미적분의 쓸모 / 수학

미적분의 쓸모 - 미래를 예측하는 새로운 언어 ㅣ 쓸모 시리즈 2
한화택 지음 / 더퀘스트 / 2021년 5월

과거를 적분하면 현재가 보이고

현재를 미분하면 미래가 보인다.

미래를 예측하는 새로운 언어

많은 사람이 미적분이라는 말만 들어도 어려워하듯이 고등학생들이 가장 수학을 어려워하는 부분이 미분과 적분의 활용 부분이다. 수학을 어려워하는 학생이 많아서인지 요즘 교육과정에서는 적분의 활용은 상당 부분 축소되었고, 미분의 활용 역시 이전 교육과정과 비교해 학습량이 많이 줄었다.

자연계 수학의 가장 핵심적인 역량이 미분, 적분이라고 해도 과언이 아닐 정도로 미분, 적분은 실생활을 해석하고 응용하는 데 곧장 사용된다.

더퀘스트에서 출판한 <수학의 쓸모> 후속작인 국민대학교 기계공학과 한화택 교수님의 <미적분의 쓸모>는 평생 미적분을 다뤄온 기계공학자인 저자의 역량이 잘 드러나는 도서이다.

한화택 교수님은 마르키스후즈후, 국제인명센터, 미국인명정보기관, 세계 3대 인명사전에 모두 등재되어 있으며, 미국 기술사와 대한상사중재원의 중재인으로 등록되어 있다. 또한 미국냉동공조학회 펠로우, 대한설비공학회 석학회원, 한국공기청정협회 편집위원장을 맡고 있다. (책날개 중)

저자의 말처럼 컴퓨터 전공자가 아니라도 컴퓨터를 사용하고, 스마트폰의 구조를 몰라도 스마트폰을 능숙하게 다루는 것처럼 미분방정식을 풀거나 인공지능 프로그램을 만들지 못하더라도 미적분 개념을 이해하면 활용할 수 있다.

세상에 변하지 않는 것은 없다. 행성의 위치나 속도뿐 아니라 사람도 변하고 세월도 변한다.

미적분은 이러한 세상의 변화를 설명하는 언어다.

주식, 기후변화, 인공지능, 의료 진단, 디즈니까지 미적분은 어떻게 세상을 움직이고 있는지 알아보자.

뉴턴은 천상계와 지상계 구분 없이 질량을 가진 모든 물체는 서로를 끌어당기는 힘이 있다고 생각했다. 그리고 이 만유인력 때문에 지구가 가속도를 받아 속도 방향이 계속 바뀌면서 원형 궤도를 그리게 된다는 결론을 내렸다.

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뉴턴은 천체의 움직임을 제대로 알기 위해서는 시간에 따른 천체의 위치를 관찰하고, 이로부터 천체의 가속도를 알아내야 했다.

이 가속도를 수학적으로 정확히 표현해 만든 개념이 바로 미분이다.

미분을 이야기할 때 항상 뉴턴과 함께 이름을 올리는 수학자는 바로 고트프리트 빌헬름 라이프니츠다. 그는 전혀 다른 방식으로 미분을 고안했다. 뉴턴은 시간에 따른 자연현상의 변화를 수학적으로 기술하기 위해 미분을 고안했지만, 라이프니츠는 미분의 체계를 우선시했다.

라이프니츠는 시간뿐 아니라 어떠한 변수에 대한 변화도 나타낼 수 있는 실용적인 미분 개념을 제시했다.

현재 우리가 사용하는 미적분 개념과 표기법은 라이프니츠가 제안한 방식을 따르고 있다.

분명한 것은 뉴턴이 자신의 꿈을 이루기 위해 고안한 미적분 개념은 과학혁명을 이루는 데 일조하고, 300년을 넘어 최첨단 기술을 만나 다양하게 쓰이고 있다.

우리에게 우주여행을 성큼 다가오게 한 것은 스페이스X사의 등장과 함께한다. 우주여행이 초기에 등장했을 때, 400억 원에 육박하던 가격을 80분의 1로 떨어뜨린 결정적인 원인은 로켓 추진체 재활용 사업 덕분이다.

로켓 추진체를 정확하게 회수해 재활용할 수 있다면 천문학적인 비용을 줄일 수 있다. 문제는 어떻게 70ｍ에 이르는 추진체를 정확한 방향으로 육지에 착륙시킬 수 있는지이다.

로켓을 미세하게 회전시켜 수직 방향을 유지하려면 정교한 돌림힘이 필요하다. 착륙 순간에 자세를 조정하는 데는 로켓 상단에 설치된 질소 분사 장치와 그리드 핀을 사용한다.

일종의 소형 날개인 그리드 핀이 각도를 조정해서 방향을 미세하게 조정한다. 이 모두 회전운동을 미분적으로 파악해야 가능한 일이다.

요즘 들어 휴대폰의 빅스비와 시리는 자신의 수행 비서처럼 놀라운 정도로 정확하게 음성정보를 처리하고 해결책을 찾아 제시한다.

이는 몇 년 전까지만 해도 상상도 못하던 일이다. 인공지능이 점점 똑똑해지면서 잘못 알아듣는 실수가 줄어드는 이유는 바로 최적화 알고리즘과 미분 덕분이다.

인공지능이 예측한 결과와 실제 결과 사이의 오차를 손실함수라 하는데, 기계학습이란 결국 손실함수를 최소화하는 작업이다. 인공신경망의 알고리즘은 손실함수를 최소화하는 과정에서 미분의 개념을 사용한다. 인공신경망의 엄청난 양의 데이터로 학습시키는 데 미분의 개념은 필수불가분의 관계다.

