선에서 출발, 삼각법으로 나아가는 수학 탐험

수학이 사랑하는 삼각형 - 열기구에서 게임, 우주, DNA까지 거리와 각도의 놀라운 수학
맷 파커 지음, 이충호 옮김 / 해나무 / 2025년 9월

('수학이 사랑하는 삼각형' 표지)

우와!~~~

저자인 매트 파커가 선물한 결혼반지가 글쎄! 운석으로 만든 것이라고 한다.

이런 것이 있는 줄도 몰랐는데 검색해 보니,

우리나라 진주에도 운석이 떨어진 적 있고 그 발견자 분도 '운석 반지'를 만들었다고 한다.

운석 반지를 결혼반지로 준다고 하면 어떨까?

그 의미를 알지 못하면 정말 실망하지 않을까?

반지로써 그다지 좋아 보이지는 않는다. 예쁜 빛깔도 없는 돌멩이니까.

운석 반지의 의미를 아는 신부는 태양물리학자다.

물리학은 수학의 도움이 없다면 발전하지 못했을 것이다.

저자 매트 파커는 수학을 재미있게 가르치는 전파자였다. 수학을 주제로 코미디 순회공연을 했다고 한다. 그의 첫 저서는 오일러 상을 받았고, "수학이 사라진다면"이라는 책은 영국에서 종합 베스트셀러 1위에 올랐다고 한다.

2020년 '수학 소통의 탁월함'을 인정받아 영국에서 상도 받았다.

이번에 출간된 "수학이 사랑하는 삼각형"에서는 그가 어떤 이야기를 전할지 정말 기대된다.

고등학교를 졸업했을 때 정말 좋았던 일이 다시는 수학을 쳐다볼 일이 없었다는 점인데

매트 파커는 이런 독자까지 감동시킬 수 있을까?

('수학이 사랑하는 삼각형' 표지)

'이 책은 삼각법이 등장하는 순간을 향해

점진적으로 나아가고 있다. '

("수학이 사랑하는 삼각형" p260)

삼각형이 하는 일 - 거리 측정

색다른 도시 여행을 하는 또 하나의 방법!

바로 그 도시의 가장 높은 건물의 높이는 재는 것. 그것도 단지 그 도시 지도와 자만 가지고.

어떻게?

먼저, 도시의 가장 높은 건물에 생기는 그림자 끝으로 달려간다.

지도는 실제 거리를 어떤 비율로 줄였는지 알 수 있으므로

자와 자의 그림자, 지도 등을 이용해서 건물의 높이를 계산할 수 있다.

책은 이런 일련의 과정들을 자세히 소개하고 있다.

어떤 계산이 어떻게 되는지 그래도 이해하기 어려웠지만,

삼각형을 이용하면, 땅의 넓이, 피라미드의 높이, 도시 건물의 높이, 애드벌룬이 얼마나 높이 떠 있는지 등을 계산해서 알 수 있다.

이렇게 삼각형을 이용해서 거리를 측정하는 방법은

아주 멀리 우주로 나가서 별과 별 사이의 거리, 지구에서 별까지의 거리 등도 측정하는데도 이용된다.

책은 이 방법으로 열기구가 돼지 농장 위를 가깝게 날았다는 사실을 증명해서 돼지들이 죽은 이유를 밝혔다.

('수학이 사랑하는 삼각형' 표지)

공룡을 멸종시킨 운석의 각도

"당구는 각도야"

당구공의 각도를 계산하는 수학자들과 프로 당구 선수들이 당구 내기를 한다면 누가 이길까?

이론과 달리 실제 당구공은 당구대 쿠션과 충돌하면서 각도가 달라진다.

이 충돌 각도는 공룡이 멸종하고 인간이 살아남은 이 지구에도 적용된다.

운석이 조금만 각도를 다르게 충돌했더라도 어쩌면 공룡은 멸종하지 않았을 것이다.

무지개 호에 대한 이야기도 흥미롭다.

우리가 아는 무지개 반호에는 각도에 대한 다양한 과학이 숨어 있었다.

샌드위치를 공평하게 3등분 하려면?

샌드위치 껍질에 대한 선호도를 다루어서 좋다.

누구나 껍질만 많은 쪽을 먹고 싶어 하지 않을 것이다.

(껍질을 좋아하는 사람을 만나 본 적 없다. 지금껏)

어떻게 샌드위치를 빵껍질도 공평하게 3등분으로 나눌 수 있을까?

힌트라면 사각 샌드위치의 각 변을 3등분으로 나누는 데서 시작하면 된다.

책에 그 해결 방법을 그림으로 자세히 나와 있다. 그림을 보니 면적이 달라 보이는데

바로 옆 그림을 보면, 삼각형을 이용한 넓이를 보면 대강 같은 넓이로 나누었으리라 짐작이 간다.

수학 좌표를 이용해서 농구 슛 분석하기

수학으로 세상을 바라본다는 것이 이런 것인가 보다

저자는 90년대부터 봐온 농구 경구에서 평균 슛 거리가 점점 증가한다는 것을 깨닫고

이 느낌이 진짜인지 수학적으로 계산해 보기 시작했다.

