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소수의 음악 - 수학 최고의 신비를 찾아
마르쿠스 듀 소토이 지음, 고중숙 옮김 / 승산 / 2007년 3월
평점 :
<소수의 음악> 리뷰
2,3,5,7,11,13,17,19, ...
1과 자신 이외의 약수를 갖지 않는 2 이상의 자연수 --- 소수 (素數, Prime Number)
막연히 컴퓨터 상거래(Commercial)에서 암호기법으로 소수가 사용된다고 들었었기에, 뭐 대단한 내용이 있을까? 하고 반신반의 하고 책을 보았는데 제가 틀렸습니다.
많은 점을 생각하게 하는군요.
제가 감히 주제넘게 책 내용을 요약(발췌)해보았습니다.
예를 들어 1000 이후에 나타날 첫번째 소수를 예측할 방법은 아무데도 없다.
그러나 가우스Gauss는 어떤 책(로그책)의 부록에 나와 있는 그 당시까지 알려진 소수표를 보고 질문의 형태를 바꾸는 발상의 전환을 하여 처음 100까지의 수 또는 처음 1000까지의 수와 같이 어떤 일정한 범위 안에 얼마나 많은 소수가 있을 것인가? 하고 물었습니다.
그는 N까지의 범위에 약 N/logN 개의 소수가 있다고 추측했습니다. --- 소수추측
오일러 시대에 수학계에 처음 소개된 '제타함수'가 있답니다.
제타(x)= 1/1^x + 1/2^x + 1/3^x + ... + 1/n^x + ...
여기에 리만Riemann은 x=a+bi 라는 어떤 복소수를 대입하면 제타함수 값을 0 으로 만들 수 있고
이 영점들의 좌표를 이용해서 1부터 N까지 사이에 존재하는 소수의 정확한 개수를 알려 줄 식을 찾을 수 있게 되었습니다.(이론상)
즉 리만은 제타함수 값이 0 이 되는 곳들의 지점들만 이용하면 소수추측과 실제 소수의 갯수 사이의 오차를 완전히 없앨 수 있음을 밝혔습니다.
(실제로는 제타함수 값이 0 이 되는 지점들이 무한히 많으므로 이 모든 영점들로 부터 만들어지는 파동함수를 모두 더해야 한답니다.)
(제타 함수 값은 4차원 공간지형 이겠지만)
이를 좌표로 표시하면, 동서로 뻗은 방향은 실수, 남북으로 뻗은 방향은 허수의 크기를 나타낸다면.....
높이는 제타함수의 그림자로 표시하자면.....
언뜻 제타 지형도의 여기 저기에 불규칙하게 분포되어 있으리라 예상했던 영점들이 마치 기적과도 같이 모두 남북으로 뻗은 어느 직선 하나 위에 자리 잡고 있는 것처럼 보였다.
이 직선은 '특이선'이라 불리며 제타지형의 원점에서 동쪽으로 1/2 떨어진 곳에서 남북으로 그은 직선이다.
실제로 리만은 모든 영점들이 제타 지형의 동쪽으로 1/2 떨어진 특이선을 따라 배열되어 있을 것이라고 믿었으며 이후 이 추측은 '리만 가설 Riemann Hypothesis' 로 불리게 되었다.
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이어서 이 리만가설을 증명하기 위한 수학자들의 분투를 이 책 뒷부분에서 보여 줍니다.
이를 위해 괴델Godel의 '불완전성 정리', 컴퓨터를 이용한 가장 큰 소수 찾기, 소인수 분해 또는 타원곡선을 이용한 전자 상거래에서의 암호화 기법등을 이야기 합니다.
그리고 흥미롭게도 리만가설을 증명하려는 과정에서 제타지형도의 영점찾기가 양자물리학의 에너지레벨(초끈이론)및 카오스 이론과도 연결 된다는 놀라운 발견을 하게되는 과정을 보여줍니다.
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마치 <페르마의 마지막 정리>란 책에서,
"x^n + y^n = z^n : n이 3 이상의 정수일때(n >= 3),
이 방정식을 만족하는 정수해 x,y,z 는 존재하지 않는다." 이라는
페르마의 정리를 증명하기위해.....
수학적으로 서로 아무런 관련이 없던 분야인 "모든 타원방정식이 모듈 형태로 변환된다."는 <타니야마-시무라의 추측> 을 증명하기만 하면 페르마의 마지막 정리가 증명되는 것처럼......
한 분야에서의 문제가 다른 분야의 문제들과 중첩overlap되는 것을 느꼈습니다.
리만 가설과 양자역학(초끈이론), 카오스 등등.....
이런 문제를 <최종이론의 꿈>에서 글쓴이가 이렇게 표현하더군요...
"아마존 원시부족에게 비행기에서 전자레인지(?)가 떨어지듯이 21세기에 다루어야 할 초끈이론이 지금 발견되어 우리를 애태우게 한다." 고요.
이 문제들은 개별적이 아니라 전체적인 시각으로 접근해야 되지 않을까? 하고 생각해 봅니다.
(p40)
(앤드루(?)) 와일즈는 클레이 상 Clay Prize의 제정에 즈음한 기자회견에서 새 천 년의 문제들이 최종 목적지가 아니라는 점을 분명히 강조했다.....
저 너머 발견되기를 기다리는 완전히 새로운 수학적 세계가 드넓게 쳘쳐져 있습니다. 이를 이해하기 위해 1600년 무렵의 유럽인들을 상상해 봅시다.
그들은 대서양 건너편에 신세계가 있음을 알았습니다. 하지만 그들이 어떻게 미국이 이룬 여러 발견과 발전에 상을 내걸 수 있었겠습니까?
비행기와 컴퓨터의 발명에 아무 상도 걸 수 없었고 시카고를 건설하는데에도 마찬가지였습니다. 이런 것들은 오늘날 미국의 일부가 되었지만 1600년 당시에는 전혀 상상할 수 없었습니다.
다만 그들은 경도(經度,longitude)에 관한 문제를 푸는 데에는 충분히 상금을 내걸 수 있었습니다.
리만 가설은 수학의 경도(經度,longitude)와 같다.
리만 가설을 증명하면 드넓은 수의 바다에서 신비의 수로를 찾아 항해할 수 있을 것이다. 하지만 이는 자연이 선사한 수의 세계를 이해하는 첫걸음에 지나지 않는다. 우리가 소수의 세계에 깔린 신비의 항로를 찾게 되더라도 그 너머에 무엇이 우리를 기다리는지 그 누가 지금 다 알겠는가?
<내일의 신> (p200)
그렇다! 그리고 일단 우리가 산꼭대기에 도달하면 언제나 새로운 등산로가 있을 거라고 선언하자.
어떤 산의 꼭대기는 다음 산의 밑바닥이고, 그 산은 결코 끝나지 않음을 기꺼이 토로하자. 그것이 무한하다는 깨달음에 기뻐하자.
2013.12.03.
붉은도깨비(홍도깨비) 심기준 올림
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