피타고라스 생각수업

피타고라스 생각 수업 - 수학자는 어떻게 발견하고 분석하고 활용할까
이광연 지음 / 유노라이프 / 2023년 1월

몇 년 전에 내가 수업했던 교과서의 저자인 이광연 교수님이 신간을 내셨다고 하여 서평단을 신청하여 감사히도 책을 읽게 되었다. <웃기는 수학이지 뭐야!>등 수학을 일반인들도 이해하기 쉽도록 재미있게 구성한 책들을 많이 발간하셨기 때문에 이 책 또한 기대를 품고 읽었다.

오래전 박사과정 논문 주제로 수학자의 사고 과정을 고찰하겠다 했던 적이 있다. 이제는 학위와 멀어진 삶을 살고 있지만 수학자의 사고 과정은 늘 나의 관심 주제였다. 이 책은 "수학은 생각보다 우리 가까이에 있고, 우리는 생각보다 수학자처럼 생각한다"는 표지 뒷면의 문구처럼 수학이 우리에게 어떤 이점을 주는지, 골치아프게만 생각했던 수학이 의외로 쓸모있을 수도 있음을 느끼게 한다.

1장은 문제에 대한 생각, 보이지 않는 것을 발견하는 장이다. 요즘처럼 택배나 배달이 일상화된 시대에 아주 딱인 '외판원 문제'는 수학적 사고가 얼마나 효율적으로 일처리를 할 수 있게 하는지 깨닫게 한다. 외판원이 모든 방문지를 한 번만 방문하고 원래 시작점으로 돌아오는 최소 비용의 이동 순서를 구하는 외판원 문제는 일상의 현실 문제를 수학 문제로 변환하고 변환된 수학 문제를 해결하는 방법을 찾아냄으로써 원래의 현실 문제를 해결할 수 있게 한다. 도심 상권 분석, 에너지 효율 최적화, 인공지능과 빅데이터같은 큰 줄기에서 수학은 뗄레야 뗄 수 없는 존재다. 많은 분야의 회사들이 수학자를 찾고 있고 미래는 수학 전쟁의 시대라고도 한다. 이런 비슷한 결의 문제가 페르미 추정이다. 서울에 미용실은 몇 곳일까? 같은 문제를 페르미처럼 몇 가지 가정을 세워 해결하는 것이다. 간단한 상식으로부터 불확실성을 줄여줄 정보를 얻을 수 있고 이런 정보로 유익한 추론을 할 수 있도록 도와주는 것이 바로 수학인 것이다.

2장은 논리에 대한 내용이다. 수학을 배우면서 수많은 기호때문에 답답하고 따분했던 적이 있을 것이다. 그런데 기호가 없으면 수많은 정보들을 어떻게 정리하고 분류할 수 있을까. 복잡하고 어려운 문제의 부피를 줄이는 과정이 기호화다. 이 장에서 비트맵과 웨이브로 소리와 이미지를 어떻게 인식시키는지 알 수 있으며 특히 내가 읽으면서 가장 좋았던 부분은 필즈상 수상자인 허준이 교수의 리드 추측에 관한 내용이었다. 나같은 수학 조무래기야 아무리 들여다봐도 모르겠지만 여기서 대략적인 큰 줄기를 설명해주고 있어서 참 좋았다. 4색 문제, 그리고 채색 다항식의 계수들의 로그값 경향 추론으로 리드 추측과 로타 추측 등 여러 난제를 해결했다고 하는데 연결성과 독립성을 수학적으로 구조화한 그래프의 성질에 대한 연구는 여러 기술에 응용될 것으로 기대된다.

