수열의 고백

수열의 고백 ㅣ 수학 소녀의 비밀노트
유키 히로시 지음, 박은희 옮김, 전국수학교사모임 감수 / 영림카디널 / 2021년 8월

현 고교 교육과정에서 수열은 중요한 위치를 차지한다. 수학1의 3단원에 첫 등장하는 수열 단원에세 등차, 등비수열, 여러 가지 수열, 귀납적 정의 등을 학습하며 미적분 과목의 1단원에서 수열의 극한과 급수에 대한 내용으로 이어지며 확장된다. 가히 수학공부의 중심이라 볼 수 있으며 생각보다 간단하고 쉽다. 단, 기호 사용이 어느 정도 익숙하다면 말이다.

이 책은 수학 소녀의 비밀노트라는 이름으로 학생들이 대화식으로 이끌어 나가면서 수열 개념 전반을 소개하고 이해시키는 책이다.

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'나'는 고2학생으로 수학토크를 이끌어나가는 주인공이다. 유리는 중2이고 '나'의 사촌여동생이며 논 리적 사고를 좋아한다. 고1인 테트라, 고2인 미르카, 내가 다니는 고등학교에 근무하는 사서 선생님이다. 이들이 서로 의문을 가지고 대답하는 과정 속에 함께 들어가다보면 수열을 처음 배우는 학생들도 친숙하게 이 개념을 받아들일 수 있을 것이다.

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그냥 수를 나열한 것도 수열이지만 규칙성이 있는 수열을 탐구하는 것이 수학이다. 1장에서는 1부터 시작되어 차례로 나열한 n개의 홀수들의 합이 n제곱과 같음을 그림으로 보이고 있다. 그리고 자연스레 계차수열을 도입한다. 계차수열을 사용해 정리하면 수열이 어느 가족에 속하는지 알 수 있다. 여기서 가족은 등차인지 등비인지 등 규칙을 얘기한다

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2장에서는 시그마 기호를 이해하는 방법을 자세히 설명한다. 기호를 제대로 사용하지 못하거나 착각하기 쉬운 경우를 예를 들어 잘 설명하고 있으며 왜 기호를 사용해야하는지, 언제 사용해야 하는지를 알려주기 때문에 이유없이 기호를 도입하는 게 아님을 알 수 있다. 특히 시그마의 성질이 어떤 의미가 있는지를 설명해주며(가령 시그마 a_k+b_k의 합이 시그마 a_k와 시그마 b_k의 합과 같음은 더하는 순서를 바꾸어도 된다는 의미) 시그마를 사용하여 나타낸 다양한 합의 조작 방법을 보여준다. 기호사용의 편리함을 느낄 수 있다.

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3장은 등비수열이다. 등비수열의 계차수열이 원래 수열과 같아지는 경우는 어떤 경우인가에 대한 문제를, 일반화된 식을 이용하여 보이는 과정을 통해 이런 식의 증명은 구체적인 예를 하나하나 들어보이지 않아도 충분히 완벽한 증명임을 확인할 수 있다. 또한 피보나치 수열에 대한 기본 설명과 더불어 이 수열의 각 항의 일의 자리로 이루어진 수열에서 다시 한번 1, 1, 2, 3이 나오는 경우가 있는지 질문해보고 이를 직접 시행해보는 구체적 방법을 통해 확인한다. 이 질문을 확장하여, 0부터 9까지 정수 중 2개를 골라 처음 두 항으로 한 뒤 두 수를 더해 만든 수의 일의 자리로 이루어진 수열을 만들면 처음에 나왔던 두 항이 반드시 다시 나옴을 비둘기집의 원리와 귀류법으로 증명하는 과정이 이해하기 쉽게 이야기로 설명되어 있다. 나도 처음 접한 문제여서 상당히 흥미로웠다.

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4장은 1부터 n까지의 합의 제곱근을 일반항으로 갖는 수열 a_n과 이 수열의 계차수열에 관한 탐구다. 계차수열이 2분의 루트2라는 값으로 수렴하는 수열임을 설명하기 위해 극한개념을 자연스레 도입하고 있는데 직관적이고, 구체적으로 소개한다. 표, 기호, 그래프를 이용하여 추상과 구체를 자연스레 넘나드는 전개방식이 아주 인상적이다.