미분에서 ‘상태량’과 ‘변화량’을 구별하는 것처럼 적분에서는 ‘합쳐지는 양’과 ‘합쳐진 결과량’을 구별해야 한다. 요즘 유행하는 코로나 19 확진자를 예로 들면, 일일 확진자와 누적 확진자의 차이와 같다.

적분이 활용되고 있는 분야 중 하나는 CT(computer tomography)이다. ‘단층’이라는 의미와 ‘새기다’라는 의미의 합성어인 단층촬영은 의료분야의 용어로 우리에게 익숙하지만, 고고학, 양자정보학, 재료공학, 지구물리학 등 다양한 분야에서 활용된다.

CT의 적분 원리는 단순화된 신체 단면으로 생각하면 4X4의 격자로 나누었을 때 광선을 신체의 네 방향으로 투과하면 네 장의 필름을 얻을 수 있다. 필름상에 나타난 영상을 사이노그램이라 한다.

사이노그램에 나타난 적분 결과를 수학적으로 계산해서 신체 내부의 16개 격자값을 알아낼 수 있고, 투과된 광선이 적분되면서 Rf 결과로 나타나는 과정을 라돈 변환이라 한다.

라돈 변환을 거꾸로 적용하여 도로 격자값을 끄집어내는 것을 라돈 역변환이라 하고 CT란 촬영된 여러 장의 2차원 사이노그램을 라돈 역변환하여 신체 내부의 3차원 공간 정보로 재구성하는 알고리즘이라 할 수 있다.

1985년, 스티브 잡스가 애플에서 쫓겨났다. 자신이 설립한 회사에서 자신이 뽑은 임원에 의해 애플을 떠나면서 잡스는 컴퓨터 운영체제 개발 회사 넥스트를 세웠고, 1986년에는 픽사를 1,000만 달러에 인수했다. 당시 픽사는 스티브 잡스에게 골칫거리였다. 픽사는 작품성을 인정받는 작품들을 내놓았음에도 여전히 수익을 내지 못하고 있었기 때문이다.

이 모든 상황을 뒤바꾼 것은 단 한 편의 애니메이션이었다. 바로 1995년에 개봉한 <토이 스토리>다. <토이 스토리>의 시사회가 시작되고 일주일 후 스티브 잡스의 주식 가치는 한화로 약 1조 3,500억 원이 되었으며, 이 영화는 총 제작비의 열 배가 넘는 3억 6,500만 달러라는 수익을 거둬들인다.

이후 <벅스 라이프>, <몬스터 주식회사>, <니모를 찾아서>를 잇달아 성공하며 2006년 디즈니가 74억 달러, 한화로 약 7조 4,000억 원에 인수한다.

그리고 스티브 잡스는 떠난 지 10년 만에 애플로 돌아간다.

그후 그는 수백만 명의 인생과 애플의 성공 신화를 완성해 간다.

스티브 잡스의 성공 이야기와 미적분이 무슨 상관이 있는가?

<토이 스토리>는 100퍼센트 컴퓨터 그래픽으로 만든 최초의 극장용 장편 애니메이션이다. 살아있는 듯한 새로운 영상은 픽사의 수학자와 전산 과학자들이 ‘움직이는’ 자연 현상을 자연스럽게 구현해내기 위해 고안한 3D 애니메이션 기법과 해상도 조절 기법 덕분이었다.

​그리고 이 모든 제작 과정 뒤에는 하나의 미분방정식이 있다.

우리가 알고 있는 대수방정식은 미지수가 포함된 수식을 말한다. 반면 미분방정식은 현재의 상태와 변화율의 관계를 연관 짓는 방정식이다. 예를 들어 시간 경과에 따라 커피가 식는 문제는 현재 온도와 냉각 속도, 즉 온도의 변화율 사이의 관계를 나타낸다.

미분방정식은 과학법칙에 따라 자연현상을 시뮬레이션하고, 경제 모델을 만들어 경제 전망을 하는 등 현재를 이해하고 미래를 예측하기 위한 필수적인 수학 도구이다.

가장 유명한 미분방정식으로는

전자기장의 발산과 회전을 나타내는 네 개의 편미분방정식인

맥스웰 전자기 방정식,

양자화된 물질의 에너지 상태를 기술하기 위한 시공간 상에서 파동함수라고 하는 추상적인 함수를 표현한 편미분방정식인

슈뢰딩거 파동 방정식,

가격 변동성이 무작위적이며 아인슈타인 방정식에 나오는 기체 분자의 불규칙한 운동에 의한 변동과 유사하다는 옵션의 가격 변화를 계산하기 위한 편미분방정식인

볼랙숄즈 방정식,

역학에서 전염병의 확산을 설명하기 위해 개체를 감영대상군과 감염군, 회복군 등 세 그룹으로 나누어 각각의 변화를 일차 상미분방적으로 표현한

감염확산 SIR 방정식,

유체의 속도 벡터를 구하기 위해 압력, 점성력, 중력 등 유체에 작용하는 힘과 가속도의 관계로부터 유도된 비선형 편미분방정식인

나비에-스토크스 유동 방정식이 있다.

역시 미적분은 가장 주효하게 사용되고 있는 분야 중 하나는 경제 분야이다. 수요 공급 곡선을 토대로 한 예측부터 주식 차트에서 미래 가치를 예상하는 데 사용하는 것이 미적분이다.

- 이 글은 출판사에서 도서를 지원받아 주관적으로 작성하였습니다.

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