괴델, 그 신비를 한번 벗겨 이해해보자

괴델
존 L. 캐스티 & 베르너 드파울리 지음, 박정일 옮김 / 몸과마음 / 2002년 5월

괴델의 전기적 내용과 사상적 내용을 다룬다. 단, 괴델의 불완전성 정리를 중심적으로 소개하며, 튜링의 계산이론과 Chaitin의 주장 등과 연결해서 설명하는 부분이 특히 흥미롭다. 어떤 논리적 형식 체계의 무모순성과 완비성이 동시에 만족될 수 없다는 이야기에서 흔히 인용되고는 하는 괴델의 불완전성 정리에 4년전부터인가 호기심을 갖게 되었다.
일단 내용 자체가 파격적이지 않은가! 무모순인 어떤 논리적 형식 체계도 그 체계를 통해 연역적으로 증명하고자 하는 모든 진리들을 다 포함할 수는 없다니, 그것도 이러한 내용을 수학적으로 증명했다 이 얼마나 놀랍도록 자극적인가.

그리고 그러한 내용을 증명한 사람이 바로 서구 수학계에서 20세기에 가장 뛰어날만한 사람이었다고 한다면 논리적 연역을 통해 체계의 확실성을 추구하고자 했던 서구 수학적 토대주의자들의 근엄한 목소리들을 일거에 전복시켜버리는 그야말로 '혁명적'인 지적 거사처럼 들리지 않는가. 그렇게 나의 지적 호기심을 자극하며 내 코밑을 간질거리기만 할 뿐 결코 내 손에 잡히지 않아 한 편으로 늘 마음을 불편하게 했던 괴델. 바로 그 괴델의 불완전성 정리를 저자인 Casti가 '인공지능이야기'에서 잠깐씩 언급하는 것을 듣고는 정말 흥미가 '땡겼다'. 그래서 나는 이 책을 읽었다.

괴델의 불완전성 정리는 가장 간단한 형식적 체계인 산술의 체계에서조차 힐베르트가 제안했던 방식인 무모순인 유한개의 공리들로부터 출발해서 유한번의 단계를 거쳐 그 체계에 대해 알려진 모든 수학적 진리들을 증명한다는 방식으로는 산술 체계의 진리들을 모두 '완전하게'는 증명하지 못한다는 것을 산술적으로 증명한다. 즉, '진리'임이 분명한 자기지시적 문장이 하나 있는데, 그 문장은 '증명될 수 없음'이 자명하다. 그런데 모든 명제적 문장은 숫자로 변형될 수 있다는 점에서 그 문장도 산술 체계의 진리 집합에 속하는 원소이다. 따라서, 무모순인 산술 체계는 참이지만 '증명될' 수는 없는 그러한 진리가 적어도 하나는 있다.

그러한 문장을 새로운 공리로 추가하는 방식으로 문제를 해결하려고 해도 또다시 비슷한 방식으로 증명할 수 없는 문장이 적어도 또 하나 생겨난다고 한다. 이를 확장시킬 수 있는데, 모든 무모순인 형식적 체계에는 산술 체계의 '증명할 수 없는' 자기지시적 문장과 비슷한 문장이 적어도 하나는 있다고 한다. 따라서, 모든 무모순인 형식적 체계는 참이지만 증명할 수는 없는 문장을 적어도 하나 갖게 된다. 바로 이것이 힐베르트가 원했던 '완전성' 희망이 깨어졌다는 의미.

'증명할 수 없는' 자기지시적 문장은 체계에 대해 '말해주는' 것이 아니라 체계 자체를 보여주는' 문장의 성격이 강하다는 면에서 비트겐슈타인과 연결될 수도 있지 않을까. 즉, 체계의 공리들로부터 계산적 과정인 증명에 의해 산출되는 진리들은 체계에 대해 '말해주는' 문장들인 반면, 체계의 공리들로부터의 계산에 의해서는 산출되지 않지만 그래도 여전히 체계를 '보여주는' 어떤 특징을 진술하는 참인 진리가 있다.