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5장은 1, 2, 3, 4, 10, 14가 적힌 주사위가 탐구 대상이다. 이 주사위의 전개도를 변형시켜 첫 행이 홀수이고 그다음 행은 바로 윗행의 두배인 값이 나오는 무한표를 만들 수 있는데 이 곱셈표는 모든 자연수가 신기하게도 한번씩 나온다. 왜냐면 모든 자연수는 2의 m제곱 곱하기 (2n+1)의 형태로 나타낼 수 있고 여기서 (m, n)이 바로 이 곱셈표에서 m행 n열이 되기 때문인데 이 과정을 알기 쉽게 자세하게 설명한다. 주사위의 전개도와 수열을 함께 공부할 수 있는 창의적인 장이다. 그리고 마지막에 언급된 급수가 1로 수렴함을 설명하는 과정은 정말 경이로웠다.

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오랜만에 생각할 거리를 던져주는 책이라 참 좋았다. 설명 중간에 툭 튀어나오는 적절한 질문들과, 탐구문제에 대해 자유롭게 생각하는 부분이 특히나 인상적이었다. 수학 소녀의 비밀노트 다음 시리즈도 있다니 기대가 많이 된다.

노력이 필요 없는 영어

노력이 필요 없는 영어 - 원어민처럼 영어 말하기를 배운다
A.J. 호그 지음, 손경훈 옮김 / 아마존북스 / 2021년 8월

이 책에서 말하는 '노력이 필요 없는'이란 시작이 아니라 결과다. 즉 강요받지 않고 스트레스, 주저함, 초조함 없이 자연스럽게 영어 말하기를 하는 것이다. 거의 대부분이 궁극적으로 이 상태를 원한다. 노력이 필요 없이 말해야 내 생각을 분명히 전달할 수 있고 사람들과의 연결에 집중하며 즐길 수 있다.

그러나 현재의 교실은 대부분 문법위주에 학생들은 몹시 수동적이며 영어에 대한 감정이 좋지 않다. 이런 식의 잘못된 교육으로 수많은 사람들이 영어를 말하지 못한다.

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저자는 심리와 방법, 두 가지 측면에서 해법을 제시한다.

첫째, 심리의 측면에서 영어 공부를 할 때의 감정을 긍정적으로 만들고 매시간 최고조의 행복 상태로 만들어야 한다. 과거에 했던 큰 성공 경험을 떠올려볼 수도 있고 영어가 유창한 미래의 나를 떠올릴 수도 있다. 그리고 성공한 영어 사용자를 찾아 모델로 삼고 나도 할 수 있다는 믿음을 가져야 한다.

영어는 행동 기술이자 신체적 스포츠이지, 공부하는 과목이 아니라고 말한다. 행동 어휘방법은 특유의 신체적 움직임을 새로운 어휘 목록 단어에 연결하고 단어(혹은 구절)을 소리치면서 움직임을 진행하는 것이다. 또한 내 마음의 영화를 (긍정적으로)재프로그램하기 위해 스위시라는 방법을 소개한다. 내가 변화시키고 싶은 감정이나 행동을 확인한 후, 경험하기 원하거나 대신하고자 하는 목표를 나타내는 강렬한 영화를 만들고 이를 연결하는 작업이다. 눈을 감고 부정적 상황을 그린 후 그 그림의 모퉁이에 작은 검은 사각형을 상상하는데, 이 사각형이 폭발해서 멋진 사운드트랙과 밝고 행복한 감정이 드는 거대 영화화면이 되었다고 상상하는 '우쉬' 상태를 크고 힘있게 강한 몸짓을 사용해 극대화한다. 이를 반복해 스위시를 프로그래밍시키는 것으로 영어에 대한 무의식적 두려움을 바꿀 수 있다.

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둘째, 방법적 측면에서,

1. 단어가 아닌 구절로 배워야 한다. 발음을 위해서도, 문법의 직관적이고 무의식적인 학습을 위해서도, 그리고 기억하기도 더 쉽다. 구절 노트를 만들어 매일 반복해서 복습한다. 출처를 적어도 좋다. 기억이 더 잘 날 수 있다. 영화 주인공이 된 것처럼 영화 따라하기도 좋다.