3장은 창의에 대한 내용이다. 역제곱 법칙이나 병뚜껑에 숨어 있는 약수의 비밀 등 평소 내가 읽었던 수학 도교양도서에서 다루어지지 않은 내용들이 있어서 흥미로웠다. 중학교 수학에서 다뤄지는 최대공약수, 최소공배수에서 육십갑자, 사주, 팔자와 수학의 연결고리 등을 학생들과 함께 공부해봐도 좋을 것 같다. 역시 흥미로웠던 파트는 앙골라 초크위 지역의 소나라는 전통놀이가 만든 모양이다. 소나의 규칙으로부터 몇 번을 시행해보면 행의 수와 열의 수에 따른 닫힌 선의 수를 표로 정리할 수 있을 것이고 이로부터 행과 열의 수가 서로소이면 닫힌 선은 1개, 행의 수와 열의 수의 최대공약수가 닫힌 선의 개수라는 것을 알 수 있다. 배열에 관한 규칙을 찾고 수학적 사실을 알아내는 것이 바로 수학적 사고이며 수학을 재미있게 공부하는 비결이라 하겠다.

4장은 발명에 관한 내용이다. 인류가 닭 두 마리의 2과 이틀의 2가 같다는 것을 이해하기까지는 수천 년의 시간이 필요했다는 버트런드 러셀의 말처럼 추상화라는 작업은 아주 획기적인 수학적 사고다. 일대일 대응을 통한 수의 크기 비교, 0 즉 슈나의 의미, 베다 수학의 곱셈법, 유클리드 기하와 택시히가, 널리 알려진 아인슈타인의 사랑 방정식은 수학의 아름다움을 그대로 드러내는 주제다.

5장은 공부에 대한 내용이다. 수학은 어떻게 공부해야할까 라는 것은 누구에게나 난제다. 나 역시 수학적 머리가 좋은 편은 아닌 상태에서 노력으로 수학을 공부하고 그것을 직업으로 살고 있기에 수학 문제가 풀리지 않는 답답함을 누구보다 잘 이해하고 있다. 그러나 기초가 탄탄해야 함은 누구나 다 아는 사실이며 특히 내가 극 공감했던 부분은 아이가 수학을 못하게 되는 가장 큰 원인은 부모에게 있으며 그 이유는 부모가 조급한 마음에 아이에게 생각할 시간을 충분히 주지 않는다는 것이다. 교과서 위주로 공부했다는 수능 만점자의 허언 비스무리한 말을 이제는 아무도 믿지 않지만 교과서를 보지 않고도 수능 만점 받는 학생은 아마 거의 없을 것이다. 진짜다 이건. 교과서 안에 개념의 구성 과정, 사고 과정이 다 드러나 있다. 우리는 문제집으로 일목요연하게 공식이 정리된 것을 달달 외워 풀지만 진짜 그건 수학을 공부하는 바른 자세가 아니다. 교과서를 보지 않고 수학을 잘 하는 학생은 거의 없을 것이다.

6장은 아마 다른 장에 비해 조금 어려울 것이다. 죄수의 딜레마, 몬테카를로 탐색 등 수학적 내용에 대한 설명이 들어 있다. 활용에 대한 부분이기 때문이다. 지수함수, 힐베르트 문제, 리만 가설 등 다소 어려운 내용이 들어 있지만 읽다보면 크게 난해하진 않을 것이다. 다만 고등학생 이상의 독자들이 읽으면 수월하게 읽을 수 있을 것이다. 지수함수나 복소수 등에 대한 내용이 나오기 때문이다.

왜 이책의 제목에 피타고라스가 들어 있을까. 피타고라스에 의하면 철학을 하기 위해 가장 먼저 공부해야하는 분야가 수학이다. 아직까지도 왜 많은 학생들이 수학을 전공할 것도 아닌데 미적분을 공부해야 하고 어려운 내용을 공부해야 하느냐며 볼멘 소리를 한다. 그런 볼멘소리로 인해 예전에 비해 많은 양이 줄었다. 그러나 빠진 행렬은 다시 다음 교육과정에 추가되고 혼란스럽기만 하다. 수학은 일부의 수학 전공자, 공학 전공자들만 해야하는 전유물이 아니다. 미적분을 해서 뭐에 쓰냐고? 물론 콩나물 사는데 적분을 할 일은 없다. 하지만 살아가면서 맞닥뜨리는 많은 문제의 해결에 수학적 사고가 훌륭한 실마리를 마련해준다. 논리력, 추론 능력, 추상화 능력, 축소, 확장, 규칙 찾기 등 언제 어디서든 수학적 사고가 우리 생활을 좀더 효율적으로 만들어줄 수 있다. 제일 중요한 건 수학이 재미있다는 거다. 많은 사람들은 아직도 잘 모르지만 공부하다보면 안다. 수학이 얼마나 즐거운 학문인지를.

