인간 지능의 한계 없음을 보여준 정리

괴델의 증명 - 호프스태터가 서문을 쓰고 개정한
어니스트 네이글 외 지음, 곽강제.고중숙 옮김 / 승산 / 2010년 10월

괴델의 불완전성 정리는 수리논리학에서 페아노 공리계를 포함하는 모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없으며, 특히 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다. 

산술학이 무모순적이라면, 산술학의 무모순성은 형식화된 산술 체계 내에서 표현할 수 있는 어떤 초수학적 추론으로도 입증할 수 없다는 결론이다. 

괴델의 결론이 남긴 영향의 하나는, 모든 연역 체계(특히 산술학 전체를 포괄할 수 있는 체계)에 대해서 힐베르트 제안의 유한적 요구를 만족하는 무모순성의 절대적 증명이 논리적으로 불가능하지는 않지만 거의 무망하다는 사실을 깨달은 것이다. 

또한 괴델의 결론은, 유한수의 추론 규칙으로는 임의의 주어진 공리 집합에서 형식적으로 추론할 수 없는 참값의 산술 명제가 무한수로 존재한다는 것을 보여준다. 

따라서 예를 들어 정수론에 공리적으로 접근하더라도 산술적 참값 영역을 완전히 드러낼 수 없다는 결론을 얻는다. 

그렇다고 괴델의 증명을 절망, 혹은 미스터리광의 변명으로 해석해서는 안 된다. 

형식적으로 증명할 수 없는 참값의 산술 명제가 있다는 사실의 발견이, 영원히 밝혀질 수 없는 진리가 있다는 것을 뜻하는 것도 아니다. ‘인간의 추론 능력에 피할 수 없는 한계’가 있다는 것을 뜻하지도 않는다. 

오히려 인간의 지능이 완전히 형식화된 적이 없었고 지금도 마찬가지이기 때문에 새로운 증명 원리가 앞으로 계속해서 발견될 것이란 희망을 의미한다. 

수리적 논리 해석을 따라가면서 읽어내는 게 힘든 책이긴 하다.  

생명의 본질은 흐름 가운데 동적 평형

동적평형 - 읽고 나면 세상이 달라져 보이는 매혹의 책
후쿠오카 신이치 지음, 김소연 옮김 / 은행나무 / 2010년 3월

생명현상이 끊임없는 분자의 교환 위에 성립된다는 것, 즉 동적인 분자의 평형 상태 위에 생물이 존재한다는 사실은, 이 기억 물질을 둘러싼 논쟁이 있었던 당시로부터 20년을 거슬러 올라간 시점에 이미 루돌프 쇤하이머라는 과학자에 의해 밝혀진 바 있다.

생명은 흘러가는 강물 같은 흐름 가운데 있으며 우리가 계속 먹어야만 하는 이유는 그 흐름을 멈추지 않도록 하기 위해서이다. 그리고 더욱 중요한 것은 그 분자의 흐름이, 흐르는 가운데서도 전체적으로 질서를 유지하기 위해 서로 관계성을 유지하고 있다는 것이었다.

개체는 감각적으로는 외계와 격리된 실체로서 존재하는 것처럼 보인다. 하지만 마이크로 단위에서 보면, 우연히 그곳에서 밀도가 높아진 분자가 여유롭게 ‘머무르는’ 상태에 불과한 것이다. 

생명이란 동적인 평형 상태에 있는 시스템’이라고 말이다. 

그리고 여기에는 또 한 가지 중요한 계시가 숨어 있는데, 그것은 가변적이고 지속 가능하다는 것을 특징으로 갖는 생명이란 시스템은 그 물질적인 구조 기반, 즉 구성분자 자체에 의존하는 게 아니라 그 흐름을 유발하는 ‘효과’라는 것이다. 즉, 생명현상이란 구조가 아니라 ‘효과’인 것이다.

살아있다’는 것은 ‘동적인 평형’을 유지하며 ‘엔트로피 증대의 법칙’과 타협하는 것이라 할 수 있다. 바꿔 말하면 무분별하게 시간의 흐름에 대항하는 게 아니라, 그것을 받아들이면서 공존하는 방법을 채택한 것이다. 

생명, 자연, 환경 – 거기에 살아 숨 쉬는 모든 현상의 핵심을 풀 수 있는 키워드, 저자는 그것을 ‘동적평형(dynamic equilibrium)’이라고 본다. 끊임없이 흐르면서 정교한 균형을 유지하는 것. 끊임없이 파괴하고 항상 재구축하는 것 외에 손상을 피할 수 있는 방법은 없다. 생명은 그런 모습과 행동양식을 선택했다. 이것이 동적평형이다. 

