소수들은 무작위로 나타나는 듯했지만, 전체적인 흐름에 어떤 규칙성이 보였다. 어느 특정한 수까지 소수가 몇 개인지에 관한 훌륭한 추산은 그 수를 자연로그로 나누면 얻을 수 있었다. 가령 100만까지 소수가 몇 개인지 알고 싶다고 하자. 전자계산기를 꺼내 1,000,000을 친 다음에 그걸 ln(1,000,000)으로 나누어라. 그러면 72,382가 나온다. 100만까지의 실제 소수의 개수는 78,498이므로, 이 추산치는 약 8퍼센트 차이가 난다. 하지만 수가 커질수록 퍼센트 오차는 0에 가까워진다. - <아인슈타인이 괴델과 함께 걸을 때> 중에서
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복소수는 ‘실수’ 부분과 ‘허수’ 부분이라는 상이한 두 부분으로 이루어진다. (‘허수’ 부분은 √-1이 붙는다. 전형적인 복소수 중 하나인 2+3√-1에서 2는 실수 부분이고 3√-1은 허수 부분이다.) 복소수는 두 부분을 가지므로 두 개의 차원이라고 여길 수 있다. 즉 (실수처럼) 직선을 형성하지 않고 평면을 형성한다. - <아인슈타인이 괴델과 함께 걸을 때> 중에서
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복소평면의 모든 점 각각에서 제타 함수는 하나의 고도를 결정한다. 그러므로 제타 함수는 모든 방향으로 영원히 뻗어 있는 산, 언덕, 그리고 계곡들로 이루어진 하나의 방대한 추상적 풍경–제타 풍경–을 발생시킨다. 그의 발견에 따르면 제타 풍경에서 가장 흥미로운 점들은 0의 고도를 갖는 점들, 즉 해수면의 점들이다. 이 점들을 가리켜 제타 함수의 영점zero이라고 한다. 왜냐하면 이 점에 대응되는 복소수를 제타 함수에 대입하면 결괏값이 0이 나오기 때문이다. 제타 함수의 이 복소수 ‘영점’–제타 풍경에는 이런 영점이 무한히 많다–을 이용하여 리만은 한 가지 경이로운 일을 해낼 수 있었다. 즉 사상 최초로 어떻게 무한히 많은 소수가 배열되는지를 정확하게 기술해주는 공식을 내놓았다. - <아인슈타인이 괴델과 함께 걸을 때> 중에서
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제타 풍경의 모든 영점이 남에서 북으로 향하는 어떤 ‘임계선’을 따라 정확하게 배열되어 있다고 말이다. 이것이 바로 리만 제타 가설이다. - <아인슈타인이 괴델과 함께 걸을 때> 중에서
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리만 가설의 진리성을 태평하게 가정하는 사람들은 수학사에서 흥미로운 한 가지 패턴을 유념해야만 한다. 바로 (페르마의 정리와 같은) 대수학의 장기 미해결 추측들은 보통 참으로 드러난 반면에 (리만 추측과 같은) 해석학의 장기 미해결 추측들은 종종 거짓으로 드러났음을. - <아인슈타인이 괴델과 함께 걸을 때> 중에서
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