그러나, 주의할 것이 있다. <지적사기>에 일부 인용되는 것처럼, 괴델의 불완전성 정리를 논거로 끌어들여, 비합리적 논증과 근거 없는 논리적으로 비약적인 글쓰기를 정당화해서는 안 된다. 무엇보다 그러한 글들은 무모순이지 않거나, 자기지시적으로 체계에 대한 문장도 아니면서 근거는 제시하지 않는 주장인 경우가 많은데, 그러한 것들은 괴델의 불완전성 정리와는 아무런 관련도 없기 때문이다.

c++ 문법과 그 원리를 튼튼하게

C++ 기초 플러스 - 제5판 ㅣ 기초 플러스 3
Stephen Prata 지음, 윤성일 옮김 / 성안당 / 2007년 11월

이 책은 c++ 언어를 이제 막 배우려고 하거나, 아니면 이미 c++ 언어를 이용해 프로그램을 개발한 적은 있지만 자기 자신의 코딩 스타일에 대해 그 세세한 사항들이 과연 효율적이고 올바른 것인지 왠지 자신이 없는 개발자들을 위한 탁월한 c++ 문법-원리 안내서이다.

시중에 c++ 문법에 대한 책은 이미 넘쳐나고 있고 또 구체적인 애플리케이션 개발이나 Visual C++ 등과 같은 개발툴 사용법에 대한 책은 많지만, 이 책처럼 우리가 무심코 사용하곤 하는 c++ 문법의 구체적이고 실제적인 의미가 무엇인지 속시원하게 가려웠던 곳을 긁어주고, 또 STL과 템플릿을 이용한 일반화 프로그래밍에 이르기까지 좀더 효율적인 코딩을 위한 최신의 개발 경향까지 소개해주는 책은 그리 많지 않다.

객체 생성시 new 할당자 사용할 때의 미묘한 문제, 연산자 재정의, 가상 함수의 메커니즘, 클래스 템플릿, 표준형 템플릿 라이브러리인 STL, 데이터 유형과 무관한 알고리즘적 코드를 작성하고자 하는 일반화 프로그래밍 등과 같이 평소 궁금했지만 시원한 답을 잘 듣지 못하곤 했던 아리송한 주제들에 대해 저자는 명쾌하게 설명해주고 있다.

c++ 언어의 문법을 달달 외워서 사용하고 있긴 하지만 어떤 경우에 어떤 문법을 어떤 원리 때문에 사용해야 하는지 명확하게 정리되지 않아서 왠지 자신이 없었던 c++ 개발자분들에게 이 책을 자신있게 추천한다.

잡스럽게, 진부하게, 정체되어..

잡종, 새로운 문화읽기
홍성욱 / 창비 / 1998년 9월

저자 홍성식은 용감하다. 책 말미에 붙어있는 저자 홍성식의 친구 양신규skyang의 말을 한 번 인용해보자: '국제 학문계에서는 '부도난 어음보다도 못한' 서울대의 박사학위를 가지고 캐나타 토론토 대학의 교수자리에 도전해서, 학계의 보증수표를 뽐내는 아이비리그 출신들과 경쟁해서 이기고 이를 따냈다.' 남들이 지레 겁먹고 포기해버리는 일을 홍성식은 용감하게 돌진해서 기어이 일을 벌이고 마는 성격인가 보다. 결과가 좋지 못하여 창피 당할 수도 있다는 두려움은 그에게 별로 크게 작용하지 못한다. 이러한 그의 성격이 결국 그를 '잡종'식 글쓰기와 생각하기로 이끌었지 싶다.

