매듭 이론

매듭 이론 - 그림으로 쉽게 배우는 수학
신조 레이코.다나카 코코로 지음, 권기태 옮김 / 성안당 / 2025년 9월

*본 포스팅은 출판사로부터 도서를 제공받아 주관적으로 작성한 리뷰입니다.

​매듭이론(Knot theory)은 일상에서 흔히 접하는 끈의 매듭을 수학적으로 탐구하는 저차원 위상기하학의 한 분야이다. 신발끈을 묶을 때 나비매듭이 될지 세로매듭이 될지의 미묘한 차이부터, DNA와 단백질의 복잡한 구조 분석까지, 결매듭이론은 우리 일상과 최첨단 과학 연구를 연결하는 흥미로운 수학 분야이다.이번에 어렵지만 재미있게 읽은 <그림으로 쉽게 배우는 수학 매듭 이론>은 이러한 복잡하면서도 매력적인 주제를 시각적 접근법을 통해 일반 독자들에게 소개하려는 야심찬 시도인 것 같다.

책의 가장 큰 강점은 제목에서 암시하듯 '그림으로 배우는' 접근법이다. 매듭이론은 본질적으로 3차원 공간의 구조를 다루는 분야로, 추상적인 수식만으로는 직관적 이해가 어려운 영역이다. 저자들은 이 점을 잘 파악하여 풍부한 도식과 그림을 통해 복잡한 개념들을 시각화한다. 특히 삼엽매듭, 8자매듭, 홉 연결매듭 등의 기본적인 매듭 구조들을 2차원 투영도로 표현하는 방법은 독자들이 3차원적 사고로 전환하는 데 큰 도움이 된다. 매듭의 정칙표시부터 라이데마이스터 이동(Reidemeister moves)까지의 시각적 설명은 이 분야의 입문자들에게 매우 유용한 학습 도구가 될 것같다.

책은 매듭의 기본 정의부터 시작하여 점진적으로 복잡한 개념들을 도입한다. 1차원 구면 S¹에서 3차원 유클리드 공간 R³ 또는 3차원 구면 S³으로의 단사연속사상으로서의 매듭 정의는 수학적 엄밀성을 유지하면서도 직관적 이해가 가능하도록 설명되어 있다. 일상어의 '매듭'과 수학적 정의의 '매듭' 사이의 차이점과 연결점을 명확히 설명한 부분은 특히 인상적이다. 끈의 양 끝을 연결하여 고리 형태로 만드는 과정을 통해 왜 수학에서 매듭을 폐곡선으로 정의하는지를 직관적으로 이해할 수 있게 한다. 매듭이론의 핵심 문제 중 하나는 두 매듭이 같은 것인지 다른 것인지를 판별하는 것이다. 책은 이 문제에 대한 접근법으로 매듭 불변량(knot invariant)의 개념을 소개한다. 알렉산더 다항식과 같은 다항식 불변량부터 매듭해소수(unknotting number)까지, 다양한 불변량들의 의미와 활용법이 체계적으로 설명되어 있다. 매듭의 동치성을 다루는 부분에서 라이데마이스터 이동의 세 가지 유형(Type I, II, III)에 대한 설명은 본서의 하이라이트 중 하나이다. 이 국소변형들이 어떻게 매듭의 본질적 성질을 보존하면서 형태를 변화시키는지를 시각적으로 명확히 보여준다. 두 동치 매듭이 유한번의 라이데마이스터 이동으로 서로 변환될 수 있다는 사실은 결매듭이론의 기초가 되는 중요한 정리이며, 이를 그림을 통해 직관적으로 이해할 수 있게 한 것은 큰 성과이다. 단일 매듭에서 나아가 여러 매듭이 서로 얽힌 연결매듭(絡み目)의 개념을 도입한 부분도 흥미롭다. 화이트헤드 연결매듭, 보로미안 환 등의 구체적 예시들은 이 개념을 이해하는 데 큰 도움이 된다. 특히 분리가능성(splittable)과 완전분리가능성의 개념을 통해 연결매듭의 복잡도를 분류하는 방법은 체계적이고 명확하다.

책에서 언급된 DNA와 단백질 연구에의 응용은 결매듭이론의 실용적 가치를 보여주는 중요한 사례이다. DNA의 나선 구조나 단백질 접힘 과정에서 나타나는 위상학적 제약들을 이해하는 데 결매듭이론의 개념들이 직접적으로 활용되고 있다는 점은 이 분야의 미래 전망을 밝게 한다. 통계역학과 양자장론과의 연관성에 대한 언급은 결매듭이론이 순수수학을 넘어 물리학의 다양한 분야와 깊은 관련성을 가지고 있음을 시사한다. 이는 수학의 추상적 개념들이 자연현상을 이해하는 데 어떻게 기여할 수 있는지를 보여주는 좋은 예시이다. 4차원 결매듭이론과 곡면결매듭이론에 대한 간략한 소개는 이 분야의 발전 가능성을 엿볼 수 있게 한다. 3차원에서는 1차원 매듭이 쉽게 풀리지만, 4차원에서는 2차원 곡면을 이용한 새로운 현상들이 나타난다는 설명은 차원의 증가가 가져오는 질적 변화를 잘 보여준다.

저자는 추상적인 위상수학의 개념들을 구체적이고 시각적인 방법으로 전달한다. 특히 수학 전공자가 아닌 일반 독자들도 결매듭이론의 기본 아이디어들을 이해할 수 있도록 배려한 서술 방식은 높이 평가할 만하다. 또한 일상생활의 경험(신발끈 매듭)에서 시작하여 점진적으로 수학적 추상화 단계를 거치는 구성 방식은 학습자의 인지적 부담을 줄이면서도 깊이 있는 이해를 가능하게 한다. 매듭이론이라는 고도로 추상적인 수학 분야를 일반 독자들에게 접근 가능하게 만든 의미 있는 책이다. 시각적 학습법을 통한 직관적 이해의 촉진, 체계적인 개념 전개, 그리고 현실적 응용 사례들의 제시는 이 책의 주요 강점들이다. 복잡한 수학적 개념을 이해하기 쉽게 전달하면서도 이 분야의 깊이와 아름다움을 잃지 않은 점은 높이 평가받을 만하다. 매듭이론에 처음 입문하는 학생들, 수학의 실용적 응용에 관심 있는 일반인들, 그리고 위상수학의 구체적 예시를 찾는 교육자들에게 이 책을 적극 추천한다. 단순해 보이는 끈의 매듭이 어떻게 현대 수학과 과학의 최전선에서 중요한 역할을 하고 있는지를 발견하는 즐거움을 선사할 것이다.