[오늘의 한문장] 수학의 눈으로 보면 다른 세상이 열린다

공리체계

인류 역사상 종교(신)는 가장 오래 공리의 역할을 했다. 그러다가 왕이 그 자리를 잠깐 차지했고 뒤이어 이성과 법률이 그 자리를 점했다. 선험적 진리(공리)를 전제로 모든 사회구조와 체계를 배치했다는 점에서 인류의 역사는 공리체계를 정교하게 다듬어온 과정이라고도 할 수 있다. 적어도 19세기 전까지 공리체계는 매우 공고하게 유지됐다.
알고 보면 근대 국민국가는 공리체계와 동일한 구조로 구성됐다. 나폴레옹 법전에 기초한 현대적 법체계는 대부분 공리체계와 동일한 구조를 갖는다. 데카르트의 《방법서설》, 스피노자의 《에티카》, 뉴턴의《자연철학의 수학적 원리》는 물론 미국 독립선언문에 이르기까지 근대를 열었던 수많은 책과 문서들이 《원론》의 형식과 닮아 있다. 책의 내용이 세계를 구성하는 기본 원리가 될 것이라는 자부심 혹은 권력의지에서 비롯된 자연스런 귀결이다. 국가는 시민들의 자발적 동의, 즉 계약에 기초해 있다는 근대국가론에서는 모두가 동의할 수 있는 국가의 존재 이유를 설정하는 일이 가장 중요하기 때문이기도 하다.(29p)

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정리

증명을 통해 참으로 밝혀진 명제를 ‘정리‘라고 한다.
수학의 지식체계에서는 새로운 정리를 증명할 때는 공리, 공준, 정의와 이미 알아낸 정리를 사용해야 한다. 이 순서를 뒤섞으면 순환논법의 오류가 발생한다.(25p)

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공준

공준
1. 임의의 서로 다른 두 점은 직선으로 연결할 수 있다.
2. 직선은 무한히 연장할 수 있다.
3. 임의의 점을 중심으로 하고 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴수 있다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. 한 평면 위의 한 직선이 그 평면 위의 두 직선과 만날 때 동측내각의 합이 2직각보다 작으면 이 두 직선은 그쪽에서 만난다(쉽게 설명하면, 평행선은 영원히 만나지 않는다).
(22p)

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공리

공리
1. 같은 것과 같은 것들은 서로 같다.
2. 같은 것들에 같은 것을 더하면 그 합은 서로 같다.
3. 같은 것들에서 같은 것을 빼면 그 차는 서로 같다.
4. 서로 포개어지는 것들은 서로 같다.
5. 전체는 부분보다 크다.

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정의

수학에서는 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장과 별개로 그 의미를 약속으로 미리 정한 것을 정의definition 라고 한다.
정의는 단지 약속이므로 참, 거짓을 판단하지 않는다.
유클리드는 우선 기본적인 용어를 정의하면서 서술을 시작한다
. 《원론》의 첫 문장은 다음과 같다.
점은 쪼갤 수 없는 것이다.
(21p)