이처럼 좌표 이론은 앞서 이야기한 뉴턴 이론과 합쳐져 행성의 궤적을 완벽하게 나타낸다든지, 앞으로 그 행성이 1년 후에 어디 있을 것인지도 예측하게 만들었습니다.
철학 책으로만 접한 데카르트의 발견이 뉴턴으로까지이어지는 거군요. 그래서 근대 수학사에 중요한 발견으로 이 좌표계의 발견을 꼽을 수 있겠네요.
여기서 모두 말하기 힘들 정도로 많은 영향을 미쳤습니다.
좌표계 이론은 뉴턴이 《프린키피아》에서 여러모로 사용하고, 몇 백 년 후에는 좌표계에 대한 근본적인 성찰로 말미암아 시간과 공간의 구조에 대한 개념적인 혁명을 일으켰습니다. - P91
즉, 원의 방정식이 (x, y)좌표에서나 (u, v)좌표에서나 똑같은 꼴이 되는 이유는 x²+y²과 u²+v² 둘 다 ‘원점에서의 거리의 제곱을 나타내기 때문입니다.
이는 바로 뉴턴의 ‘좌표와 관계없는 불변량‘ 의 개념으로 이어집니다.
이것은그야말로 현대 물리에서 필수적인 개념이죠.
기억해둬도 좋습니다. - P97
아, 그래서 공간 좌표만 표기해서는 두 좌표 사이의 관계를 표현하는 것이 불가능하군요. 공간 좌표 사이의 관계에 시간 좌표가 들어가니까.
네. t 좌표는 양쪽 입장에서 같은데도 좌표를 기억하지않으면, 두 공간 좌표 사이의 관계를 규명할 수 없습니다. 그래서 이때부터 이미 시간과 공간의 묘사가 엮이기 시작합니다.
이제 다른 이야기로 확장해봅시다. 뉴턴의 《프린키피아》에 담긴 관점에서 거듭된 질문과 분석을 바탕으로 후대에만들어진 이론이 있습니다. 자, 여태까지 설명을 계속 이어왔는데 무슨 이론인지 짐작이 가나요?
아까 말씀하신 아인슈타인의 ‘상대성 이론‘ 인가요?
네, 그렇습니다. 바로 그 상대성 이론입니다. 그러니까움직인다는 것 자체가 상대적이라는 개념이 결국은 ‘시간까지 상대적’이라는 관점으로 진화해버립니다. - P104
상대성 이론의 패러독스란 무엇입니까?
가령 우주여행을 하고 돌아오니 지구에서는 수천 년이지났다든지 하는 종류의 공상 과학 같은 이야기들이지요. 이런 신기한 이야기가 좌표계 사이의 관계로부터 따른다는 것이 믿기 어렵지요? 이 상대성 이론은 철저한 수학적 검증을통해 탄생한 이론이라는 점에서 더 놀랍습니다. 어쨌든 아인슈타인에게 페르마와 데카르트의 좌표계 이론이라는 도구가없었다면 상대성 이론은 불가능했을 겁니다. - P106
지금까지 페르마의 원리와 데카르트에서 뉴턴, 아인슈타인까지 살펴봤습니다. 그들이 자신들이 가진 의문을 푸는 방식을 보면, 어렴풋이 들어오는 직관이 우여곡절 끝에 수학적 사고로 이어지는 것을 알 수 있습니다. 수학을 이용해서개념들을 정리하고 나면 성숙해진 이론이 더 높은 경지의 새로운 의문점들을 제시하기도 합니다. 이를 통해 과학의 역사와 수학의 역사가 사실 분리되지 않는다는 것을 알 수 있죠.
반면 이 위대한 발견들을 살펴보면 수학적 방법론의 형성과 진화 과정을 감지할 수도 있습니다. 서로 다른 시대에살았던 이들은 마치 바톤을 넘기듯 의문에 답을 내고 난제를남겼고, 문제 해결의 실마리로써 그때마다 필요한 프레임워크를 만들어가며 점점 명쾌한 이론을 전개해 나갔습니다. 수학적으로 사고한다는 것은 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던지고, 우리가 어떤 종류의 해결점을 원하고 있는지 파악하고, 그에 필요한 정확한 프레임워크와 개념적 도구를 만들어가는 과정이라고 할 수 있을 것입니다. - P107
이를 현대적인 용어로 풀면 ‘A와 B가각자 자기의 기댓값을 받아야 한다’고 합니다. 경우의 수를고려하는 방법론도, 기댓값이라는 개념도 바로 파스칼과 페르마의 서신에서 처음으로 등장했습니다. - P122
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