 동안 미적분학은 대수학과 기하학에서 갈라져나와 물리학과 천문학, 생물학과 의학,공학과 기술, 그리고 모든 것이 유동적이고 변화가 끊이지 않는 그밖의 모든 분야로 뻗어나갔다. 미적분학은 시간마저 수학으로 기술할 수 있는 대상으로 만들었다. (-220-)


피카소는 "예술은 우리에게 진리를 깨닫게 하는 거짓말이다" 라고 말했다. 자연의 모형을 만드는 미적분학에 대해서도 똑같이 말할 수 있다. 17세기 전반에 미적분학은 운동과 변화를 추상화하는 과정에서 강력한 도구로 쓰이기 시작했다. 그리고 17세기 후반에 같은 종류의 예술적 선택, 즉 진리를 드러내는 거짓말이 혁명을 향해 나아가는 길을 닦았다. (-280-)


한때 돌을 가지고 수를 세는 것을 가리켰던 calculus 는 뉴턴과 라이프니츠 시대에 들어 곡선 연구와 대수학을 사용하는 새로운 곡선 분석을 가리키게 되었다. 30년 전에 페르마와 데카르트는 대수학을 사용해 최대값과 최소값, 곡선의 접선을 구하는 방법을 발견했다. 아직 해결되지 않고 남은 것은 곡선의 '면적', 더 정확하게는 곡선으로 둘러싸인 지역의 면적을 구하는 문제였다. (-284-)


그런데 1676년의 어느날 ,그의 주의를 딴 곳으로 돌리게 하는 사건이 일어났다. 파리에서 날아온 한 통의 편지가 그 발단이 되었다. 라이프니츠라는 사람이 보낸 편지였다. 그는 멱급수에 관해 몇 가지 질문을 했다. (-327-)


무한의 원리와 미적분학의 기본 정리는 또 다른 새로운 측면에서 뉴턴의 연구에 포함되었다. 이제 문제를 풀려고 처음 시도할 대 , 뉴턴은 행성과 태양을 점과 같은 입자로 간주했다. 좀 더 현실적인 모형을 사용하더라도, 즉 두 천체를 실제 모습인 거대한 구체로 보더라도, 여전히 문제를 풀 수 있을까? 그리고 만약 그렇게 해서 문제를 풀 수 있다면, 그 결과는 앞서 얻은 것과 다를까? (-385-)


사회과학, 음악, 미술, 인문학 분야에서 미적분학의 새로운 응용
의학과 생물학 분야에서 계속 이어질 미적분학의 응용
금융, 경제 , 날씨 분야에 내재하는 무작위성 문제에 대처하는 방법
빅 데이터에 활용되는 미적분학과 미적분학에 활용되는 빅 데이터
비선형, 카오스 , 복잡계 분야들이 제기하는 문제들에 대처하는 방법
인공 지능을 포함해 컴퓨터와 미적분학 사이에 점점 발전할 동반자 관계 (-442-)


수학을 좋아하는 사람도 미적분학은 어렵고, 버겁다. 그건 수학을 싫어하는 수포자도 마찬가지다. 수많은 사람들이 왜 수학과 과학에 미적분학을 넣어서, 경제, 공학, 천문학까지 미적분이 쓰여지는지 이해할 수 없다는 입장이 대부분이다. 어느덧 우리의 삶에 깊숙히 파고 들었던 미적분학은 수학 혁명, 과학 혁명의 근원이었고, 그 시작과 직감의 근원은 기원전 212년에 세상을 떠난 고대 그리스의 물리학자 아르키메데스였다.그는 단순히 거리를 측정하고, 속도를 계산하는 걸 넘어서서, 물체의 움직임과 ,물체가 움직인 거리와 시간까지 알고 싶어했다.소위 자연의 모든 현상을 수학적 기호로 바꾸고 싶었다. 하지만 그가 살았던 그 시대에는 아르키메데스의 사고와 생각을 이해할 수도 없었고,이해하려고 하지 않았다. 미적분학을 이야기할 때, 뉴턴과 라이프니츠와 함께 아르키메데스가 등장하는 이유는 그가 살아생전 썼던 미적분학에 대한 기초적인 이해, 수학적 기호 가득한 편지가 남아있었기 때문이다.


이 책을 읽으면서, GPS 에 미적분학이 쓰여진다는 걸 이해할 수 없어서, 유투브 동영상을 같이 보았다. 아르키메데스 이후 우리는 천년 넘는 시간동안 미적분학은 정체기를 겪게 된다. 이후 페르마와 ,데카르트는 수학적 방법론의 오류와 문제점을 찾게 되었고, 과학 혁명의 시작점이 된다. 물리학자이면서, 천문학자였던 뉴턴 홀로 골돌하게 된 미적분학은 라이프니츠와 동시대에 살면서 변곡점을 맞이하게 된다. 지구라는 공간에 갇혀 있었던 인간의 라이프가, 우주로 향하면서, 별에 대한 탐구로 이어졌으며, 미적분학이라는 직감이 수학적 지식으로 바뀌게 된 것이며, 무수히 쪼개고, 극한으로 다다르는 것,미적분학의 근원적인 수학적 원리에 내제되어 있으며, 지금 현대인들의 학문과 기술, 과학 전반에 큰 영향력을 가지게 된다.


즉 미적분학은 갑자기 나타난 게 아닌 ,인간이 알고 싶었던 자연현상에 대한 고찰에서 시작되었고, 그 과정에서 여러가지 변화를 야기 시켜왔다. 페르미의 정리, 곡선에 대한 거리 계산, 그리고 속도와 속력,면적을 계산하는 것을 넘어서서, 지구 너머 우주 끝까지에 미지의 세계에 대한 근원적인 질문으로 이어지고 있으며, 제4차 산업혁명의 기술적 발견의 원리이자, 양자역학을 이해할 수 있는 수학적인 이해가 동반되고 있으며, 천문학과 물리학의 범주를 넘어서서, 경제학, 생물학까지 미적분학의 원리가 하나하나 적용되고 있다. 

*이 글은 컬처블룸 카페를 통해서 출판사로부터 도서를 제공받아 주관적인 견해에 의해서 작성되었습니다.