2. 문법 공부를 하지 말고

3. 눈으로 보는 공부가 아니라 귀로 듣는, 즉 듣기를 해야 한다. 이해할 수 있는 영어 대화를 많이 듣고 그 대화를 반복하라. 이해할 수 있는 영어란 쉬운 영어다. 수시로 듣고 또 들어야 한다.

**아주 쉬운 영화를 선택해 첫 장면을 3-5분 정도 본다. 자막을 켜고 이해못한 구절을 찾은 후 그 말을 다 이해할 때까지 그 장면을 본다. 이를 계속 반복해 어휘를 이해하게 되면 자막을 끄고 다시 본다. 이때 각 문장이나 구절이 끝난 후 멈추고 문장을 큰소리로 반복한다. 영화 다보는데 몇 달 넘게 걸릴 수도 있고 한 장면에 일주일 걸릴 수도 있다.

4. 반복이 중요하다. 매일 7일 이상 각 오디오를 반복하고 그 이상도 좋다. 좋아하는 오디오 기사나 팟캐스트가 있으면 30번은 들어라. 어휘를 배운 후에는 계속 들어야 한다.

**반복이 지루하면 자기가 좋아하는 자료로, 방식을 바꾸면서 한다. 예를 들어 첫날엔 어휘학습에 집중, 둘째날은 텍스트 없이 오디오 이해에 집중, 그다음은 소리내서 연기, 다시 듣고 이해, ... 이런 식으로 변화를 준다.

5. 시점 이야기를 만들어라. 과거 시점의 메인 스토리를 현재 시점, 미래 시점 등으로 바꾸어 듣는 것이다. 내가 관심 있는 간단한 이야기를 찾고 영어 교사나 원어민에게 보여준 후 다른 시점으로 이야기를 써달라고 요청한다.(+녹음) 그리고 듣고 말하고 반복.

6. 교과서가 아닌, 실제 원어민이 쓰는 자료로 공부하기

7. 재밌는 이야기로 영어 배우기. 듣고 대답하는 이야기여야 한다. 대답을 할 때는 몸도 같이 움직이면서 하면 더 좋다. 이때 속도가 빨라야 한다. 이야기텍스트를 매일 듣고 대답하고 반복하고, 오디오 끄고 가능한 빠르게 다시 이야기를 말하면서 정점에 이른다.

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궤도에 올라갔을 때, 쓰기의 방법 등 소소한 팁들도 뒤에 소개되어 있다. 방법이 구체적이어서 좋았고 좋아하는 걸 타겟으로 삼아 공부하라, 반복이 답이라는 진리를 다시 확인할 수 있었던 책이다. 큐알코드로 저자의 소리를 직접 들을 수 있게 구성한 점도 좋았다. 트위터나 유튜브로 더 자세한 방법을 알 수 있을 것 같다.

제프리 삭스 지리 기술 제도

제프리 삭스 지리 기술 제도 - 7번의 세계화로 본 인류의 미래 ㅣ Philos 시리즈 7
제프리 삭스 지음, 이종인 옮김 / 21세기북스 / 2021년 8월

<빈곤의 종말>이라는 책으로 유명한 제프리삭스의 신작이다. 거시경제학자이자 세계에서 가장 영향력있는 경제학자 중의 한 명인 제프리삭스가 바라본 세계화가 궁금해졌다. 미국은 세계화에 역행하는 듯하며 트럼프를 대통령으로 선출했다가 노선을 바꿔 바이든에게 미래를 맡겼다. 코로나로 세계화에 제동이 걸릴 지도 미지수다. 앞으로 어떤 일들이 벌어질지 알 수 없는 혼돈의 시대다. 그런 면에서 이 책은 세계화의 복잡성을 통찰하고 있다. 세계화는 자연지리, 인간의 제도, 기술적 노하우가 복잡하게 얽혀 상호작용하는 과정이다. 구석기 시대부터 지금까지 인류는 일곱 번의 세계화 과정을 거쳤다. 저자는 다가올 새 시대에 새로운 형태의 국제적 협력을 요구하며 역사의 일정한 방향성과 반복적 사이클을 확신하고 있다. 왜 그런 근거를 가지는지, 우리의 방향이 어떠해야 하는지 정확하게 짚어내는 제프리 삭스의 논리정연함을 엿볼 수 있다.

