*푸앵카레는 "*수학이란 *서로 다른 *현상에 다 같은 *이름을 주는 *예술이다"라고 말합니다.
반면에 "수학자와 *시인은 완전히 *대척점에 있다"라고도 말했습니다.
*시인은 *같은 것을 보면서 *다르게 이야기하고,
*수학자는 *다른 것을 보면서 *같게 이야기하기 때문입니다. - P29
어려운 수학을 잘하려면 *개념을 *처음 접했을 때 *오래 생각해야 해요.
*기호에 *익숙해지려면 *연습도 많이 해야 하고 *개념과 기호를 *내 것으로 *체화하려면 문제를 풀어보고 해야 하는데, 그런 과정이 굉장히 지난하죠. - P37
*’소수가 무한히 많다’는 정리가 있어요.
그런데 증명이 굉장히 간단합니다. 소수의 개수가 유한하다고 가정하면 모순이 생기거든요.
*무한다하는 걸 *유한이 아니라는 것으로 *증명하는 게 아주 인상 깊었어요. - P42
수학은 본질적으로 자기 주도 학습이거든요. - P43
20세기의 대표적인 영국 통계학자 조지 박스는 수학적 모델링에 대해 이렇게 말했습니다.
"모든 수학적 모델은 틀렸다. 그러나 어떤 모델은 유용하다."
*어떤 복잡한 현상을 *수학적으로 *모델링할 때 있는 그대로 다 할 수 없으니 *어느 정도 *가정을 하게 되는데, *틀릴지도 모르는 가정을 세우게 되죠.
*모델을 *단순화시킨 것을 *‘토이 모델 toymodel’이라고 하는데,
토이 모델을 통해 *어떤 현상의 *근본적인 현상을 살펴보고 *좀 더 *현실화된 모델을 크게 *증진시키는 과정을 거치게 됩니다. - P48
*미분방정식을 연구하는 연구자들이 *시간에 따라 변하는 *물리적인 시스템을 기술하는 방법은 크게 2가지입니다.
하나는 *시간이 *연속적이라고 가정하는 상미분방정식 ordinary differential equation으로 모델링을 하는 것입니다.
다른 하나는 시간이 이산적 (discrete, 단속적으로 흩어져 있는 상태)이라고 가정하고 *차분방정식 discredte dynamical system으로 수학적 모델링을 하는 것이고요. - P49
/ 복잡계 시스템의 3가지 집단 현상
1) 플로킹
*사회 시스템이나 *물리적인 시스템은 ‘복잡계’라고 부르는데, 여기에는 집단 현상을 포함한 *비선형 현상들이 나나탑니다.
그중 대표적인 것이 플로킹 flocking, 동기화synchronization, 카오스 chaos의 3가지입니다. - P50
*플로킹과 *동기화는 *질서가 출현하는 것에 관한 내용이고,
*질서화되지 않은 *무질서한 현상, 복잡한 현상에 관한 것이 카오스입니다.
*카오슨 복잡하지만 그 안에 어떤 **질서가 숨어 있습니다.
복잡계의 집단 현상 중에 자연현상에서는 드론 쇼와 같은 현상이 많이 일어납니다.
새들이 떼를 지어서 날아다닌다든지,
물로기들이 떼를 지어서 움직이잖아요.
이를 *플로킹이라고 합니다. - P50
2) 동기화
한편, 메트로놈 여러 개를 각각 움직이게 하면 자신의 진동수를 가지고 진동합니다.
이를 캔 위에 널빤지를 얹고 그 위에 올려놓으면, 잠시 후에는 같이 움직입니다.
이를*동기화 현상이라고 합니다. - P51
이런 동기화 연구를 왜 해야 할까요?
사람은 심장이 있죠. 심장을 이루는 세포는 주기적으로 진동하게 됩니다. *심장 세포들의 *동기화 현상으로 인해 심장이 *주기적으로 일정한 빈도로 뛰는 거죠 - P53
/ 카오스
세 번째 비선형 현상이 카오스인데,
카오스라 하면 *복잡하고 *요동치는 것을 떠올리게 되죠.
푸앵카레는 20세기 초에 카오틱한 현상을 관측하긴 했지만 증명할 수 없었습니다.
