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매듭 이론 - 그림으로 쉽게 배우는 수학
신조 레이코.다나카 코코로 지음, 권기태 옮김 / 성안당 / 2025년 9월
평점 :

우리는 일상에서 바느질을 할 때나 운동화 끈을 묶을 때, 선물을 포장할 때, 장식의 목적 등으로 매듭이란 걸 사용하죠. 그런데 이 매듭이 학문적 영역에서도 사용되고 있는 것을 아시나요?
위상수학의 한 분야로 매듭 이론이란 것이 있는데, 바로 이 이론이 일상생활의 매듭에서 영감을 받아 시작되었다고 합니다.
19세기 말 물리학자 윌리엄 톰슨(켈빈 경)은 우주를 구성하는 원자가 일종의 매듭 모양의 에테르 소용돌이 일 수 있다고 생각했어요. 그래서 그는 '서로 다른 매듭 형태의 소용돌이는 서로 다른 원자 종류'라는 물리학적 가설을 세웠대요. 이 가설에 따라 피터 거스리 테이트 같은 과학자들이 실제 매듭을 그려가며 '매듭 분류표'를 만들었다고 해요.
그런데 20세기 초 양자이론이 등장하며 원자구조 이론이 바뀌게 됩니다. 당연히 매듭 모형은 폐기되었지요. 하지만 수학자들이 남은 '매듭 분류법'에 흥미를 가지며 매듭 이론은 순수 수학의 위상수학 분야로 전환되었다고 합니다.
그렇다면 여기서 짚고 넘어가야 할 부분!!
일상생활에서의 매듭과 매듭 이론의 매듭은 같은 것일까요?
결론을 말하자면 둘은 비슷하지만 같지는 않습니다.
일상에서의 매듭과 매듭 이론에서의 매듭은 '매듭'이라는 개념의 출발점은 같지만 목적과 다루는 방식이 완전히 다릅니다. 가장 주요한 차이점은 일상생활에서의 매듭은 끈의 양 끝이 열려 있지만, 매듭 이론에서의 매듭은 끈의 양 끝이 붙어 있어 풀리지 않는 고리가 서로 얽혀 있는 형태입니다. 그리고 일상생활에서의 매듭은 '묶음'이라는 물리적 행위에 초점을 둔 반면, 수학에서의 매듭은 '형태와 변형의 성질'에 초점을 두고 있어요.

그렇다면 우리는 왜 매듭 이론을 공부하고 알아야 할까요?
그것은 매듭 이론이 수학의 한 분야라는 것을 넘어 현실 세계의 복잡한 구조와 현상을 분석하는 데 필수적인 도구이기 때문입니다.
세상에는 끈, 선, 고리로 이루어진 구조가 아주 많습니다. 예를 들면 두 가닥이 꼬여 있거나 서로 얽혀 있는 DNA, 아미노산 사슬이 접히며 복잡하게 꼬여있는 단백질, 물리적으로 엮이거나 교차되어 있는 케이블, 신경망, 선의 교차와 연결 구조가 중요한 그래픽 모델링 등이 그것이죠. 우리는 이런 모든 얽힘을 매듭 이론을 이용하여 수학적으로 다루어 현실에 응용할 수 있어요.
이런 이유가 아니더라도 매듭 이론을 통해 복잡한 공식이 아닌 실제 끈이 얽힌 모습을 눈으로 보고 사고할 수 있어 수학적 직관과 시각적 사고력을 동시에 키울 수 있다는 이유만으로도 매듭 이론을 경험해야 할 이유가 충분하지 않을까요?
이에 저자는 일반인들도 매듭 이론에 쉽게 접근하고 이해할 수 있게 하고자 이 책을 저술했다고 합니다.
이 책은 '그림으로 쉽게 배우는 수학'이라는 찰떡같은 제목처럼 거의 글 반 그림 반으로 구성되어 있어요. 이론적인 내용은 최대한 이해하기 쉬운 언어로 풀어쓰고, 그 내용을 바로 그림으로 보여주고 있습니다. 거기다가 읽는 이가 내용을 제대로 이해했는지 연습문제를 통해 바로 점검할 수 있도록 하고 있어요.

이 책은 복잡한 기호나 추상적 수식 없이도 끈이 어떻게 얽혀 있는지 직접 보고 쉽게 이해할 수 있게 되어 있어요. 또한 그 매듭을 종이나 실로 직접 만들어보며 실험할 수 있어 초등학생조차도 이해할 수 있도록 쉽게 되어 있어요.
하지만 불변량 같은 부분으로 가면 수학적으로 엄밀히 이해하기는 어렵겠지만 매듭 이론이 무엇을 하려는 학문인지는 직관적으로 이해할 수 있어요.

매듭 이론은 단순한 수학 공부의 효용을 넘어 사고력, 관찰력, 창의력 등을 기를 수 있는 분야입니다.
'끈'이라는 3차원적 구조를 다루다 보면 자연스럽게 시각적, 공간적 사고력이 향상돼요. 그리고 '겉보기엔 다르게 생긴 두 매듭이 같은가?' 같은 문제를 따지기 위해선 논리적 접근이 필요한데 이것은 수학뿐만 아니라 문제 해결 능력 전반에 큰 도움이 됩니다.
또한 매듭 이론의 엉킴의 구조를 분류하고 비교하다 보면 단순히 결과가 아니라 형태와 관계를 보는 관점, 즉 복잡한 문제를 구조적으로 보는 능력을 기를 수 있어요.
그 외에도 매듭 이론은 매듭의 형태와 얽힘 그 자체로 아름다워 예술적 감각을 자극하는 등 얻을 수 있는 이점이 엄청 많은 분야입니다.
매듭 이론은 단순한 수학 이론이 아닙니다. 복잡한 구조 속에서 질서를 찾는 학문이에요.
그렇기에 우리는 더 나아가 매듭 이론을 통해 복잡한 세상을 끊지 않고 관계와 연결로 이해하는 시각을 키울 수 있어요. 즉, 끈을 푸는 법이 아닌 세상을 푸는 법을 터득할 수 있는 거예요.
어떤가요? 매듭 이론의 매력에 빠져볼 준비가 되었나요?
이 책을 읽고 나면 끈 하나로 세상이 새롭게 보일 거예요.
*출판사로부터 도서를 지원받고 주관적으로 작성하였습니다*