<과학은 그 책을 고전이라 부른다>
/ 시간의 역사
도입부에서 호킹은 물리 이론에 대한 자신의 입장을 밝히고 있다.
**이론이란, *우주 또는 그 *제한된 *일부의 *모형에 불과하며,
그 *모형 속에 담겨 있는 *양과 우리가 실제로 얻은 *관측 결과를 *관계 짓는 **규칙들의 **집합일 뿐이다.
이런 입장은 물리학 이론이 절대적 진리라 생각하는 일반인의 생각과 사뭇 다르다. - P304
사실 *시공간에 대한 *우리의 이해는 **상대성 이론에 *전적으로 *의존한다고 봐도 무방하다.
*상대성 이론 *이전에 *시공간은 *불변의 무대였다. *그림의 프레임 같은 것이란 말이다.
*상대성 이론은 **시공간 자체를 *기술의 대상으로 삼는다. 물체가 움직이면 무대가 따라 변한다. *그림에 따라 *모양이 변하는 *프레임인 셈이다.
시공간을 기술하는 *아인슈타인의 방정식은 여러 가지 흥미로운 *예측을 내놓는다.
*우주가 *한 점에서 시작해 *팽창하고 있다든지, *강력한 중력으로 *빛조차 빠져나올 수 없는 물체가 있다든지 하는 것들 말이다. 이제 우리는 이런 예측이 옳다는 것을 알고 있다. - P305
시공간 내에는 많은 **‘것‘이 있다. 이런 *모든 것의 *근원이 무엇인지는 철학의 오랜 질문이었다. 이제 우리는 답을 안다.
옛 철학자들을 만나면 붙잡고 이야기해 주고 싶다. "아리스토텔레스! 이제 우리는 *물질의 본질이 *무엇인지 알아요!"
*물질의 근원 및 그들 사이의 *상호 작용은 **표준 모형으로설명된다.
*쿼크, *힉스 보손 같은 것들을 설명하는 이론이다.
**표준 모형에 나오는 **입자들은 **레고 블록과 같다.
*우주의 *모든 물질은 바로 이 *레고 블록들의 **적절한 조합으로 만들어진다. 여기서 중요한 역할을 하는 *물리 이론은 *양자 역학이다. - P305
블랙홀은 수학적으로 빅뱅과 유사하다.
특이점이라 불리는 것이다.
블랙홀의 연구에서 우주의 기원에 대한 단서를 찾을지도 모른다는 이야기다.
원래 특이점은 수학적으로 매우 중요하다. 특이점이 *전체의 기하학적 구조를 *결정하기 때문이다. - P306
/ 시간의 화살을 보다.
왜 시간을 과거에서 미래로만 흐를까?
호킹은 *’시간의 화살’ 세 종류에 대해 이야기한다.
**열역학적 화살, **심리적 화살, **우주론적 화살.
*심리적 시간의 화살은 우리가 사건을 기억하는 순서로 결정된다. *기억을 저장할 때 *엔트로피가 증가하므로 *열역학적 화살과 심리적 화살의 방향이 같다. 우리가 미래를 기억하지 못하는 이유다.
시간이 지금처럼 흐르기 위해서는 *엔트로피가 **극도로 *작은 상태에서 *출발했어야만 한다. **빅뱅이 아니었으면 시간이 흐르지 않을 것이란 말이다.
사실 물리학자들이 엔트로피를 이해했을 때 빅뱅을 알 수도 있었을 것이란 이야기다. - P306
인간과 같은 지적인 생명체는 *엄청난 엔트로피를 생성한다.
*자신의 *높은 질서를 유지하기 위해 *주변에 **엔트로피를 **높여야 하기 때문이다.
즉 강한 *강한 열역학적 화살, *빅뱅이 있어야 했다는 말이다. - P307
만약 우리가 그 *물음(*우주가 왜 존재하는가?)의 답을 발견한다면 그것은 *인간 이성의 *최종적인 승리가 될 것이다. 그때에야 비로소 *우리는 **신의 마음을 알게 될 것이기 때문이다. - P307
/ 수학의 확실성(불확실성 시대의 수학), 모리스 클라인
현대 수학은 어디로 가는가
*이성을 통해 *진리가 무엇인가를 진지하게 찾는 사람이라면 *수학을 깊이연구할 수밖에 없다.
*수학은 그 자체로서 *진리를 찾고 구현하는 방법이며,
*절대적인 확실성을 보여 주는 유일한 세계로 간주되기 때문이다.
*수학적 추론은 *엄밀하고 *정확한 결과를 끌어내는 *대표적인 방법이며, *수학에서 얻은 *진리는 흔히 확실한 *진리의 모범으로 여겨진다. - P315
이미 *고대 그리스 시대부터 *유클리드 기하학은 *보편적이고 *완전한 진리의 체계로 자리 잡았으며, *19세기에 *공리화 과정을 통해서 *엄밀성이 확립되면서 더욱 확고한 기초를 갖게 되었다.
또 *수학은 *자연 세계에 *적용되면 *놀라운 결과를 가져오는 *막강한 도구임이 오래전부터 잘 알려져 왔다.