구석기시대, 신석기시대, 기마시대, 고전시대, 해양시대, 산업시대를 거쳐 21세기 디지털시대까지 세계화를 일곱 가지 시대로 구분하여 각 연대와 획기적 발전 사항을 상세히 설명하는 것으로 첫 장을 시작한다. 세계화의 속도는 점점 더 빨라지고 있으며 어느 시간, 어느 장소가 되었든 경제체제는 지리, 기술, 제도에 달려 있고 이 조건들은 모두 상호의존적이다. 경제학자들은 이 세 가지 중 어떤 것이 경제 발전에 핵심적인가를 논의했으나 한 면을 일방적으로 강조하는 것은 안 된다고 말했다. 이 책은 인류 공동 역사와 공통적인 취약성을 이해함으로써 공통 관심사와 가치관을 파악하고 공유와 번영과 평화의 길로 나아갈 것을 독자들에게 이야기한다.

호모 사피엔스가 세계화를 시켰던 구석기에서부터 신석기로 넘어오면서 농업이 세계화되었다. 유라시아 동서축과 남북아메리카 및 아프리카의 남북축을 통해 지리적 중요성을 언급하는 부분이 신석기다. 그리고 나서 말이 중요한 핵심이 되는 기마시대는 말의 순치, 문자체계의 발달, 야금술의 발전으로 구분할 수 있다. 이후에는 고전 시대, 즉 정치의 세계화로 일컬어 진다. 동양과 서양이 진정한 의미로 만난다고 볼 수 있는 것도 이 부분이다. 그리스 로마, 페르시아, 이슬람, 중국의 4대 문명이 장거리 교역과 함께 기술과 사상을 교환하며 발전한 시대다.

해양 시대로 들어오면서 제국주의의 세계화가 이루어졌다. 글로벌 자본주의가 탄생했고 칙허받은 개인 영리회사들이 복잡한 규모의 생산과 무역 네트워크에 참여했다. 영국이 이 과정에서 엄청난 이득을 봤지만 산업 시대에 들어와서는 이들의 이익은 고통받고 희생받는 누군가로부터 이루어진 것들임이 뚜렷하게 드러난다. 산업시대는 기술과 전쟁의 세계화로 나타낼 수 있다. 이전의 세계화 단계와 다르게 역사상 처음으로 기술발전이 빠르고 폭넓어 물질적 생활수준 자체는 급속도로 향상되었고 일부 산업선진국들이 그 이득을 누렸다. 그리고 드디어 디지털시대에 와서 불평등이 세계화되는 어둠을 맛본다. 이 부분에서 등장하는 문제점은 불평등의 심화, 환경 파괴, 전쟁 가능성이다. 그리고 그 대가로 지속가능한 발전이라는 측면에서 실패한 세대를 살아가고 있다. 우리는 가끔 어우러지지 못하기도 하지만 아프리카 사바나 지역에서 형성된 추론과 협력의 능력을 지니고 있으므로 우리는 인간 본성에서 오는 교훈을 활용하여 세계적 규모의 새로운 협력시대를 구축할 것을 촉구한다.

뒤에 그림자료나 표, 그래프 자료가 추가로 수록되어 있어 이해를 도우며 이 책이 사실에 기반한 책임을 알 수 있다. 제프리 삭스의 세계화에 대한 논의는 이 시대를 살아가는 우리 모두가 같이 공유하고 토론하며 다듬어가야 함을 절실히 느낀다. 그러한 부분에서 토론 거리를 제공하고 생각할 거리를 많이 던져 준 좋은 책이다.

교과서를 꿀꺽 삼킨 8급 한자

교과서를 꿀꺽 삼킨 8급 한자 ㅣ 지식이 담뿍담뿍 4
김기만 지음, 허정숙 그림 / 담푸스 / 2021년 9월

어릴 때 한자를 좀 많이 아셨던 엄마 덕택에 부수부터 외우고 한자를 열심히 공부했던 기억이 난다. 비루한 뇌로 인해 지금은 한자를 공부했던 기억만 있고 내용은 기억나지 않지만 한자를 쓸 줄은 몰라도 대략적인 뜻을 알기 때문에 국어에서 큰 어려움은 없었던 것 같다. 한자를 읽거나 쓸 줄 모르는 경향이 점점 늘어나지만 다행히 어문회와 검정회에서 한자급수시험을 시행하고 있고 덕분에 급수를 따기 위해 공부하는 아이들이 많다.

