어려워서 더 재미있는 《공식의 아름다움》

공식의 아름다움 - 원자폭탄에서 비트코인까지 세상을 바꾼 절대 공식
양자학파 지음, 김지혜 옮김, 강미경 감수 / 미디어숲 / 2021년 11월

"n>2인 정수에 대하여, xⁿ+yⁿ=zⁿ을 만족하는 양의 정수해는 존재하지 않는다."
p.52

페르마는 피타고라스 정리에 무수히 많은 정수해가 존재하고, 식을 조금만 바꾸면 양의 정수해를 찾을 수 없다는 사실을 발견했다. 하지만 구체적 증명을 제시하지 않고 "《산술》의 여백 부분에 훗날 수학자들을 골탕 먹일 세기의 명언을 남겼다."

"나는 절묘한 증명 방법을 찾았지만 이 책의 여백이 부족해 쓰지 않는다."
p.53

이 한마디는 훗날 358년 동안이나 인류를 괴롭힌다. 《공식의 아름다움》에는 이런 재밌는 수학사를 담고 있는 공식 23개가 담겨 있다.


독일의 수학자 힐베르트가 제시한 23개의 수학 난제 중 첫 번째가 페르마 정의였고 두번째는 N체 문제의 특수해인 삼체문제이다.

뉴턴은 수학적 방법으로 케플러의 3대 법칙을 증명해 이체문제를 해결했는데 "이것이 지금까지 완벽하게 해결된 유일한 천체역학 문제이다."(p.400) 이 성공을 발판삼아 삼체문제를 연구했지만 태양, 지구, 달을 뉴턴의 계산에 대입하면 "장난꾸러기 세 아이가 뛰어다니는 것과 같아서 만유인력 작용으로 이들을 한 곳에 모을 수 없다."(p.402) 뉴턴도 풀지못한 이 난제는 2013년에 어느 물리학자가 특수해를 발견하면서 실마리를 풀었지만 워낙 복잡해 지금도 심층적인 연구가 다각도로 진행되고 있다.


책에는 노벨상 수상자 딩자오중이 상대성이론과 양자역학과 함께 20세기 물리학의 3대 업적으로 꼽는 게이지 이론도 다루고 있다. 물리학의 최전선 기지로 꼽히는 게이지 이론은 왠만한 물리학 박사나 물리학 애호가가 아니라면 접근조차 어려울만큼 난이도가 높다. 쿼크, 힉스 입자, 렙톤, 게이지 보손까지는 어떻게 이해하겠으나 그 다음 단계의 설명인 SU , 핵력, 게이지장은 이해가 되지 않는다.(ㅜ.ㅜ) 어쨌든 이 이론과 네 가지 작용(전자기력, 강한 핵력, 약한 핵력, 중력)으로 우주의 모든 현상을 이해할 수 있다고 한다!

이 어려운 게이지 이론이 남다른 이유는 아인슈타인이 그렇게 꿈꾸던 '대통일 이론'을 완성시킬 키워드이기 때문이다. "아인슈타인은 1915년 상대성이론을 발표한 후 하나의 공식으로 우주의 세부사항을 묘사하고, 하나의 통일 논리로 모든 상호작용을 설명"하기 위해 연구했지만 그 꿈을 이루진 못했다. 그 덕분에(?) 후대는 게이지 이론, 양-밀스 이론 등 굵직한 물리학 이론을 세우며 비약적으로 발전할 수 있었다.

난제는 이 뿐 아니다. 2000년 초, 미국 크레이 수학연구소가 발표한 해결해야 할 '밀레니엄 대상 문제 7개'로 NP 완전 문제, 호치 추측, 푸앵카레 추측, 리만 가설, 양-밀스 존재성과 질량 부족, 나비-스토크스 방정식, BSD 추정을 꼽았다. 이 7문제에는 모두 100만 달러의 현상금이 걸려 있다.(p.269)

처음엔 이 책을 내가 어떻게 "이해"할 수 있을까에 집중해 책을 읽었는데 읽다보니 생각이 바뀌었다. 물론 읽음과 동시에 이해가 된다면 더없이 좋겠지만 어렵고 복잡한 설명보다 이야기가 주를 이루고 있어 책을 읽는게 방해되지 않는다. 미지의 끝을 향해 가는 발걸음은 원래 발을 디뎌 봐야 알지 알고 가는건 아니지 않던가. 낯선 세계로의 여행은 언제나 즐거운 법이다.


+
다 이해할 수 없어도 재미있는 책


《공식의 아름다움》은 인류에게 가장 보편적이고, 가장 진지하며, 가장 실용적인 공식 23개를 이야기하며 천재들이 자연과 사회와 우주의 찬란한 역사를 어떻게 탐구하였는지 보여 주는 비장한 결과물이다.


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