*1963년도에 기상학자인 *로렌츠가 기후의 변화를 기술하는 나비어-스톡스 방정식의 간단한 형태인 부시네스크 방정식을 더 단순화시켜서 상미분방정식 3개로 줄였습니다. - P55
*주전자에 물을 끓이게 되면 데워진 *물 입자가 *위로 올라가고 *차가운 물 입자는 *내려가는 현상을 *대류라고 하는데,
*대류의 속도, *수평 온도의 차이, *수직 온도의 차이를 변수로 하여 복잡한 나비어-스톡스 방정식을 다음처럼 *3개의 미분방정식으로 줄였다. - P56
이 3개의 미분방정식을 가지고 시뮬레이션을 해서 궤적을 그려보면 재밌는 그림이 그려지거든요.
마치 나비의 두 날개를 연상케 하는 궤적이 그려지는데, 이를 *로렌츠 끌개라고 부릅니다.
그래서 로렌츠 끌개를 이번에는 초기 조건을 조금 달리 해서 3개의 궤적을 그려보면 처음에는 거의 비슷하게 움직이다가 점점 거리 차이가 불규칙하게 멀어지는데 이런 현상을 *카오틱 현상이라고 부릅니다. - P57
그러면 *연속적인 동역학 시스템에서만 *카오틱한 현상이 나타날까요?
대표적인 *인구 모델로 *지수 모델이 있는데, *인구 증가율을 r이라고 했을 때 *n이 커짐에 따라 단순한 역학을 보입니다.
*인구 증가율이 *양수면 *인구가 *무한대로 가고,
*음수면 *0으로 가지요.
그러니까 *인구가 *폭발하든가, 아니면 *다 죽든가 합니다. - P57
그래서 나온 것이 *로지스틱 모델입니다.
*인구가 *환경이 받아들일수 있는 것보다 *많아지면 오히려 *감소하게 되고, *작을 때는 *증가한다는 것이죠.
*카오스 현상은 특별히 *비선형 시스템에서 나타나는 현상으로, *어떤 시스템이 *카오틱하면 *장기적인 예측이 *불가능하지요.
그래서 한 달 후의 일기예보를 하는 것은 근본적으로 불가능한 것이죠. 기체의 운동을 기술하는 나비어-스톡스 방정식은 카오틱한 현상을 보이니까요. - P59
/ 불확실성의 정량화
비선형 시스템에서 나타나는 현상으로,
어떤 시스템이 카오틱하면 장기적인 예측이 불가능하지요.
*자연현상을 *수학적인 모델로 *예측하기는 기본적으로 **불가능합니다. *어느 정도는 *설명해줄 수 있지만 *100% 설명은 못한다는 거죠. - P59
아인슈타인은 "*어떤 수학적 법칙이 *실재를 언급하는 한 *법칙은 *확실치 않고, 또한 *모델이 확실치 않은 한 *실재를 나타내지 못한다"고 했습니다.
이를 *불확실성의 *정량화라고 하지요. Uncertainty quantification
*요즘 응용수학에서 뜨고 있는 분야인데, *불확실성을 어떻게든 *이해해보자는 겁니다.
*불확실성의 정량화란 이렇게 *불확실한 현상에서 *신뢰할 수 있는 구간을 찾는 것입니다. - P60
최근에 뜨고 있는 학문 분야가 **양자생물학 quantum biology입니다.
이는 *양자역학을 *세포 수준에 적용해서 그 *기저를 이해하려는 학문입니다.
지금까지는 *거시적으로 *복잡계 시스템의 집단 역학을 살펴봤다면,
이제는 *양자 수준에서 바라봐야 하지 않을까요? - P61
*군집 현상, *플로킹, *동조 현상이라는 말은 같은 의미인가요?
*박테리아가 뭉쳐서 기둥을 만든다든가 하는 *군집 현상은 *위치에 대한 *집중 현상이고,
새 떼가 같은 속도로 날아가는 *플로킹 현상은 *속도에 대한 *집중 현상입니다.
*동기화 현상은 *위상이나 *빈도가 같아지는 현상이고요.
다른 모습을 띠고 있지만 기본적으로 같은 현상이라고 이해하고 있습니다. - P62
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