두근두근 1학년을 부탁해

두근두근 1학년을 부탁해 - 개정판 ㅣ 랄랄라 학교생활 1
이서윤 지음, 윤유리 그림 / 풀빛 / 2023년 1월

얼마 전 신입생 예비소집을 갔다가 자신의 학교를 처음 본 우리 첫째는 1학년 생활에 대한 두려움이 있다. 아무래도 유치원때보다 더 엄격한 규율이 있을 것이고 40분이라는 긴 시간을 네 시간 또는 다섯 시간씩 앉아 있어야 할거다. 막연한 두려움을 가지고 불안해하는 첫째가 이 책을 읽고 두려움을 덜었으면 하는 마음에서 서평단 신청을 했고 감사히 당첨되어 읽게 되었다.

초등학교 선생님이 글을 쓰셨는데, 첫 서문에 작가님 본인을 소개하는 수식어를 학교 여행 가이드라고 했다. 아이가 학교를 매일 여행가는 기분으로 즐거이 갈 수 있으면 했는데 여행 가이드가 안내한다니 아이도 조금 가볍게 책장을 넘긴다.

막 1학년이 되는 아현이에게 2학년 권호가 학교 여행을 떠나보자는 것으로부터 이야기는 시작된다. 가장 중요한 것. 1학년 아이들은 먼저 학교가는 길을 익혀야 한다. 늘 엄마, 아빠의 손을 잡고 가던 길을 이제는 스스로 갈 수 있어야 한다. 직접 학교까지 가는 길을 그려보면서 아이가 길을 익힐 수 있게 한다.

학교에 도착하면 학교 구석구석을 둘러보며 어떤 곳들이 있는지 알아야 한다. 도서관도 있을 것이고 보건실, 급식실, 운동장도 있을 것이다. 각 실에서 지켜야 할 규칙들이 알기 쉽게 설명되어 있고 그 외에도 아이가 생각하는 지켜야 할 규칙에 대해 써보게 되어 있다.

선생님께 어떻게 말해야 하는지, 자주 진행되는 모둠활동 등에 대해서도 알려준다. 모둠은 친구들과 함께 하는 활동이므로 친구와 사이좋게 지내는 법, 어떤 친구가 되고 싶은지 스스로 적어볼 수 있다.

아마 첫 시간은 대부분 자기소개 시간일 것이다. 자기 소개를 직접 적어보고 또박또박 말해보는 연습을 할 수 있다. 아현이가 어떻게 자기 소개를 하는지 나와 있으므로 아이가 비슷하게 따라하며 자신의 상황에 적용해볼 수 있다.

준비물뿐만 아니라 보호자를 위한 입학 준비 소개란도 나와 있다. 여러모로 초등학교라는 첫 관문을 통과할 아이와 학부모에게 많은 도움이 될 것 같다.

아이들이 생각하는 초등학교는 어떤 곳일까. 나도 졸업한지 너무 오래되어 기억이 잘 안나지만 어린 기억에 처음에는 선생님이 무서워 가기 싫었던 적도 있고 친구와 싸워 괴로웠던 적도 있다. 직접 겪어보며 나름의 노하우도 익혔지만 지금은 옛날과는 상황이 달라졌다. 아이가 잘 적응하리라 믿는 것도 중요하지만 미리 아이에게 초등학교가 이런 곳이라 친근히 말해주는 사람이 있다면, 미리 준비한다면 아이가 덜 두려워하고 더 잘 적응해 나갈 것이다. 이 책이 그런 역할을 잘 해줄 것 같다.

