미적분의 쓸모

미적분의 쓸모 - 보통 사람들도 이해하는 새로운 미래의 언어, 증보개정판 ㅣ 쓸모 시리즈 2
한화택 지음 / 더퀘스트 / 2022년 5월

수학을 배워서 어디다 써? 라고 질문할 수 없는 세상이 됐다. 워낙 많은 수학 교양 도서가 수학이 어떤 식으로든 우리 삶에 쓸모가 있는 학문임을 얘기해주고 있기 때문이다. 수학의 정석만 풀며 왜 해야하는지 모를 계산과 공식을 주구장창 풀던 시절을 지나, 이렇게 수학이 쓸모도 있고 혹은 쓸모가 없어도 아름다울 수 있다는 걸 알려주는 책들이 많아져서 기쁘다. 이 책은 2021년에 출간된 책의 개정증보판이다. 미적분의 실용적 측면을 부각함과 동시에 미분과 적분의 개념을 정확하게 모르는 독자들도 쉽게 미적분의 쓸모있는 면모를 이해할 수 있도록 설명을 자세하게 풀어놓고 있다.

1장에서는 미분의 시작을 알린다. 변화하는 물체의 움직임을 알아보려는 수학자들의 수많은 고뇌의 결과로 미분이 탄생했다. 뉴턴의 유율법에 대한 내용이 나오는데 라이프니츠는 현재 우리가 쓰는 d를 써서 미분을 표현했다. 과속방지카메라 미분이 쓰이는 원리에 대해서도 나온다. 두 감지선 사이의 거리를 통과시간으로 나누어 차량 속도를 구하고 이 속도가 규정 속도를 넘은 차를 카메라가 찍는다. 이동식 단속카메라는 고정식과 달리 미분을 이용하지 않고 주파수 변화로 속도를 측정한다. 이제는 이미지프로세싱으로 단속카메라 기술이 점점 발전하고 있다고 한다.

스페이스x의 로켓 추진체 재활용 계획이 현재는 놀라운 성공률을 보이고 있는데 관성항법장치에 의한 로켓 추진체 조절 과정을 자세하게 설명하고 있다. 직선운동보다 회전운동을 세심하게 조절해야하며 이는 미분으로 파악가능하다. 일론 머스크의 꿈이 현실이 된다면 미분의 공이 크다고 하겠다.
드론에 관한 얘기도 자세하게 언급하고 있다. 드론 방향 조절과 이동원리, 회전 원리 등을 설명하고 있는데 뉴턴의 가속도 법칙이 쓰이는 것을 확인할 수 있다.
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2장은 기울기에 대한 개념이다. 변곡점, 극점, 근 등의 관계에 대해 자세하게 다루고 있고 곡률 개념에 대해서 설명한다. 곡률과 도함숫값의 관계를 설명하면서 철로 이야기로 이해를 돕는다. 부드럽게 회전하기 위해 곡률반경을 크게 만든다. 직선 철로와 곡선 철로가 연속적이고 기울기가 일치해도 연결 지점에서 곡률반경이 갑자기 변하면 고차 도함숫값이 불연속일 수 있음을 그래프로 설명한다. 여러 나선과 곡선 디자인에 대한 내용은 아름답기까지하다.

3장은 최적화에 대한 내용이다. 최적화를 어렵게 만드는 조건은 다변수다. 머신러닝은 주어진 데이터를 가장 잘 대표하는 최적화된 학습 모델 설계를 의미한다. 기계학습이란 손실함수 즉 예측 결과와 실제 결과의 오차를 최소화하는 작업으로 손실함수를 목적함수로 하는 극솟값 문제다. 인공신경망, 경사하강법 개념 등 AI와 관련된 개념이 소개되어 있어 요즘 트렌드에 도움이 된다.

4장은 기하학이다. 아르키메데스와 같이 일반적으로 많이 다뤄지는 내용도 있지만 코로나 일일 확진자와 누적 확진자 차이를 적분으로 표현하는 내용은 신선했다. 현재 상태를 판단하는 근거가 적분이다. 적분을 이용한 다양한 측정법이 오늘날에도 쓰이고 있다. 또한 적분이 CT를 통해 의학발전을 이끈 예를 보여주고 있다.


5장은 디즈니 영화에 쓰인 나비에/스토크스 유동 방정식,

6장은 미적분의 예측하는 힘을 빌려 우리의 미래에 대해 논한다. 그 과정에서 한계호용 개념이 등장한다. 한계효용을 적분하면 총효용이고, 평균효용은 총효용을 전체 비용으로 나눈 값 즉, 총효용 곡선에서 두 점을 잇는 평균 기울기에 해당한다. 한계효용은 접선 기울기에 해당한다. 이 책에선 엔트로피로도 설명한다. 엔트로피는 열량 나누기 절대온도로, 물체가 열을 전달받으면 에너지는 받은 열량만큼 증가하고 엔트로피는 받은 열량을 물체의 온도로 나눈 만큼 증가한다. 열량이 같은데도 온도가 낮을수록 엔트로피가 증가하는 것은 똑같은 코로나 지원금을 받더라도 재산이 적을수록 효용이 큰 것과 같다. 그래서 취약계층에 지원금을 집중해서 지원하는 것이 사회적 엔트로피를 증가시킬 수 있다.

복잡하게 변하는 세상을 이해하는 데 반드시 필요한 도구가 미적분이다. 수학이 아무 쓸모없는 과목이 아님을 친절하게 보여주는 책이다.