현실에 존재하느냐 그렇지 않느냐와 무관하게 수학은 그 내부에 논리적 모순이 없으면 계속 고민을 밀고 나간다. 그렇게 새롭게 만들어낸 체계가 의도치 않게 풀리지 않던 문제를 해결하거나, 이미 풀렸던 문제를 더 효과적으로 풀기도 한다.