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미적분의 힘 - 복잡한 세상을 푸는 단순하고 강력한 도구
스티븐 스트로가츠 지음, 이충호 옮김 / 해나무 / 2021년 9월
평점 :
수학은 역시 어렵다. 아무리 이해했다고 생각해도 그 너머에는 더 큰 수학이 기다리고 있다.
개인차가 있겠지만 나에게는 수학이란 과목은 고등학교 때부터 너무 어려워지기 시작했다고 생각한다. 그 중에서도 역시 미적분이 나오면서부터이다.
여전히 미적분의 여러 기호와 극한, 도함수, 편미분 같은 어려운 말들은 기억이 난다. 물론 아직도 공식에 따라 간단한 계산은 할 수 있지만 그 개념은 다 잊어버렸다. 아니 어쩌면 그때도 완벽히 이해하지 못했다고 하는 게 더 맞겠다. 미분은 순간변화율, 적분은 곡선 아래의 면적 정도로만 알고 있던 게 다이다. 지금 가장 또렷이 기억나는 수학 선생님의 말은, "세상의 나쁜 사람들은 모두 미분하고, 좋은 사람들은 적분해야 한다." 와 같이 영양가 없는 것들 뿐이다.
그래서 이 책을 집어 들었다. 미적분의 힘! 수학을 골치아파 하는 부류 같으면 아예 거들떠도 보지 않을 책이지만 나는 호기심이 발동했다.
그것은, 다시 찬찬히 보면 그때 몰랐던 걸 지금은 알 수 있지 않을까 하는 일종의 자만심과 그리고 이상하게 나이가 들면서 점점 수학의 여러 개념들이 명확히 알고 싶어지는 지적 호기심 때문이라고 해야겠다. 내가 이 책을 과연 이해할 수 있을까 겁도 났지만 그냥 부닥쳐 보기로 했다.
그리고 또 하나, 우리 집 첫째놈이 고등학생이 되어 미적분을 배우기 전에 아빠가 먼저 이해한 상태에서 아이에게 개념을 잘 설명해 주어야겠다는 의지도 있다. 미적분 때문에 수포자가 되지 않도록.
그러나 결과적으로 나는 이 책을 읽고 심한 좌절감에 빠졌다. 역시 미적분은 쉬운 상대가 아니다. 분명 이 책은 나와 같은 비수학도들에게는 한 번으로 뛰어넘을 수 없는 높은 벽임에 틀림없다. 그래서 나는 책을 두어번 더 읽기로 다짐했다. (그러나 항상 그렇지만 실행은 미지수다)
책의 원제는 <Infinite Powers> 즉 '무한의 힘'인데, 우리말로 번역시 무한보다는 미적분으로 제목을 달아야 더 관심을 끌 거라고 본 것 같다. 잘 모르겠지만 그래야 더 '수학'적인 냄새가 나는 건 확실한 것 같다.
작가는 시작부터 많은 부분을 무한에 대한 개념에 할애하여 설명하는데, 개념 자체는 내가 고등학교 때 배웠던 것과 다를 바가 없다. 미적분을 하는 데에 있어 기본적으로 무한의 원리가 필요한 이유는 다음과 같다.
미적분은 분할하여 정복(divide-and-rule)하는 전략을 극단적으로, 즉 '무한에 이르기까지' 추구하는 데 있다. 큰 문제를 여러 조각으로 계속 쪼개어 작은 부분을 대상으로 문제를 풀면 훨씬 수월해 진다. 이렇게 푼 작은 답들을 다시 합치는 것은 더 어렵지만 처음 큰 문제보다는 쉽다. 여기서 분할은 미분이고 재조립은 적분이다.
책에는 '실무한'과 '가무한'이란 개념이 나온다. 솔직히 이 부분은 알듯 모를 듯 이해하기 쉽지 않았다. 분수 1/3은 소수로 나타내면 0.333... 으로 표현할 수 있는데 여기서 ...은 3이 무한히 있다는 뜻으로 해석한다. 즉 3이 실제로 끝없이 나오는 것으로 직관적으로 이해할 수 있다. 이것이 실무한 개념이다. 조금 다른 방식으로 1/3이 0.3 또는 0.333의 근사값이라고 표현할 수도 있는데 이것이 가무한이며 잠재적 무한이라고 부르기도 한다. 이것은 원하는 깊이까지 표현할 수 있으므로 비현실적인 무한의 개념을 도입할 필요가 없다는 장점이 있다.
한 원의 원주 위에 일정한 간격의 점을 찍고 이를 잇는 다각형을 만든다. 점을 점점 늘리는 원 안의 정다각형은 점점 더 둥근 모양에 가까워진다. 그러나 그것은 원이 될 수 없다. 여전히 정다각형일 뿐이다. 원에 한없이 가까워지지만 원은 아니다. 여기서의 무한은 실무한이 아니라 가무한이다.
