[수학] 미적분의 쓸모

미적분의 쓸모 - 미래를 예측하는 새로운 언어 ㅣ 쓸모 시리즈 2
한화택 지음 / 더퀘스트 / 2021년 5월

학창시절에 수학을 잘하지는 못했지만 의외로 수학을 좋아해서 수포자가 되지도 않았고, 수학시간이 그리 싫지도 않았다. 하지만 미적분 시간만큼은 참 머리가 아팠던 기억이 있다. 이상하게 다른 건 그런 생각을 하지 않았는데 미적분만은 이런걸 왜 배우는지도 모르겠고, 어디에 써먹을거라고 이런걸 배우는건지 모르겠단 생각을 했었다. 그리고 대학에 가서 공업수학을 배우면서는 그런 생각이 더욱 굳어져버렸다. 미적분은 진짜.. 하.. 답이 없다. 실제로 미적분은 정말 어렵다. 전문 분야의 실무자들도 미적분을 가장 어려운 분야로 꼽고, 컴퓨터로 해야 할 정도로 계산이 복잡하고 어렵다. 하지만 미적분의 개념만은 전문가가 아니더라도 충분히 이해할 수 있는 수준이라고 말한다.

미적분은 경제학, 금융공학, 기하학, 의료공학, 항공우주공학, 천체물리학 등 다양한 분야에서 활용되고 있으며 로켓 발사, 차량 속도 측정, 딥러닝, 단층촬영첨단 등의 과학기술 분야를 비롯, 경제예측, 기상예보와 같이 앞으로 다가올 미래를 예측하고, 작은 움직임으로 변화를 흐름을 읽어내는데 바로 이 미적분이 쓰인다고 한다. 다른 말로 하면 우리가 실생활에서 직접 이 미적분의 기술적이거나 개념적인 것을 마주할 일은 거의 없다고 보면 된다는 뜻이다. 스마트폰의 구조를 몰라도 스마트폰을 사용하는데는 아무 문제가 없듯이 미적분을 몰라도 미적분이 활용된 여러가지 기술이나 예측 데이터를 이용할 수 있다는 것이다. 그러나 미적분은 공학자들의 전유물이 아니라 현대인이 알아야 할 기본 상식이라고 저자는 주장한다. 그 주장이 사실인지 책을 통해 알아보자.

[미적분의 쓸모]는 앞서 말했듯이 다양한 분야에서 미적분이 어떻게 활용되고 있는지를 보여준다. 물론 어렵고 복잡한 수식을 풀라고 시키지는 않는다. 개념적으로 설명을 해서 직관적으로 이해할 수 있게 풀어서 설명을 하고 있으므로 수학을 잘 못한다고 해도 책을 읽는데는 아무런 지장이 없다. 그런데 솔직하게 말하자면 저자는 전공자가 아니더라도 미적분의 개념을 이해하는 것은 어렵지가 않다고 했고, 어려운 수식도 그래프나 다양한 그림자료로 직관적으로 쉽게 이해할 수 있게 해놓았다고 하지만 막상 책을 읽어보면 오질나게 어렵다. 솔직히 내용이 어렵고 복잡하다. 아무리 쉽게 썼다하더라도 어려운 것을 어쩌란 말인가? 특히 수식을 설명하는 부분이 굉장히 어렵게 느껴지는데 이 부분만 대충 넘어가면 그 외의 설명 부분은 따라가기가 어렵진 않다. 그러니 미적분의 수식을 설명하는 전문적인 영역은 이해하지 못했더라도 그냥 빠르게 넘어가고 실무적으로 미적분의 쓰임에 대하 이야기하는 부분에 집중하면 될 것 같다. 그렇게 하면 반쪽짜리 독서가 되어버리겠지만 솔직히 그 수식을 정확히 이해하지 못한다고 해서 뭐 문제가 있는 것도 아니고.. 게중엔 저자의 말처럼 그림으로 이해할 수 있을 수준으로 풀어놓은 곳도 있는데 수용 가능한 것만 내것으로 만들면서 진도를 나가면 되겠다.

미적분으로 코로나 확진자 발생률을 파악하는 것이 나오는데 이건 그냥 과거의 발생률과 현재의 상황 등을 분석해서 '대충' 그 추세를 분석하는 것이라고 생각했는데 여기에도 미적분이 사용된다고 한다. 애초에 '대충' 분석한다는 것이 말이 안되기는 하지만 미적분이 사용될거라곤 생각지 못했다. 미분은 기울기, 변화율을 나타내고 적분은 합친 면적인 누적량을 뜻한다. 코로라 상황으로 치환하면 일일 확진자는 합쳐지는 양이고 누적 확진자는 합쳐진 결과량이 된다. 일일 확진자를 모두 합치면 누적 확진자가 되고 누적 확진자의 변화율은 일일 확진자가 된다. 어렵게 들리는데 의외로 대충 상관관계가 머리 속으로 정리가 된다. 여기서 일일 확진자는 매일 변동이 생기지만 누적 확진자는 당연히 꾸준히 증가한다. 데이터가 쌓여가니 꾸준하게 증가하게 된다. 일일 확진자는 증가 속도를 나타내는 미분값에 해당하며, 누적 확진자는 일일 증가분을 적분한 값에 해당한다. 누적 사망자 역시 일일 사망자의 적분 관계로 나타난다. 코로나 상황 데이터를 보면 그냥 별 생각없이 오늘은 몇명이나 늘었나 하고 봤던 그래프인데 이렇게 미적분에 대입해서 이해하니 그 속에서 미적분이 보인다.

하루하루 쌓여진 코로나 데이터에서 적분한 값인 결과량을 통해 현재의 누적 확진자를 파악하고, 미분한 값인 변화량을 통해 일정 기간 이후의 확진자 발생률을 예측할 수 있게 된다. 이렇게 미적분으로 미래의 데이터를 예측하는 것을 경제적으로 접목시키면 주식이나 아파트 가격의 추세의 변화도 예측할 수 있게 된다. 또 지구의 미래 온도 변화를 예측하는데도 활용되며 심지어 한계 효용 체감의 법칙을 활용해서 재난지원금을 어떻게 지급해야 효용을 극대화할 수 있을지에 대한 예측도 가능하다고 한다. 웃기게도 재난지원금을 어디에 지급할지에 대한 논의를 하면서 가져다 쓴 개념이 엔트로피의 열역학적 정의라는 것이다. 아무런 상관관계도 없어 보이는 물리개념으로 재난지원금을 해석한다. 그리고 개인의 미래에 대해 일생 동안의 경제 사정을 미적분으로 인생이 곡선을 그려보고 미래의 자산 상황을 생각해보는 데도 활용할 수 있다. 물론 지금까지 말한 미래예측이란 특별한 변수가 없을 때에만 그 예측대로 움직이게 되겠지만 큰 틀에서의 계획을 잡기 위해 이런 예측을 해보는 것은 매우 실용적이고도 필요한 작업이라고 생각한다.

미적분은 기본적으로 변화와 움직임에 대한 학문인 것 같다. 미분으로 순간적인 작은 움직임과 변화를 포착하고 적분으로 작은 변화들이 누적되어 나타나는 상태를 분석하는 것. 그런 작업을 통해 세상의 변화를 이해하고 미래를 예측하게 되는 것이다. 책에는 미적분의 기술적으로 사용된 예와 설명들도 많이 나오지만 눈길을 잡아 끄는 것은 미적분을 통해 현재 데이터를 분석하여 미래를 예측하는 파트였다. 역으로 이런 예를 통해 미적분의 핵심 원리가 무엇인지 그 개념을 이해하게도 된다.