비됴클래스의 유튜브 영상 편집 with 프리미어 프로

비됴클래스의 유튜브 영상 편집 with 프리미어 프로 - NO.1 영상 편집 유튜버
하지원(비됴클래스) 지음 / 한빛미디어 / 2023년 1월

유튜브는 이제 거의 대부분의 사람들의 취미가 되었다. 시청이든 채널 제작이든 유튜브를 하루도 하지 않는 사람은 거의 없을 거라 생각될 정도다. 이 책은 채널 제작에 관심있는 사람들의 영상 편집을 돕는 책으로 프리미어 프로라는 영상 편집 프로그램을 이용하여 영상 편집 전문 유튜버 하지원(하줜)이 상세히 기초부터 그 과정을 알려주고 있다. 실습에 필요한 예제 파일은 한빛출판 홈페이지에서 다운로드할 수 있다.

첫 장은 영상 제작을 시작하는 초보 유튜버를 위해 왜 유튜브를 시작해야하고 동영상을 잘 만들어야 하는지에 대해 설명한다. 이미 47만명이 넘는 구독자를 보유한 비됴클래스 채널의 운영자로 유튜브가 무엇인지, 유튜브로 어떤 채널을 만들 것인지에 대해 고민해보게 하고 성공적인 유튜버가 되기 위해 일관적인 주제가 갖는 중요성, 콘텐츠의 중요성과 그 기본에 대해 설명한다.

이 기본 작업에 공감했다. 나 역시 막연하게 유튜브 채널을 운영하고 싶다, 그냥 단지 나의 기록용으로 막연하게 생각하고 있었는데 그렇게 막연한 이유로는 유튜브 채널을 운영할 수 없다고 저자는 단호하게 말하고 있다. 인기든 수익이든 원초적인 목적이 동력이라는 것에 공감했다.

카메라나 삼각대, 마이크 등 촬영에 필요한 준비물들을 상세히 알려주고 영상을 배우기 전 알아야 할 필수 지식인 프레임, 해상도, 화면 비율 등을 알아본다. 그리고 본격적으로 챕터1인 프리미어 프로 기초 기능을 익히는 단계로 시작한다. 상세한 그림과 알기 쉬운 단계별 설명, 작업 꿀팁 등도 이 책의 큰 장점이다.

비디오 모션 조절, 문제해결법, 오디오 볼륨 조절, 배경음악 넣기 등 실제적인 동영상 편집 기능을 정말 깔끔하게 실었다. 나는 프로그램을 실행하여 작업하는 것에 대한 막연한 두려움이 있었는데 그런 점을 해결해주는 책이다.

2장은 기초를 넘어 세로로 촬영한 동영상 회전, 영상에 이미지 삽입 등과 같은 약간의 어려운 작업들을 해결해볼 수 있는 시간이다. 텍스트 이동 모션이나 역동적 자막 삽입, 바탕꾸미기 등 좀 더 영상을 풍성하게 편집할 수 있는 작업을 쉽게 해볼 수 있다.

3장은 좀더 자연스런 장면 전환, 다양한 자막 디자인, 색감 바꾸기, 재생 속도 조절 등 더 다양한 효과를 낼 수 있으며 4장에선 진짜 알아두면 좋을 것 같은 특수효과 예를 들어 따라다니는 얼굴 모자이크, 똑같은 사람이 동시에 등장하는 장면, 오디오 메아리 등 다양한 효과를 보여주는 설명이 담겨 있다.

사실 처음 영상 편집을 시작하는 사람들에게는 익숙지 않은 용어들도 등장한다. 외부 플러그인, 비트레이트, 인터레이스, 트랜지션, 폼팩터, 헤드룸 등 어려운 용어들은 따로 맨 뒤에 찾아보기가 있어서 쉽게 용어를 다시 찾아볼 수 있다.