이 무한 정다각형이 실제로 원이 된다는 가정을 해 보자. 그러면 정다각형의 둘레는 매끄러워지고 뾰족한 부분은 사라진다. 그런데 이렇게 되면 무한 개의 변은 모두 길이가 0이 된다. 모든 변의 길이의 합은 원주와 같아야 되는데 만약 원주 길이가 두 배인 원을 상상한다면 그 원의 길이도 변의 합(0)과 같아야 하는 역설에 빠진다. 따라서 원을 무한 정다각형으로 보아야 할 합리적인 이유가 없다. 이것은 실무한을 바로 적용하기 어려운 이유이다. 실제로 아리스토텔레스 시대부터 이후 2200년 간 수학과 철학에서 실무한의 사용이 금지되어 왔었다고 한다.
책은 미적분에 이르기까지에 필요한 여러 원리들을 한 단계 한 단계씩 접근하여 보여준다. 원의 넓이와 곡선 아래의 면적을 구하는 예에서와 같이 그림을 통한 상세한 설명은 어쩌면 내가 알고 있지만 잊고 있었거나 아예 생각도 해 보지 못했던 것들을 일깨워 준 것 같다.
책에는 인류사에 등장하는 수학 천재들이 많이 나온다. 특별히 아르키메데스, 데카르트, 페르마, 케플러, 뉴턴, 라이프니츠 얘기가 가장 많은데 그 중에서도 현재의 미적분학에 가장 큰 공헌을 한 뉴턴과 그 이전 시대에서는 아르키메데스에 대해 찬사가 압도적으로 보인다. 또한 동시대 인물인 데카르트와 페르마 중에서는 페르마를 더 높이 평가하는 느낌이다. 어쨌거나 이러한 천재들이 시도했던 방법과 그들이 가진 특출난 통찰력을 보니 나라는 존재가 한없이 작게 느껴진다. 괜히 인류사에 손꼽히는 천재들이 아닌가 보다.
아르키메데스와 아리스토텔레스에서부터 뉴턴과 라이프니츠에 이르기까지, 그리고 그 이후 아인슈타인과 양자역학 등 더 복잡하고 어려운 개념들이 등장할 때까지 무한의 개념에서 출발하여 미적분으로 발전해 온 역사와 이것이 현대에 이르러 수많은 분야에 다양한 원료로 사용되고 있는 사례들이 책에 나온다. 뉴턴 등의 천재 수학자들이 연구했던 방법을 수학적 기호와 더불어 이해하기 쉬운 자연어로 설명하는 것은 작가의 타고난 능력인 것 같다.
작가의 주장은 한결같다. 미적분은 뉴턴과 라이프니츠 및 그 후계자들이 한 연구만이 다가 아니라 사실은 그 훨씬 앞서서부터 시작되었고 지금도 계속 발전하고 있다. 미적분학은 현 시점에서 더이상 발전할 것이 없는 영역이 아니라 앞으로도 계속 가지를 치며 여러 영역에 영향을 미칠 것이다.
미적분 자체가 메인은 아니더라도 그것이 필수적으로 쓰임으로해서 발전해 온 많은 영역이 있다. 무한의 원리와 미적분은 GPS, 전자레인지, 휴대전화에 사용되고 있으며, FBI의 지문 파일 압축, CT 스캐닝, AIDS 치료법 연구 등 거의 모든 영역에 쓰인다.
그리고 작가가 예상하는 앞으로의 발전 분야에는 다음과 같은 것들이 있다. 작가가 말하는 무한과 미적분의 힘이란 결과적으로 이런 것들이 아닌가 싶다.
- 사회과학, 음악, 미술, 인문학 분야
- 의학과 생물학 분야
- 금융, 경제, 날씨 분야
- 빅데이터 활용
- 비선형성, 카오스, 복잡계 분야
- 인공지능 및 컴퓨터 분야
- 양자역학 분야
이 책은 제목에서부터 사실 위화감을 조성하고 있다. 그래서 어쩌면 더 강한 호기심이 발동하는 것일 수도 있다. 무한과 미적분학이 쉬운 영역이 아니지만 이 책은 그림과 자세한 예를 들어 통해 최대한 쉽게 설명해 준다. 물론 그 역시 나와 같은 비수학도들에게는 여전히 높은 벽이지만 세상을 바꾼 미적분의 힘을 책 한 번 읽는 것으로 모두 이해한다는 것은 지나친 욕심일 수도 있겠다. 그래서 이 책은 여러 번 읽어야 하므로 소장각이다.