1997년부터 2022년까지 모든 NBA 경기에서 시도된 슛에 대한 자료를 받아

500만 개나 되는 슛 위치에 대한 좌표를 만들었다.

이를 위해 컴퓨터 코드도 작성하고 시각화하는 작업까지 하고는 결론을 얻었다.

자신의 의심이 맞았다!

이런 일련의 과정을 보면서 수학을 잘 이해하는 사람들은 영화 '인사이드 아웃'에서 본 것처럼

'수학성'이 따로 존재하는 것 같았다.

수학성이 아주 튼튼하게 자리 잡고 있어서 딱 보면 아는 것!

저자를 보면

수학으로 세상을 보는 일이 얼마나 인생을 재미있고

풍부하게 만들 수 있는지 느낄 수 있다.

*저자는 삼각형 내각의 합이 '180도'라는 것을 증명하기 위해 오토바이까지 탄다.

('수학이 사랑하는 삼각형' 내용 일부)

삼각 부등식의 의미

삼각 부등식은 ....

삼각형의 세 변이 어떤 값을 가질 수 있고

가질 수 없는지를 설명한 규칙이다.

('수학이 사랑하는 삼각형' p109)

과거 중고등학생 시절,

도대체 이 부등식을 왜 배우는지 이해할 수 없었는데 그 의미를 이제야 알았다.

등식을 도형이나 기하학으로 바꿀 수 있고

그렇다면 일상에서 수학을 이용하면 풀 수 있는 문제가 제법 많을 것이라 예상된다.

('수학이 사랑하는 삼각형' 내용 일부)

세상은 삼각형이야!

선 - 각 - 삼각형으로 이어진 책은 이제 세상을 수많은 삼각형들의 세상으로 본다.

3D 프린팅에도 삼각형이 이용되었고

스마트폰을 비롯한 디지털 이미지가 나타내는 색상도 3D 큐브 격자로 표현할 수 있었다.

오!~~~~

색상을 표현하는 방식에도 삼각형이 쓰이다니! 놀랍다.

여기서 저자는

"우리 눈에 세 가지 색 수용체가 있고, 우리가 3차원 공간 현실을 경험한다는 것은 환상적인 우연의 일치이다"(p166)

라고 말했는데 정말 그렇다.

세 가지 색만 있으면 대체로 모든 색깔을 다 만들어 낼 수 있는데 그것을 우리 눈 수용체와 이렇게 연관 지어 해석해 내다니 놀랍다.

(저자가) 처음에 멍청하다고 욕했던 헤론 공식이 스마트폰 이미지를 프린트할 때도 사용되고 있었다.

빈틈없이 공간을 채우는 최고의 형태 '육각형'

육각형이라고 하면 바로 떠오르는 것이 '벌집'

벌들과 타일 제조공들은 최소의 재료로 이음매를 깔끔하게 맞물리게 하는 최고의 형태를 찾아야 했다. 그 형태는 바로 '육각형'

이 육각형이 놀랍게도 2021년에 발사된 제임스 웹 우주 망원경에도 이용되었다.

망원경에 사용되는 거울을 쪼개야 했는데 그때 이용된 형태가 바로 '육각형'

이렇게 육각형이 널리 사용되는 이유 중 하나는 어떤 면적을 덮기에 육각형 형태가 (변형이 되긴 해도) 제일 잘 좋다는 것이다. 빈틈없이 메울 수 있다는 점에서.

저자는 '타일 덮기'라는 질문을 던지면서 2차원과 3차원에서 공간을 모두 덮을 수 있는 최적의 형태를 찾는 과정들을 해설하고 있다.

이 과정에서 '모자' 타일과 '거북' 타일이 등장한다.

실제 욕실을 이런 모양으로 덮는다면 어떨까?

('수학이 사랑하는 삼각형' 내용 일부)

자전거 타기 만큼이나 쉬운 삼각법

이 표지판은 이 도로를 따라 100m를 전진할 때마다 그 거리의 21%만큼 위로 올라간다는 경고였다. 즉, 0.21 대 1의 비율로 오르막길을 올라가야 한다는 뜻이다. 그다음에는 '아, 이 도로의 탄젠트는 0.21이네.'라는 생각이 떠올랐고, 그 뒤를 이어 '각도로 하면 얼마지?'라는 생각이 들었다. 그것은 바로 삼각법이었다.

수학에서는 '탄젠트'가 '기울기'나 '경사'와 동의어로 사용되고

위 예에서 기울기가 21% 일 때, 그 각도는 12도이다.

결국, 21%의 비율과 12도라는 각도가 동일한 각도를 나타낸다.

그리고 100%의 경사는 45도 각도를 나타낸다. (수직인 줄 알았는데.....)

여기서 탄젠트 비율을 안다면, 사인과 코사인 비율도 알 수 있다.

이때부터 많은 학생들은 수학을 포기한다! ( 하지만 이해된다. )

즉, 저자는 삼각함수와 삼각 함수 항등식이 어떤 관계가 있고 그 특성이 뭔지 감을 잡고

일상에서 복잡한 기하학 계산을 할 때 필요한 도구 규칙 상자로써 활용하기를 바란다.