이제 유튜브를 소비하기만 하는 시대에서 개인이 직접 생산하는 시대로 바뀌었고 유튜브라는 매체는 당분간은 이러한 붐을 지속시킬 것 같다. 그리고 수많은 유튜버들 사이에서 살아남는 몇 유튜버들은 영상이 질적으로 훌륭할 것이다. 그리고 영상의 질적인 부분을 메워주는 것이 영상편집이다. 이 책이 그런 점에서 많은 도움을 줄 수 있을 것 같다. 책과 함께 저자의 유튜브 채널의 강의를 들어보는 것도 좋을 듯 싶다.

강아지랑 춤출래!

강아지랑 춤출래! ㅣ 쾌걸 공주 엘리자베트 1
아니 제 지음, 아리안느 델리외 그림, 김영신 옮김 / 그린애플 / 2023년 1월

엘리자베트는 역사적으로 프랑스에 실존했던 인물이기도 하면서 프랑스 어린이들에게는 <공주탐정> 시리즈로 더욱 익숙한 인물이라 한다. 프랑스 혁명으로 공주가 단두대에 올랐을 때도 사람들은 그녀에게 경의를 표했다하니 그녀가 실제로 얼마나 검소하며 존경받는 인물로 살았는지 짐작할 수 있다.

이제 문고판 책을 읽을 준비를 하는 첫째에게 이 책은 딱이었다. 첫째가 좋아하는 공주와, 공주보다 더 아끼는 강아지의 이야기가 그려져 있기 때문이다. 우리 집에도 17년을 함께 살았던 강아지 재작년 말에 무지개다리를 건넜는데 지금보다 더 어렸던 첫째에게도 그 강아지와의 추억이 진하게 남아있는지 꿈은 수의사가 되었고 강아지만 보면 좋아서 어쩔줄 모르며 매일 강아지 그림을 그린다. 이 책의 초반부에 테오에게 강아지를 선물받는 엘리자베트 이야기가 전개되는데, 강아지를 키우는 일은 새로운 가족을 들이는 일이다. 그만큼 많은 심리적, 물질적으로 많은 준비가 필요하며 그런 점을 이 책이 잘 짚어주고 있다. 아이를 낳고 기르는 일에는 많은 준비를 하면서도 반려견을 들이는 것은 단지 인간의 눈요기나 즐거움을 위해서라는 잘못된 관점에서 제대로 된 준비를 하지 않는 것을 질타하는 듯 하다. 강아지는 우리 인간을 위해 태어난 게 아니라 같이 더불어 살아가는 생명체다. 엘리자베트는 제대로 준비가 되지 않은 상황에서 강아지 쿠키를 고집부려 들였다가 쿠키를 위험에 처하게 하고 만다. 엘리자베트는 반려견을 키우는 일이 간단한 일이 아니며 생명은 소중하다는 것을 배운다. 또한 동물원에 갇혀 있는 코뿔소가 난폭한 것은 갇혀 있기 때문이라고 하면서 동물원에서 사람들의 구경거리를 위해 존재하는 듯한 동물들의 권리에 대해서도 생각해보게 한다. 동물들의 그런 처지가 자신의 모습과 비슷하다고 생각하며 동물의 마음에 공감한다. 첫째 아이는 이 책을 읽으면서 당시 프랑스의 위계질서라든지 공주로서의 품위나 지켜야 할 것들이나 무도회, 가정교사가 있는 것도 신기해했다. 자연스레 서양, 특히 중세 유럽의 모습도 파악할 수 있었다. 또한 크로틸드 공주가 자신을 모욕한 백작 부인을 용서하는 모습에서 진정한 품위란 무엇인지 느낄 수 있다.

엘리자베트 공주 시리즈의 신간이라 다음 편도 궁금해진다. 이야기를 쉽게 파악할 수 있도록 인물 설명과 적절한 배경을 앞뒤로 설명해놓고 있기 때문에 아이가 더 쉽게 받아들일 수 있는 책이다.