그러나 용기가 언제나 미덕인 것은 아니다. 이 책만 해도 그렇다. 도대체 어떻게 이런 수준의 글들을 과감하게 출판하기로 마음먹었는지 그 용기가 새삼 놀랍다. 책 표지에 써있는 작은 부제목인 '홍성욱 통신 에세이'처럼 이 책은 인터넷이나 PC통신 커뮤니티 싸이버 공간에서 통신 친구들과 홍성욱이 나누었던 글들을 주제별로 모았다. 다른 사람들에게도 맛볼 수 있는 기회를 주고자 함이란다. 벼라별 내용과 수준의 글들이 '수필'이니 '에세이'이니 하는 식으로 출판될 수는 있다. 더구나 홍세화나 유시민씨처럼 신문에 기고했던 칼럼들을 모아서 꽤 괜찮은 질의 단행본을 출간해서 그 신문을 읽지 못했던 다른 많은 사람들에게'재미와 깨달음'을 주는 경우도 있다.

그러나 이 책에 실린 글들은, '국내 대학 박사 학위만으로 토론토 대학 정교수 자리 획득'이라는 센세이셔널한 저자의 개인적 성공 이야기를 선전 문구로 마구 흔들어내면서 내놓을 책의 수준에 부합하지 못한다고 생각한다. 홍성욱의 '잡종~ 문화~'가 홍세화나 유시민의 칼럼 모음 책보다 그 질이 떨어지게 된 원인은 원래의 글이 실렸던 매체의 차이와 문화에 대한 저자 개인적인 자질의 차이를 생각해 볼 수 있다. 기고문이 공개적으로 읽혀지는 신문지면에 쓰는 글보다는 친한 몇 사람만이 읽게 되는 통신 공간상에서 쓰는 글이 정제됨과 반성을 통한 깊이 있는 분석이 떨어지기 쉽지 않을까 추측해본다. 물론, 저자가 신문지면에 글 쓰는 것만큼 공들여서 통신 공간상에 쓴 글이었다면, 그런데도 글의 수준이 이 정도라면, 그렇다면 이는 순전히 저자의 자질 때문이리라.

이 책은 '잡종'식 글쓰기가 '순종'식 글쓰기와 어떻게 원리적으로 다르고 어떤 장단점이 있는지, 실제 글쓰기에 적용할 때 효과적인 글을 쓰기 위해 지켜야 할 가이드라인이 무엇인지 등에 대해서는 거의 이야기해주지 않는다. 단순히 저자인 홍성욱이 대학 학부 시절에 자연과학, 인문학, 사회과학 갖가지 분야를 수박겉핥기 식으로 독서하며 글썼던 경험을 되살려 예전 친구들과 영어권에서 오랫만에 뜨겁게 한국어로 토론한 내용을 떡하니 독자에게 들이밀며 보여줄 뿐이다. 그것이 잡종식으로 문화읽기를 적용한 구체적인 예라면서.. 그러나 읽는 독자로서는 저자가 들려주는 이야기들이 정말로 '대학 학부 때 마음만 뜨거워서' 덤벙대며 목소리 높여 주장하기에 바쁜 그런 수준이라 당황스럽다.

따뜻한 가슴, 미지근해져버린 머리

유시민의 경제학 카페
유시민 지음 / 돌베개 / 2002년 1월

유시민씨는 정치평론가로 유명하다. 물론, 지금은 개혁당 대표와 국회의원으로 유명하기도 하다. 그러나 정작 유시민씨가 가장 처음 세상에 유명해진 것은 그 유명한 유시민의 항소이유서 때문이었다. '보잘것 없는 독백'을 마친다면서 인용하는 다음과 같은 네크라소프의 시구를 나는 기억한다: “슬픔도 노여움도 없이 살아가는 자는 조국을 사랑하고 있지 않다.”