아이에게 첫 한자공부를 위해 8급 한자 50개를 알려주고픈 때에 이 책을 만나게 되었는데, 아이가 흥미있어 할 요소들이 곳곳에 있다. 지루하게 한자를 무작정 쓰고 외우는 방식이 아니라서 더 즐겁게 공부할 수 있는데 구성은 다음과 같다.

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먼저 초등학생 담이의 일화가 등장한다. 아이들이 자신의 경험이나 생각과 비슷한 일화를 읽으며 공감하고 한자를 가깝게 느낄 수 있다.

그런 후 초등학교 교과서에서 쓰이는 예문 속 단어를 제시하여 이 한자가 어떤 뜻으로 어떤 쓰임을 갖고 교과서에 등장하는지 확인할 수 있다. 우리 말은 절반이상이 한자로 구성되어 있는데 한글 옆에 한자 표기가 되어 있지 않아 아이들이 단어의 뜻을 유추하기가 쉽지 않다. 그래서 이 책은 쓰기가 아니라 쓰임을 중점적으로 보아 구성되어 있다.

그리고, 한자 읽기를 위해 한자의 모양을 그림으로 표현하여 아이들이 기억하기 쉽게 해두었고 옆에 뜻과 소리, 그리고 이 한자에 대한 간단한 설명이 적혀있다.

같은 페이지 아래에는 쓰기 방법이 나와 있는데 쓰는 순서와 함께, 쓰는 여러 가지 방법이 소개되어 있다. 어떻게 써도 되는지, 어떻게 쓰면 안되는지 손글씨 예시와 팁이 같이 들어 있어 도움이 된다.

그다음 같은 소리음이지만 뜻이 다른 여러 단어를 제시하는데 만화로 이야기를 구성하여 풀어간다. 아이와 함께 읽었을 때 이 부분을 특히 좋아했다.

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재미있게 구성되어 있어서 유아~초등저학년 아이들에게 적합하게 쓰여진 책이라 생각된다. 특히 낱말의 뜻이 어떻게 단어에서 적용되는지, 그리고 초등학교 교과서에 어떤 단어로 수록되어 있는지 적용에 대한 예가 나와 있어 아이들이 더 이해하고 받아들이기 쉬울 것 같다. 한자를 통해 국어의 어휘력을 신장시키고 이를 통해 전반적인 국어 능력이 향상된다면 어떤 학습이든 도움이 될 것이다. 나도 그런 부분에서 한자를 아이와 같이 공부하고 싶었는데 부담없이 하루 하나의 한자를 오십일동안 공부하는 것을 재미있게 할 수 있을 것 같아 기대된다.

유아 자신감 수학 만 3세 1권

유아 자신감 수학 만 3세 1권 : 5까지의 수 알기 - 썼다 지웠다, 뗐다 붙였다! 생각과 자신감이 커지는 ㅣ 유아 자신감 수학
천종현 지음 / 천종현수학연구소 / 2021년 5월

