소름 돋는 수학의 재미

소름 돋는 수학의 재미 : 상편 - 공부 욕심이 절로 생기는 기발한 수학 이야기 ㅣ 소름 돋는 수학의 재미
천융밍 지음, 김지혜 옮김 / 미디어숲 / 2022년 1월

올 한 해는 이상하게도 수학 교육과 관련된 책을 많이 읽게 된다.

아이가 벌써부터 수학을 멀리하고 있는 것 같아 걱정이 돼서다. 수학을 잘했으면 좋겠다는 생각보다는 아빠처럼 수포자의 길을 가지는 말았으면 하는 바람이다. 수학이 우리 일상생활과 동떨어져 있는 것이 아니고 어릴 때부터 수학적 사고를 가지고 있다면 이후 인생에 닥칠 여러 가지 문제를 보다 쉽게 해결할 수 있을 거라는 생각 때문이다.

무언가를 잘 하기 위해서는 무언가를 좋아해야만 한다.

무언가를 좋아하기 위해서는 무언가가 쉽고 재미있다는 생각을 가져야 한다.

수학도 마찬가지다.

자꾸 시험과 공부라는 틀로만 접근하다 보니 점점 더 재미 없어지고 하기 싫어지는 것이다.

QR코드가 언제부터 생성되었는지 정확하게는 모르겠지만 요즘은 방역 패스 등과 같이 우리 실생활에 빠질 수 없는 것이 되어 버렸다.

평상시에 어떤 원리로 코드를 생성하는지 깊이 있게 생각해 보지는 않았지만 생성하다 보면 중복되거나 코드를 언젠가 다 써버리는 날이 오지는 않을까 궁금해한 적은 있다.

QR코드의 정보 저장 방식은 2진법으로 0과 1을 흑백으로 구분하여 표시한다.

보통 1개의 QR코드에는 1000개의 격자가 있어서 표현할 수 있는 경우의 수는 총 2^1000이 된다. 하지만 일반적으로 표준의 QR코드는 오류를 바로잡는 코드와 기타 다른 용도에 필요한 코드가 있어 대략적으로 20%인 200개 정도의 격자무늬만 사용한다고 한다.

얼핏 생각해 보면 많지 않다고 생각할 수 있는데,

2^200 = 1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301376 이다.

오타가 있을지도 모르만큼 셀 수 없을 만큼의 거대한 숫자이다.

QR코드를 다 쓰는 날이 이 세상의 마지막 날이라고 생각해도 무방할 만큼 안심하고 사용해도 될 것 같다.

요즘 수학 시간에는 어느 정도의 분량으로 파이에 대해 다루고 있는지는 모르겠지만,

내가 학창 시절이었을 때는 놀 거리가 적어서 그랬겠지만, 무리수 파이의 소수점 이하 숫자를 몇 자리 외우느냐를 마치 놀이처럼 했던 기억이 난다. 반 아이 중 한 명이 기록을 세우면 그 기록을 깨기 위해 부단히도 노력했던 모습도 떠오른다.

파이는 원의 지름과 원 둘레의 비율을 나타낸 값으로 원주율이라 부르기도 한다.

'완전성'의 상징으로 얘기되는 원이기에 지름과 원 둘레에서 파생되는 이 무한한 숫자는 신비로움마저 가지고 있다.

고래로부터 누가 더 정확한 파이를 계산하느냐에 관한 많은 수학자들의 경쟁 아닌 경쟁이 있어왔다.

책에서는 2019년 3월 14일 '국제 원주율의 날'에 발표된 기록이 적혀 있는데 이 당시의 기록은 소수점 아래 약 31조 4159억 자리였다. 인터넷에 검색한 가장 최근의 기록은 올 8월에 스위스 그라운뷘덴 응용과학대 연구진이 슈퍼컴퓨터를 활용하여 약 62조 8000억 자리까지 계산했다고 한다. 계산에 소요된 시간은 약 108일 9시간이 걸렸다고 한다.

얼핏 생각해 보면 의미 없는 계산에 수많은 자원과 노력, 시간을 허비하는 건 아닌가 생각할 수도 있지만 성과가 어떻게 활용될지 쉽게 속단할 수는 없는 법이다. 특히 규칙성 없는 숫자의 조합은 암호학 관점에서도 중요한 요소라 할 수 있다.

파이 계산에서도 언급했지만 최근 수학 발전에 지대한 영향을 미치는 것은 다름 아닌 컴퓨터의 놀라운 연산 속도이다.

현재의 놀라운 슈퍼컴퓨터의 연산 속도조차 아득히 넘어서는 양자 컴퓨터까지 연구되고 있다고 하니 기술의 발전이 놀라울 뿐이다.

컴퓨터는 이진수를 사용한다고 알려져 있는데 그럼 복잡한 방정식은 어떻게 풀까?

책에서 언급하고 있는 문제를 예로 들어보자.

$x^2-4x+1\ =\ 0$2−4+1 = 0​

$$​

위의 방정식에서 x의 값을 계산해 보자.

x=0일 때, 방정식의 좌변은 1 > 0 이고

x=1일 때, 방정식의 좌변은 -2 < 0 임을 알 수 있다. 따라서 x는 0과 1사이에 존재하는 어떤 수임을 알 수 있다.

처음의 방정식을 조금 변형해 보면

$x\ =\frac{1}{4}\left(x^2+1\right)$ =14​(2+1)​

$$​

이 된다. 우변의 x가 0과 1 사이의 어떤 수 x0라고 하면, 우변의 값이 계산이 된다. 등식의 좌변은 x이므로 대입된 결과로 나온 값은 새로운 값 x1로 둔다. 이런 식으로 반복해서 계산을 하여 정확한 근삿값을 얻는 것이 컴퓨터의 연산 방식이다.

x0 = 0 이라고 하면

x1 = 1/4(0^2+1) = 0.25000

x2 = 1/4(0.25000^2+1) = 0.26563

x3 = 1/4(0.26563^2+1) = 0.26764

x4 = 0.26791, x5 = 0.26794, x6 = 0.26795, x7 = 0.26795 가 되고,

소수점 다섯 자리까지 값의 차이가 없으므로 x=0.26795의 근삿값을 가짐을 알 수 있다.

이 책에 담겨있는 여러 가지 수학 이야기를 통해 수학은 우리 생활과 동떨어져 있는 것이 아니고 또한 수학자들만 연구하는 고리타분한 학문의 영역이 아닌 재미있는 놀이가 될 수 있음을 다시 한번 느끼게 된다. 아이에게 '그냥 공부해'라는 막연한 지시와 지도가 능사가 아니라 왜 해야 하며 어떻게 하면 재미있게 할 수 있는지를 알려주는 것이 부모의 역할이자 몫임도 다시 한번 깨닫게 된다.