'거꾸로 읽는 세계사'의 저자이기도 했던 유시민씨는 어느날 국내에 나타나더니 정치평론가로서 글을 쓰기 시작했다. 그리고 마침내 지난 대선에서 당시 노무현 후보를 두고 벌어졌던 민주당 몇몇 세력과 몇몇 언론사의 '반칙' 행위를 고발하며 '화염병을 들고 바리케이트를 돌진하는' 마음으로 절필을 선언하고 본격적으로 노무현 선거운동을 전개했다. 지금까지 왜 책과는 직접적인 관련이 없는 유시민씨 저자의 이력을 이야기했냐하면 그러한 그동안의 글쓰기 활동 경험이 이 책 내용과 무관하지 않게 느껴지기 때문이다.

강준만, 진중권, 유시민 등이 한국 사회와 한국 지식인들의 이중성을 공격하는 글쓰기로 유명세를 떨치던 무렵, 나는 유시민씨를 많이 좋아했다. 그래도 경제학을 전공하신 분이라 그런지 사태의 핵심이 되는 예산 제약과 합리적 선택을 강조하는 방식으로 합리적으로 기존의 비합리적 관행을 비판했기 때문이다. 시사평론가나 정치평론가가 사회나 정치를 비판할 때 흔히 저지르기 쉬운 실수가 바로 예산 제약을 고려하지 않고 '올바른 말, 좋은 말'은 다하려는 비현실적인 태도이다.

즉, 현재의 정책이나 제도를 비판하면서 그것보다 기회비용이 더 큰 다른 정책이나 제도를 대안으로 옹호하는, '웃다 못해 짜증나는' 한심한 '하나마나'한 지적 쓰레기 수준의 비평을 양산해내는 경우가 왕왕 있었다.

'유시민의 경제학 까페'가 나왔다길래 나는 유시민씨가 '예산제약하에서의 합리적 선택'을 강조하는 경제학적인 합리적 사고방식을 현실적인 이슈들에 대해 잘 적용시킨 글을 보여줄 것이라고 잔뜩 기대했었다. 그러나 막상 글을 읽어본 결과 실망을 금할 수 없었다. 이슈들에 대해 어느 정도 합리적 사고의 결과에 따른 어느 정도 합리적인 대안을 제시하긴 했으나, 저자 특유의 합리적인 경제학적 사고방식에 의한 명쾌한 현실 인식과 합리적 선택 결과에 따른 대안 제시는 찾아보기 힘들었다. 흥분하기 쉬운 정치적 의견을 피력하는 글을 그동안 너무 많이 쓰다보니 그 영향을 받아서 '냉철한' 합리적인 경제학적 사고방식이 글에서 줄어들지 않았나 추측해본다.

그러나.. 기본적으로 유시민씨의 살아있는 양심과 자신의 신념 선택에 따른 정직하고 용감한 실천을 믿기에 한 번쯤은 이 책을 읽어보는 것도 독자들에게는 큰 유익이 될 것이라고 생각한다.

설계 논증에 대한 독특한 과학적 접근

지적 설계
윌리엄 뎀스키 지음, 서울대학교 창조과학연구회 옮김 / IVP / 2002년 4월

새로운 종의 분화와 같은 생명 현상을 과학적으로 설명할 수 있을까? 만약 그렇다면, 그러한 과학적 설명은 어떤 원리를 받아들여야만 할까. 생명 현상에 대한 과학적 설명은 오직 진화론만이 유일하게 제공할 수 있다는 것이 현재 지배적인 지적 풍토이다. 진화론은 자크 모노의 책 제목처럼 '법칙과 우연'이라는 두 가지 원리만을 그 과학적 설명 원리로서 받아들여야 한다고 주장한다. 진화론의 주장은 과연 정말일까? 여기에 맞서 용감하게 '아니오'라고 외치며 반론을 펼치는 목소리들이 조금씩 자기 목청을 높이고 있다. 다름 아닌 '지적 설계(Intelligent Design)' 운동 진영이다.