둘째가 만 3세가 다가오면서 숫자에 조금씩 관심을 가지고 있다. 첫째가 열심히 이것저것 쓰고 하니 자기도 옆에서 따라 써보면서 소근육이 일찍 발달한 편이고, 1부터 10까지의 수를 쓸 수는 있다. 나는 1부터 10까지 쓰는 아이를 보면서 아니, 만 3세도 안됐는데 벌써 숫자를 쓰다니, 하고 대견해했는데... 알고보니 그냥 따라 쓸 뿐, 1부터 10까지의 수의 개념을 아는 건 아니었다. 1처럼 생긴 작대기 이미지는 1이라고 기억할 뿐이지 추상적 개념인 숫자를 인지하는 건 아니라는 것이다. 하나, 둘, 셋, 하고 셀 수도 있어야 되고 자신이 세아린 그 수가 1, 2, 3에 대응된다는 것도 알고 있어야 하는데 그런 건 아직 모르는 듯했다. 그러다 좋은 기회가 닿아 이 책을 얻게 되었는데, 지금 첫째가 열심히 하고 있는 소마셈을 출판하고 있는 천종현수학연구소라는 이름에 믿음이 갔다.
이 책이 가장 좋은 점은 뒷장의 스티커가 떼었다 붙였다 할 수 있게 만들어진 재질이라는 거다. 보통의 학습지는 아이가 스티커를 한 번 붙인 후에 다시 붙일 수 없지만 이 책은 스티커를 붙이고 또 떼고 붙이면서 여러 가지 다양한 상황을 접할 수 있다는 것이 큰 장점이다. 스티커 재질이 뜯기 쉽고 도톰하고 아이가 흥미를 가지기 매우 좋게 구성되어 있으며 스티커 구성도 다양하다.
1,2,3,4,5라는 숫자를 손가락으로도 표현한 스티커를 붙여보고, 주사위 모양으로도 표현해보고, 연필 개수로도 대응시켜보면서 1부터 5까지의 수가 단지 이미지의 이름이 아니라 손가락, 연필 개수, 주사위의 점 개수 등 다양한 상황을 공통적으로 의미하는 추상적 개념임을 이해할 수 있게 구성되어 있다.


아이가 꽃에 붙은 벌의 개수를 직접 세어보고 스티커를 붙여보는 활동을 해봄으로써 수의 개념에 더 다가가는 느낌이다. 이 책은 아이가 손으로 쓰는 활동보다 스티커를 붙였다 뗴는 활동이 많은데, 예로 상자 안에 넣을 수 있는 다양한 종류의 스티커가 책의 뒤쪽에 있고, 자신이 넣고 싶은 종류와 개수만큼 상자 안에 사탕 스티커를 붙여보며 수의 개념을 복습하고 즐겁게 학습하게 도와 준다. 그래서 아이의 첫 수학이 학습이 아니라 놀이처럼 느껴진다. 이 책 재질은 스티커가 잘 떼고 붙여지는 재질이라 보드 마카로 쓰고 지울 수도 있을 것이다.

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특히 가이드 영상 QR코드가 있어서 학부모가 이 활동의 목표나 의도, 그리고 어떻게 활용하면 좋을지 팁을 알 수 있게 되어 있다. 뒤의 스티커(붙임딱지)는 두 가지로 나누어져 있는데 한 두번 딱지와 계속 딱지가 있다. 한 두번 딱지는 개념을 배우는 내용에 사용하는 붙임딱지다. 한 두번 옮겨 붙일 수 있는 소재로 되어 있다. 틀렸을 경우 다시 붙이는 것이 가능하게 되어 있다. 계속 딱지는 문제를 새로 내주거나 아이가 반복이 필요한 경우 반영구적 사용이 가능하여 한 번 공부하고 끝나는 것이 아니라 다시 사용할 수 있게 되어 있다.

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많고 적음에 대한 비교, 개수 세어보고 더 많은 모양에 표시하기, 포크와 숟가락 대응 시키기, 같은 수 만큼 색칠하기, 줄 선 동물 수 세기, 나무도막으로 수 표현, 알에서 깨어난 병아리로 수 표현, 숨은 그림 찾기, 같은 수 찾아 선 잇기 등을 통해 1부터 5까지의 개념을 학습한 후 <함께해요> 코너에서 가족이 식사 준비를 하는 것을 바탕으로 식탁 위의 숟가락 개수를 기억하고 숟가락 개수만큼 젓가락에 O 표시를 해볼 수 있다. 특히 숟가락, 젓가락, 접시 붙임딱지는 5를 넘지 않도록 한 가지를 붙여도 되고 여러 가지를 붙여도 되고 난이도를 조절하여 문제 상황을 다양하게 만들 수 있도록 구성되어 있다. 따라서 아이의 이해 정도에 따라 부모가 난이도를 조절하여 쉬운 상황을 줄 수도 있고 어려운 상황을 줄 수도 있게 되어 있는 게 이 책의 특징이다.

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무엇보다 아이가 첫 수학, 숫자 공부를 놀이처럼 즐겁게 할 수 있어서 좋은 책이다.