특히 **17세기 *과학 혁명 이래, *천체와 지상의 역학, *광학, *유체 역학, *전기 및 자기 이론, 그리고 *여러 공학 분야에서 *수학이 적용되면 이전과는 비견할 데 없는 *거대한 성과를 얻을 수 있었다.
*현대의 *양자 역학과 *상대성 이론은 *인간의 *감각이 *미치지 못하는 *세계를 다루기 때문에 **수학의 힘을 더욱 더 필요로 한다. - P315
수학의 무모순성과 완전성을 증명하라
불행히도 *수학자들은 *하느님을 이미 저버렸고, 그래서 *하늘에 계신 *신성한 기하학자도 *여러 가지 기하학 가운데 *어느 것을 사용해 *우주를 설계했는지 *계시해 주지 않았다. - P315
그러면 *수학은 정말 **절대적인 진리로 이루어진 *완전한 체계일까?
이것을 최종적으로 증명하는 것이 *20세기에 접어들면서 *수학자들 앞에 주어진 과제였다.
*1900년 파리에서 열린 제2차 수학자 대회에서 당대 수학계의지도자였던 독일 괴팅겐 대학교의 *다비트 힐베르트(David Hilbert)는 수학의 발전을 위해 중요한 문제 23개를 발표했는데, 이 문제들의 상당 부분은수학의 기초를 확립하는 데 초점을 맞춘 문제들이었다.
힐베르트가 이 문제들을 제시했을 때 사람들은, 비록 시간이 걸릴 수는 있겠지만, 언젠가는그 모든 문제들에 대한 해답이 주어지고 **수학의 **완전한 기초가 **완성되리라는 것에 한 점 의심을 품지 않았다.
*수세기 동안 거듭된 발전을 통해 이룩된 *수학의 성공 위에서 *수학자들은 *낙관적이고 자신만만했다. - P316
**낙관론이 팽배하던 바로 그때, *수학의 기초는 *붕괴하고 있었다.
*무한을 다루는 엄밀한 방법으로 *집합론을 창조한 *게오르크 칸토어(Georg Cantor)는 **무한 집합을 다루는 과정에서 야기되는 여러 가지 *난점에 직면했다.
*버트런드 러셀(Bertrand Russell)은 더욱 명료하게, *자기 자신을 포함하는 *집합은 *모순(paradox)을 낳는다는 것을 발견했다.
*이후 수학의 *여러 방면에서 *모순이 발견되었다. 갑자기 수학 전체가 *흔들리는 것 같았다. 이로써 **모순이 없는 구조, 즉 **무모순성을 확립하려는 것이 *가장 시급한 문제가 되었다. *20세기 *초반은 *자연 과학뿐 아니라 *수학에서도 혼란의 시기였다. - P316
수학의 기초를 건설하기 위해, *러셀과 앨프리드 화이트헤드(AlfredWhitehead)와 같은 이들은 *수학을 **논리학으로 *환원해서 **논리 위에 **수학의 기초를 세우려고 했다.
네덜란드의 *라위트전 브라우어르(Luitzen EgbertusJan Brouwer)는 수학의 기초를 *인간 정신의 기본적인 **직관에서 찾아야 한다고 주장하는 *직관주의를 제안했다.
*힐베르트는 **형식주의라고 불리는 학파를 창시해서, *증명법을 발전시키고 수학의 *기초 체계를 *건설하는 프로그램을 제시했다. 또 독일의 에른스트 체르멜로는 *집합론 학파를 창시했다. - P316
이들 학파는 *각자 *나름대로의 *방법으로 *모순을 해결하고 *일정한 성공을거두었다.
*1930년에 이르기까지 *제한적인 경우에나마 *수학의 공리계는 *어느 정도 *무모순성과 *완전성이라고 불리는 성질을 확립할 수 있었다.
*힐베르트는 1930년의 논문에서 *"나는 나의 증명으로써 이 같은 *목적을 *완전히 *성취할 수 있다고 믿는다." 라고 주장했다. - P317
/ 무모순성과 완전성은 동시에 만족될 수 없다.
괴델의 이 결과를 접한 바일은 이 결과가 하느님과 악마가 존재하는 것을 보여 준다고 말했다. *하느님이 존재하는 것은 *수학이 의심할 여지 없이 *무모순이기 때문이고, 또 *악마도 존재하는 것은 우리 인간들이 그 *무모순성을 증명할 수 없기 때문이라는 것이었다.
상황은 일거에 뒤집혔다. 빈 출신으로 힐베르트 프로그램에 따라 무모순성을 연구하던 *쿠르트 괴델은 1931년, 소위 **불완전성 정리라고 불리는 *획기적인 결과를 발표한다. 이 정리에 따르면, *무모순인 공리계에서는 *참과 거짓을 판별할 수 없는 명제가 반드시 존재해서, *체계는 불완전할 수밖에 없다.
즉 **무모순성과 **완전성은 *동시에 **만족될 수 없다는 것을 의미한다.
이로써 그동안 수학이 자신의 기초로 삼았던, *무모순성을 갖춘 *공리계를 건설하는 것은 **불가능하며 수학의 *공리화에는 **한계가 **있음이 증명되었다.
수학의 확실성이란 사라져 버린 꿈이거나, 또는 지금까지 수학자들이 생각해 온 것과는 전혀 다른 그 무엇이어야 했다. - P318
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