다시, 수학이 필요한 순간

수학이 필요한 순간 (리커버 에디션) - 인간은 얼마나 깊게 생각할 수 있는가
김민형 지음 / 인플루엔셜(주) / 2018년 8월

수학이란 무엇인가. 이 책의 프롤로그 제목이다. 나는 학창시절부터 지금까지 수학을 하고 있는 사람으로서 학생들에게 수학이 어떤 의미인지에 대해 물어본 적은 많지만 아이러니하게도 나 자신이 수학을 어떻게 생각하는지, 수학이 과연 무엇인지에 대해 생각해본 적은 없는 것 같다. 나는, 수학을 싫어하는 사람들이 들으면 이상하게 들릴지 모르겠지만, 학창시절에는 하루를 꼬박 할애하여 힘겹게 푼 문제가 정답지와 맞아떨어졌을 때의 짜릿함이 즐거웠고, 전공수학을 공부하면서는 학창시절 당연하게 생각했던 개념들의 이유와 기저를 파헤치는 게 즐거웠다. 나같이 말주변 없고 글을 좋아하는 사람에게 수학은 ‘왜’라는 질문에 대한 명쾌한 해답이자 또 다른 세계의 언어처럼 다가왔다. 5세인 첫째 딸이 요즘 나에게 가장 많이 하는 말 중의 하나가 ‘왜?’이다. 어렸을 때는 궁금한 거 투성이다. 점점 나이를 먹으면서 ‘왜’라는 질문을 하지 않게 된다. 부끄럽지만 학교 시스템이나 수업 분위기의 문제일 수도 있다. 어쨌든 호기심은 어른이 되면서 사라진다. 그런 의미에서 수학은 나를 호기심 왕성한 아이로 되돌려놓는 기분이 든다. 하나의 사실을 증명하기 위해 꼬리에 꼬리를 물고 단계를 앞으로 거슬러 올라가는 작업은 마치 인류의 역사이자 철학 같은 느낌도 들었다.

프롤로그에는 ‘바라뇽의 정리’가 등장한다. ‘지오지브라’라는 수학 프로그램을 이용하여 바라뇽의 정리가 성립하는 이유를 부드럽게 증명하고 있다. 그런데 정리가 성립하는 이유를 계속 캐내어 계속 기저로 들어가다보면 더이상 증명하기 힘들 것 같은 ‘공리’에까지 도달하게 된다. 그 과정에서 무엇을 공리로 할 것인지 합의를 거치기도 하고 바라뇽의 정리를 물질(사각형)에 대한 명제로 해석하여 물리학으로 사고를 넓혀 생각할 수도 있다.
물리에서 빠질 수 없는 수학의 한 분야는 ‘기하’다. 1강에서는 ‘수의 위기’를 이야기하면서 기하에 대한 이야기가 첫 페이지에 등장한다. 피타고라스의 전설이 등장한 시기 이후 기하학에서 수의 개념이 시작되었는데, ‘아르키메데스의 정리’ 논문에는 원의 넓이, 구의 표면적 구하는 과정이 등장하지만 이 당시에는 수가 없었기 때문에 우리가 익히 아는 원 넓이 식인 원주율과 반지름 제곱의 곱 형태가 등장하지 않는다. 모두 그림으로 표현되고 있다. 여기서부터 적분의 기원이 시작된다. 현재 2015 개정교육과정에는 구분구적법이 적분을 가르치는 과정에서 빠져 있는데 학습부담을 줄이기 위한 조치인지는 모르겠으나 개인적으로는 안타깝게 생각한다. 이 책에서는 원의 외접, 내접하는 정n각형에서 n이 무한히 커질 때 정n각형의 넓이가 원의 넓이에 근사함을 이용하여 원 넓이를 추론하는 증명을 통해 무한 이야기로 자연스럽게 나아간다. 실무한이 직관적으로 받아들여지기 어렵다는 것과 그 한계의 극복에 관하여 무한급수 이야기로 확장되고 다시 이야기는 기하로 돌아온다. 교과서에 없는, 그러나 중요하고 재미있는 이야기를 만날 수 있다.
2강부터는 수학의 기반에 대한 이야기를 다룬다. 집합과 논리, 그리고 3강에서 알고리즘에 대한 이야기로 넘어가면서 알고리즘과 힐베르트의 10번 문제에 대한 이야기를 다룬다. 개인적으로 가장 공감했던 부분이 있다. 첫째는 수학과 산수에 경계선을 짓지 말자는 것 즉, 기계적으로 문제를 풀어 계산을 효율적으로 하는 능력도 수학에서는 굉장히 중요하다는 것이고, 둘째는 수학교육에 관하여 ‘이렇게 해야 한다’는 특별한 솔루션을 내놓는 방법은 거의 믿지 않는다는 저자의 말이다. 학교에서 배우는 수학이 이렇게 재미있으면 얼마나 좋을까 하는 말에 대해, 학교에서 어느 정도 배운 내용이기에 안면도가 있어서 재미있게 느낄 수 있다는 김민형 교수님의 말에 십분 공감한다.
4강은 수학의 파운데이션을 파헤치려는 노력을 구체화하는 부분이다. 논리적 사고와 수학적 사고에 대해 다루는데 논리표라고 일컬어지는, 일종의 게임 규칙 같은 느낌을 들게 하는 부분이다. 논리적 사고를 기르는데 가장 핵심적인 부분이다.
전작 ‘수학이 필요한 순간’에서 확률, 이산수학, 위상수학의 영역을 위주로 다루고 있다면 이번 책은 대수와 집합론, 그리고 이러한 다양한 대수-기하, 수학-물리 등 다른 듯 보이는 수학 내적, 외적분야의 연결성을 위주로 다루고 있다. 책을 읽다 보면 결국 수학이란 나에게 어떤 의미인가로 귀결된다. 수학은 인간의 호기심에 대한 가장 근원적인 해답을 제공한다고 생각한다. 반드시 어딘가에 필요해서 수학을 배우는 것이 아니라 수학 그 자체로도 충분히 재미있을 수 있음을 다시 한 번 느끼게 해주는 책이다. 수학은 독단적인 아집을 부리는 학문이 아니다. 대수와 기하는 서로 유연하게 연결되어 있고 수학적 사고가 물리적 사고와 연결되는 경우도 많다. 그리 어렵지 않게 수학을 풀어내고 있어서 수학을 공부하는 학생 뿐만 아니라 수학교사, 학부모 등 수학을 공부하고 싶어하는 모든 사람들에게 권한다. 단, 어느 정도 기본 수학 지식이 있는 경우면 더 흥미롭게 읽을 수 있을 것 같다.