이 책은 지적 설계 운동의 지도적 이론가인 윌리엄 뎀스키(W. Dembski)가 '지적 설계'운동의 목적과 주장에 대해 대중적으로 이해하기 쉽게 합리적으로 설명하기 위해 쓴 책이다. 뎀스키의 주장을 간단히 요약하면 다음과 같다:

1. 생명 현상은 물론 우주 현상을 과학적으로 설명하기 위해서는 '법칙과 우연' 원리만을 엄격하게 고수하는 '방법론적 자연주의'만으로는 부족하며, 세계에 지적인 패턴을 불어 넣어준 세계 바깥의 지적인 원인에 의한 '설계'를 설명 원리로 추가해야 한다.

2. '설계' 여부를 현대 과학의 지적인 절차와 동등한 절차를 걸쳐 경험적 과학적으로 검증해줄 엄밀한 경험적 검증 방법이 가능하다.

뎀스키의 주장은 한 마디로, 우주 현상을 과학적으로 충분히 설명하기 위해 필요한, '법칙과 우연' 이외의 '설계' 원리를 엄밀하게 경험적으로 검증해줄 수 있는 과학적 방법을
바로 '지적 설계(ID)'가 제공해준다는 것이다. 뎀스키가 주장한 내용을 좀더 자세히 살펴보면 다음과 같다:

1.어떤 현상에 대해 설계 원리로 설명하기 위해서는 그 현상은 최소한 불확정성( <-- 필연 아니어야 하므로 ), 복잡성( <-- 우연이라고 하기에는 확률 너무 낮아서 우연 아니라고 해야 하므로), 특정성( <-- 과학자 자의적으로 위조해낸 가짜 패턴이 아니라 정말 관찰자 독립적으로 존재하는 지적인 패턴이어야 하므로) 세가지 조건을 갖추어야 한다. 지적 설계는 과학적 엄밀성을 높이기 위해 '설계' 탐지의 기준을 '보편우주확률한계' 수준으로 아주 엄격하게 제한함으로써 양성적 오류 가능성을 최소화했다.

2. 지적 설계를 찾는 프로그램은 곧 복잡-특정 정보(Complex-Specified Information, CSI)를 찾는 과정이다. 복잡-특정 정보는 패턴이 복잡하고 특정화된 형태를 이루는 비트 배열이다. 복잡한 정보와 특정화된 정보에 대한 경험 과학적 판별 기준은 정보량인데, 사건의 확률에 대해 2를 밑으로 하는 음의 로그를 취하는 정보이론의 방법을 사용해 측정할 수 있다.

3. 기존 과학의 설명 원리로는 필연과 우연, 법칙과 우연 , 선택과 돌연변이만이 있었다. 지적 설계 운동은 그러한 과학적 설명 원리에 '설계'를 추가할 것을 제안한다. 창조 과학 등 기존의 자연신학적 과학과 다른 점은 엄밀한 개념 정의와 실제 경험 과학에의 적용을 시도한다는 점이다.

4. 법칙은 CSI를 보존하거나 감소시킬 수만 있다. 우연은 복잡 정보를 생성하거나 특정 정보를 생산할 수는 있어도 복잡-특정 정보(CSI)는 생성하지 못한다. 법칙과 우연을 결합해보았자 CSI를 생성하지는 못한다. 즉, 법칙과 우연이라는 설명 원리만으로는 CSI의 생성 원리와 그 기원을 과학적으로 설명하지 못한다.

지적 설계는 현대 과학의 주류로 자리잡고 있는 방법론적 자연주의(-법칙과 우연 원리만 인정하는)는 지적 패턴에 대한 과학적 설명에 부족하므로 설계 원리를 현대 과학 방법으로 추가하는 것이 더 합리적임을 설득력 있게 설명하고 있다. 생명현상을 복잡적응계 관점에서 새롭게 탐구하거나 유신론 논변을 수학-과학적으로 접근해보고 싶은 사람이라면
이 책을 통해 중요한 내용을 쉽게 배울 수 있을 것이다.