[책 이야기] 수학 사고력을 키우는 20가지 이야기

수학 사고력을 키우는 20가지 이야기
가미나가 마사히로 지음, 조윤동.이유진 옮김 / 윤출판 / 2015년 12월

【 수학 사고력을 키우는 20가지 이야기 】   가미나가 마사히로 / 윤출판

『직감을 뒤엎는 문제들』

  ‘맨홀 뚜껑은 왜 둥글게 되어 있을까?’ 마이크로소프트사의 입사 시험 문제로 나와 화제가 되기도 했다. 답을 알고 있는 사람이 많지만, 의외로 진부한 답변도 많이 나왔다고 한다. ‘굴리기 쉬우므로’, ‘가공하기 쉬우므로’ 등. 정답은 뚜껑이 맨홀 안으로 빠지지 않게 하기 위해서이다. 삼각형, 정사각형, 직사각형 모두 빠질 가능성이 100%다. 원에서 탈피한 모양이 있긴 하다. 독일의 기계공학자 프란츠 뢸로가 디자인한 뢸로 삼각형이 있다. ‘뢸로 삼각형도 정삼각형처럼 떨어지지 않으므로 맨홀 뚜껑으로 사용할 수 있다. 삼각형을 변형했다고 할 수 있다. 원과 다르지만 실제로는 원과 같은 성질을 지니고 있다. 그 성질은 폭이 같다는 것이다. 수학 용어로는 정폭성 또는 등폭성이라고 한다.’ 마찬가지로 정오각형, 정칠각형을 둥그스름하게 변형한 것도 있다. 각각 뢸로 오각형, 뢸로 칠각형이라고 한다.

  사람이 살아가는 사회엔 ‘상식’이라는 것이 있다. 상식은 대체적으로 직관에 의존한 것들이 많다. 상식은 역사를 거치면서 인류의 노력에 의해 새로운 내용과 형식을 갖추면서 변화되고, 진리성을 획득해간다. 당연한 이야기지만 일반인의 직관과 전문가의 직관이 다르다. 그렇지만 전문가는 일반인의 상식으로부터 도움을 받고 전문가의 직관은 일반적인 것이 된다. 이것이 곧 발전의 과정이다.

수학과 과학은 늘 직관과 상식에 도전해왔다. 수학과 과학은 자연과 사회가 운동하는 법칙을 밝혀내고 인류의 인식 수준을 높여줌으로써 과거의 좁고 얕은 직관을 넓혀주고 깊이를 더 해주었다. 수학자(數學者)인 이 책의 지은이 가미나가 마사히로는 수학에서 맞닥뜨리는 20가지 장면에서 직관적으로 “이럴 것이다”라고 여기던 것을 다시 생각하게 해주는 이야기들을 모아놓았다. 또한 상식적으로 “이게 맞아”라고 하던 것을 의심하게 해준다. ‘자연이나 사회의 모든 현상은 그 안에 본질을 품고 있다. 그 본질은 현상을 의심하는 데서 조금씩 모습을 드러낸다. 현상을 눈에 보이는 대로만 직관적으로 받아들이거나 상식이라는 허울 속에서 의심 없이 받아들이면 결코 본질에 다가 갈 수 없다. 본질에 다가가려면 현상을 여러 측면에서 분석하고 해석해야 한다. 한 가지 방식으로는 불가능하다.’

책은 20개의 주제로 구성된다. 각각의 화제는 수학을 좋아하는 어떤 사람의 일기로 시작한다. 주제마다 수학을 제재로 하여 이야기를 펼쳐나간다. ‘직감을 배반하는 데이터’, ‘상식을 깨는 확률’, ‘직관을 뛰어넘는 도형’, ‘통념을 뒤엎는 논리’ 등 수학이 아닌 기초 인문학 도서를 대하는 느낌이 드는 제목들이다. 내용 또한 머리 아픈 수학이야기만 하는 것이 아니라, 직관과 확률을 대비해가면서 소주제들을 풀어나간다. 마지막 페이지를 덮기 전 지은이가 각 절의 글머리에 쓴 일기에 관한 덧붙임 글을 읽으면서, 역시 수학자는 다르구나 하는 느낌을 갖게 된다. “이 책에 쓴 일기의 날짜는 언뜻 보면 아무런 의미도 없는 것처럼 보일지도 모르지만, 사실은 비밀이 있습니다. 배리안, 포아송, 레비 등등 학자들의 생일입니다. 그런데 이와 관련해서 조금 재미있는 사실이 숨어 있습니다. 이 날짜에 감춰진 비밀이란 무엇일까요? 이야깃거리로 꼭 생각해보세요. 지은이가 ‘꼭’자 까지 넣었으니 ‘꼭’ 생각해봐야겠다.