이것이 우리가 학생들에게 삼각법을 가르치는 이유다. (p270)

저자는 이상한 비율들을 외우느라 삼각법 배우는 것을 포기하는

많은 학생들을 보면서 안타깝게 생각한다.

이 삼각 함수와 연결된 다양한 관계들을 이해하고 도구로써 활용한다면

'석유 시추 사업'과 같은 일을 할 때 유용하다.

('수학이 사랑하는 삼각형' p270)

정말! 우리나라에 꼭 필요한 수학 교육이라는 생각이 들었다.

삼각법이 어떠 의미를 가지고 삼각 함수와 항등식 등이 어떻게 쓰이는지 이해를 못 하는데

숫자 외우기와 문제 풀이만 하고 있으니 수학이 얼마나 어렵고 지겨울까........

저자는 삼각법으로 어떤 것들을 할 수 있는지 보여준다.

(알고 보니 지금까지 사례들도 삼각법을 이해하기 위한 일들이었다!)

크리스마스 장식용 전구의 패턴을 바꾸는 코드를 작성할 때 삼각 방정식을 이용했다.

해변에 있는 사람이 바다에 빠진 사람을 구하러 갈 때도 삼각법이 이용된다.

트럼프가 트위터에 올린 로켓 발사대 사진을 분석해서 어느 인공위성이 미군이 운영하는 정찰 위성인지 바로 파악할 수 있었다. 삼각 함수 덕분에 미국 인공위성 망원경의 거울이 얼마나 큰지도 계산할 수 있다. 그것도 수학에 관심 많은 민간인들이.

'삼각형은 모든 것이고 모든 것은 삼각형이다 '

('수학이 사랑하는 삼각형' p419)

('수학이 사랑하는 삼각형' 내용 일부)

예술에도 수학이 쓰였을까?

저자는 원근법에서 삼각형을 찾고 소실점을 이용한 르네상스 시대 작품들을 불러왔다.

예술에 쓰이는 삼각형은 착시를 가져오고 이는 가짜 도로 방지턱에도 이용된다.

사진에서 보는 '아이슬란드 각 기둥 횡단보도 선들'은 우와 진짜 같다.

이는 미식축구 광고에도 이용된다.

마지막 장에서 저자는 '파동'을 설명한다.

파동의 이해가 중요한 것은 현대 우리는 '디지털'로 연결된 세상에 살고 있기 때문이다. 바로 양자 역학을 이해하는 일이 바로 이 파동을 이해하는 일이다.

저자는 해가 비치는 시간을 '사인파' 그래프로 보여준다.

우리도 집에서 완벽한 사인파를 만들 수 있다. 친절하게 저자는 '당근 썰기'로 사인파 그래프 만드는 비법을 알려 준다.

사인파에 대한 다양한 이야기 끝에 DNA를 이해하는 데까지 나아간다.

그리고 끝으로 저자는 세상의 모든 고체 물질들은 실제로는 파동 함수라고 한다. ( 실제로라니! )

우리는 문자 그대로 사인파로 이루어져 있다.

우리는 삼각형으로 만들어졌다.

실체는 삼각형이다

('수학이 사랑하는 삼각형' p419)

마지막에 대담하게 끝내는 저자의 말에

'무슨 이 말도 안 되는'이라고 속으로 외치면서 놀랐다.

'수학이 사랑하는 삼각형'을 읽으면서

정말 험난한 여정이었다!

삼각법을 재미있게 이해하고 싶었지만, 역시나 아직은 어렵다.

그러나 삼각법이 무엇을 할 수 있는지 어떤 점에서 삼각법이 필요한지

삼각법이 있으면 어떤 계산이 가능한지를 조금 이해할 수 있었다.

평소에 수학이 어떻게 양자 역학과 연결되는지 의문이었는데

이 책을 통해 파동으로 이해되면서 그렇게 연구되었구나 조금 짐작할 수 있었다.

우리가 초등학교 때부터 배운 삼각형이 나중에 사인파라는 파동으로 이해되기까지

그 과정들을 차근차근 단계를 밟아가며 저자는 설명하고 있다.

책에 쓰인 그 여정이 정말 대단하게 느껴진다.

수학의 위대함이랄까?

하지만, 책을 모두 이해하기에는 정말 어려움이 많았다.

계산이나 식을 설명하는 부분들은 사실 거의 넘어갔고 대강의 흐름만 잡아 읽었다.

오히려 지금 삼각법에 대해 공부하고 있는 중고등학생들이라면

아마 더 잘 이해하지 않을까 생각된다.

수학을 사랑하는 많은 분들, 선생님들, 학생들이라면

꼭 읽어보면 좋겠다.

저자의 명성대로 세상을 수학으로 보고 삼각법들이 어디에 어떻게 적용되는지

잘 설명하고 있기 때문이다.

('수학이 사랑하는 삼각형' 표지)

*해나무 출판으로부터 책을 제공받아 작성한 글입니다.