마키아벨리의 군주론

마키아벨리의 군주론 - 통치자는 어떻게 권력을 얻고 유지하는가 ㅣ EBS 오늘 읽는 클래식
이정은 지음, 한국철학사상연구회 기획 / EBS BOOKS / 2022년 11월

마키아벨리의 군주론은 꼭 읽어야 하는 우리 시대의 고전으로 평가받고 있는 책이다. 이 책은 마키아벨리의 군주론을 재해석하면서 그의 진지함과 해학을 동시에 다루고 있다. 나는 이 책을 읽기 전에 군주론을 먼저 읽고 이 책을 읽었다. 당연히 그래야 하는 것일 수도 있지만 사실 군주론 자체가 그리 읽기 쉬운 책은 아니다. 그러므로 이 책을 통해 군주론에 담긴 마키아벨리의 진의를 먼저 파악하고 군주론을 읽으면 진의를 곡해하지 않고 쉽게 읽을 수 있을 것이라 생각된다.

마키아벨리는 한마디로 평화롭고 안전한 국가 건설을 위해서는 통치 수반이 정무를 수행하는 토대는 개인적 덕성이나 지혜가 아니라 실정법과 관료제를 주축으로 하는 공적 체계여야 한다고 주장한다. 메디치 가문이 통치하던 피렌체 공화국은 통치자의 지혜를 강조했던 플라톤 철학에 기반한 철인 정치를 모방하고 있었다.

마키아벨리는 아주 주관이 뚜렷했던 것으로 보인다. 군주는 무력을 가져야 하고 군대를 양성해야 하지만 직업군인을 결성하라거나 전쟁을 충동질하는 신하를 조심해야 한다고 말하며 피렌체의 저급한 정치문화를 바꾸고 외세의 침입과 강압에 휘둘리지 않는 역량을 키워야 하는 것이 군주라고 말하고 있다.

이 책이 좋았던 점은 마키아벨리의 군주론을 다룬, 혹은 이와 비교, 대조할 수 있는 다른 책들을 뒷편에 소개하고 있다는 점이다. 게다가 러시아와 우크라이나의 전쟁 상황같은 현재 사건과 군주론을 연결시켜 설명하기도 하고 앞부분에서는 헤어질 결심과 같은 최근 영화 내용에 나왔던 복선이나 재치있는 표현이 군주론에서 그대로 적용된다고도 말한다. 즉 해석이 매우 현대적이며 다른 군주론 관련 책들과 달리 그간 마키아벨리에 대해 왜곡되었(다고 생각했)던 부분을 재해석한다.

마키아벨리는 왜 체사레와 비견되는 무자비한 군인이 신생 군주의 위치에 있다고 기뻐했을까? 무자비함에 왜 초점을 맞췄을까? 여기서는 로마 공화정을 모델로 삼아 혼합정체를 견인해내는데 마키아벨리의 본심이 있었을 거라고 말한다. 고대 문헌 연구 과정에서 어쩔수 없이 제왕적 권력을 가진 군주가 필요하다는 결론을 내린 그는 군주국의 정권을 유지하는 차원에서 인민의 호의와 평등이 필요하다고 말한다.

군주의 자질, 품성 등을 논하는 부분에서도 정치학과 윤리학 차원을 구별하며 군주가 정치적 행보를 하면서도 선한 군주라는 외관을 통해 도덕적 가치를 가지고 나아가는 전략을 사용한다고 말한다. 읽을수록 군주의 모습에서 요즘 정치인들의 모습이 겹쳐져서 생각되는 건 어쩔 수 없다. 또 시간이 흘러 지구 반대편에서도 아직 그런 현실이 지속된다는 것이 안타까웠다.

이 책은 군주론을 다시 읽어보고 내 생각과 이 책의 생각을 비교, 정리하게 해주었으며 가장 중요한 군주의 자질에 대해 다시금 생각하게 해주었다. 내가 가지고 있던 군주론에 대한 선입견이 다소 해소되기도 했고 여러 책을 읽어보며 생각 정립이 필요함을 깨닫게 해주었다. 이 어지러운 시대에 군주란 무엇인가 다시 생각해볼 필요가 있을 것같다.