[100자평] 수학 사고력을 키우는 20가지 이야기

수학 사고력을 키우는 20가지 이야기
가미나가 마사히로 지음, 조윤동.이유진 옮김 / 윤출판 / 2015년 12월

머리 아픈 수학이야기만 하는 것이 아니라, 직관과 확률을 대비해가면서 소주제들을 풀어나간다.

[책 이야기] 물리법칙의 특성

물리법칙의 특성 - 파인만의, 일반인을 위한 최초이자 마지막 물리학 강의
리처드 파인만 지음, 안동완 옮김 / 해나무 / 2016년 1월

【 물리법칙의 특성 】         리처드 파인만 / 해나무

『파인만이 들려주는 물리학 이야기』

"이 일련의 강의를 통해 내가 이야기하고 싶은 것은 물리법칙의 일반적인 특성이다. 일반적인 특성을 논한다는 것은 물리법칙 자체를 논하는 것과는 다른 수준의 논의이며, 이런 표현이 허용된다면, 법칙 자체를 뛰어넘는 더 높은 수준의 논의라고 할 수 있다. 나는 좀 더 전문적이기를 바라고, 모호한 방법보다는 더 솔직한 방법으로 자연을 이해하고 싶다. 그래서 나는 일반적인 이야기에 그치지 않고 물리법칙의 예를 보여주고자 한다. 자연이 ‘인간의 정신이 이룬 가장 위대한 일반화’라고 불리는 중력법칙처럼 우아하고 단순한 법칙을 따른다는 것이 어찌 경이롭지 않고 흥미롭지 않을 수 있을까?”

파인만이 가끔 봉고 연주를 위해 공식적인 무대에 오르면, 사회자들이 그를 이론물리학 교수라는 사실을 애써 밝히려 하지 않는다는 사실을 알았다. 파인만은 아마도 우리가 과학보다 예술을 더 존중하기 때문이라는 생각을 했다고 한다. 과학자들이 음악을 좋아하는 정도를 넘어 종종 수준 높은 악기 연주를 한다는 사실은 널리 알려진 사실이다. 아인슈타인의 음악 수업 이야기를 빼놓을 수 없다. 음악을 좋아했던 아인슈타인의 어머니는 아들이 지적 능력이 떨어져 있던 여섯 살 때부터 지식 습득에 치중하기보다 자신이 자주 접하게 해줄 수 있었던 피아노 연주로 아들의 감수성을 일깨워주었고, 바이올린을 가르치며 음악적 상상력을 키울 수 있게 했다. 실제로 아인슈타인은 놀라운 집중력과 의지로 바이올린을 배운 지 7년 만에 모차르트 작품이 가진 수학적 구조를 깨달았고, 하나에 몰입하는 과정을 통해 참을성 있게 공부하는 방법도 배울 수 있었다고 한다. 그리고 이때, 어머니에게 교육받은 ‘음악’이라는 선물은 훗날 물리학을 연구하다가 피로감이 몰려 올 때 바이올린 연주를 하면서 휴식을 취할 정도로 그의 인생에 긍정적 영향을 미쳤다. 음악과 과학이 서로 한 배에서 나온 자식들 같다는 느낌을 받는 글들도 제법 읽은 기억이 난다. 

수학과 물리학의 관계는 어떨까? 이 둘은 만나기 싫어도 안 만날 수 없는 불가분의 관계라고 생각한다. 파인만은 수학이 게임의 기본 규칙들을 제공함으로써 복잡한 상황들을 상세하게 논의하는 물리학에서 매우 폭넓게 응용되고 있다고 했다. 체스를 예로 든다. “기본 법칙들은 말들을 움직이는 규칙들이다. 주어진 복잡한 상황에서 어떻게 하는 것이 좋은 수가 될 것인가를 알아내기 위해 수학을 이용할 수 있다. 하지만 기본 법칙들의 단순한 기초적 특성과 관련해서 수학이 거의 필요치 않다.” 수학과 물리학의 관계를 좀 더 일반적인 이야기로 풀어 가면 어떨까? “수학자들은 추론의 구조를 다룰 뿐, 그들이 이야 기하는 대상에 대해서는 사실상 염려하지 않는다.” 무슨 이야기인가? 수학자들은 그들이 얘기하는 대상이 무엇인지 알 필요가 없고, 그들 스스로 얘기하듯이, 그들이 말한 것이 참인지 여부에 대해서도 알 필요가 없다는 부언 설명이 붙는다. 수학자들이 들으면 서운해 할 이야기이긴 하다. “수학자들은 여러분이 실제 세계에 대한 공리들을 갖고 있다면 즉시 이용할 수 있는 추상적인 추론들을 준비한다.” 그러나 물리학자에게는 모든 단어에 의미가 있어야 한다는 것이다. 이것은 수학으로부터 물리학에 다가오는 많은 사람들이 올바로 인식하지 못하는 매우 중요한 사항이다. 당연한 이야기지만 물리학은 수학이 아니고 수학 또한 물리학이 아니다. 하나가 다른 하나를 돕는 관계일 뿐이다. “물리학에서는 당신이 추론하고 계산한 것을 결국에는 말로, 실제 세계의 사건으로, 실험에 사용할 구리와 유리 토막으로 번역해야만 한다. 오직 이런 방법을 통해서만 당신이 얻는 결론이 참인지 확인할 수 있다. 이는 결코 수학의 문제가 아니다.”

이 책의 마지막 강의에서 파인만은 자연과 인간의 관계에 대해 이야기한다. ‘추측을 하는 방법’이라고 이름 붙일 수 있다. 어떻게 추측하는가? 추측이 어디에서 왔는가는 중요하지 않다. 물리학에선 그 추측이 과연 실험의 결과와 맞아 떨어지느냐가 문제다. “추측은 멍청한 사람들이 하는 짓이라는 의견도 있다. 그러나 사실은 정 반대다.” 그 이유는 무엇일까? 자연의 상상력은 우리 자신을 훨씬 뛰어넘는다고 표현한다. “미묘하고 심오한 추측을 하는 것은 그렇게 쉬운 일이 아니다. 추측을 하기 위해서는 정말로 똑똑해야 한다. 기계에 의한 맹목적인 추측은 가능하지 않다.” 파인만 스타일은 상당히 개성적이라는 평판이 붙는다. 그는 직업생활에서나 개인생활에서 삶을 매우 재미있는 놀이처럼 다룬 것 같다는 이야기도 들린다. 물리적 우주는 그에게 매혹적인 일련의 수수께끼와 함께 학문에 몰두 할 수 있는 모티브를 주었다. 한편 그의 강직함이 돋보이는 일화도 많이 있다. 그는 단 한 번도 비합리적인 일을 용인하지 않았다. 규칙들이 임의적이거나 불합리함을 알았을 때마다 그것을 깨뜨렸다. 일반인을 위해 강의한 파인만의 ‘처음이자 마지막 물리학 강의’라는 부제가 붙어있는 이 책은 일반인에겐 물리학 자체가 만만치 않은 학문이기 때문에 결코 쉽지는 않다. 그럼에도 불구하고 파인만의 자상함과 자유로운 영혼의 유영이 느껴지는 강의(글)들을 통해 물리학이라는 창문을 통해 세상을 바라보는 관점을 설정해볼 수 있다. “세상은 아는 것만큼 보인다.”는 파인만 교수의 말을 생각나게 하는 귀한 책이다.

[100자평] 물리법칙의 특성

물리법칙의 특성 - 파인만의, 일반인을 위한 최초이자 마지막 물리학 강의
리처드 파인만 지음, 안동완 옮김 / 해나무 / 2016년 1월

파인만의 자상함과 자유로운 영혼의 유영이 느껴지는 강의(글)들을 통해 물리학이라는 창문을 통해 세상을 바라보는 관점을 설정해볼 수 있다.

[100자평] 서랍에 저녁을 넣어 두었다

서랍에 저녁을 넣어 두었다 ㅣ 문학과지성 시인선 438
한강 지음 / 문학과지성사 / 2013년 11월

살아가며 더 이상 내려갈 곳이 없다고 생각한 때가 있었다. 더 이상 일어날 기운이 없다고 주저앉아만 있던 때도 있었다. 이젠 이 세상도 끝이라고만 생각한 적도 있었다. 그러나 아니었다. 그 뒤로도 비슷한 상황, 더 힘든 상황은 여전히 만나며 살아가고 있다.