수학을 즐기는 데 필요한 지능은 따로 있다.

수학 지능 - 인공지능은 할 수 없는 인간의 일곱 가지 수학 지능
주나이드 무빈 지음, 박선진 옮김 / 까치 / 2023년 10월

일반인들은 수학을 잘하는 데 필요한 지능은 대체로 재빠른 연산 능력이나 무한한 암기 능력이라고 믿는다. 저자는 이러한 편견을 철저히 거부하며, 보통의 사람들이 수학을 즐기는 데 필요한 능력은 전혀 별개의 능력이라고 주장한다. 

1. 추정 : 인간이 다른 동물과 차이가 나는 부분은 인간은 언어 능력과 추상 능력이 있어 수 개념을 형식화하고 큰 수량을 처리하며 그 과정에서 이론을 수립할 수 있다는 점이다. 

2. 표상 : 수학은 놀랄 만큼 압축적이다. 여러 접근방식의 개념이나 동일한 과정을 단계별로 반복하며 오랫동안 고생해야 할 수도 있다. 그러나 일단 진정으로 이해하고 그것을 전체적으로 조망할 수 있는 심적 관점을 갖추게 되면 마음속에서는 엄청난 압축이 일어나고는 한다. 그것을 분류하여 정리한 후 필요할 때마다 빠르게 온전히 소환할 수 있으며, 다른 심적 과정의 한 단계로 사용할 수도 있다. 이러한 압축에 따르는 통찰력이야말로 수학의 진정한 기쁨 중 하나이다. 

3. 추론 : 건전한 추론은 패턴의 조각을 이어붙여 명제에 확실성을 부여하는 역할을 한다. 건전한 추론을 통해서 원인과 결과를 결합시키고 거짓된 상관관계에 빠질 위험을 방지할 수 있다. 건전한 추론은 인간에게 흔히 볼 수 있으며 기계에 의해서 증폭되는, 오류투성이 추론과는 정반대에 위치한다. 건전한 추론은 기계가 자신의 선택에 책임을 지도록 하고 우리 인간의 편견을 알고리즘에 투영하지 않도록 막기 위한 필수 요소이다. 

4. 상상 : 컴퓨터가 높은 수준의 창의력을 발휘하는 것처럼 보여도 실제로 이들의 결과물은 인간, 즉 프로그래머가 작동 범위를 지정하기 위해서 설정한 매개변수에 따라 제한된다. 컴퓨터는 필연적으로 주어진 제약 조건 내에서 작동할 수밖에 없다. 

수학은 과학 중에서도 가장 파괴적인 학문으로서, 아무리 틀에서 벗어난 생각이라도 새로운 세계를 구상하는 데에 사용할 수 있는 가장 오래된 방법이다. … 수학적 지능의 원동력은 사고의 전 영역을 창조하고 재창조할 수 있는 자유에서 나온다. 

5. 질문 : 컴퓨터가 새로운 지식의 한계를 향해 나아가는 가운데 생겨나는 그 모든 복잡성은 결국 인간이 관리해야 할 것이다. 컴퓨터의 역할은 해답을 찾는 데 그칠 뿐, 어떤 질문이 가장 흥미로운지, 어떤 질문은 인간만이 풀 수 있는지, 어떤 질문은 더 확장해야 하는지 결정하는 것은 여전히 인간의 몫이다. 컴퓨터는 우리의 탐험을 돕는 훌륭한 도구가 될 수 있지만, 여정을 계획하는 것은 결국 우리 인간이다. 

6. 조율 : 컴퓨터가 새로운 지식의 한계를 향해 나아가는 가운데 생겨나는 그 모든 복잡성은 결국 인간이 관리해야 할 것이다. 컴퓨터의 역할은 해답을 찾는 데 그칠 뿐, 어떤 질문이 가장 흥미로운지, 어떤 질문은 인간만이 풀 수 있는지, 어떤 질문은 더 확장해야 하는지 결정하는 것은 여전히 인간의 몫이다. 컴퓨터는 우리의 탐험을 돕는 훌륭한 도구가 될 수 있지만, 여정을 계획하는 것은 결국 우리 인간이다. 

7. 협동 : 한 집단이 충분히 다양한 인원으로 구성되어 있다면 방대한 집단 지식의 풀이 갖춰지므로 개별 오류는 상쇄되고 결국 전체적인 평균 추정치는 놀랄 만큼 정확해질 수 있다. … 이러한 ‘인지적 다양성’은 협동 집단의 소중한 자산이며, 다양한 관점을 필요로 하는 학제간 문제에서는 특히 더 중요하다. 진화론적인 관점에서 볼 때 인지적 다양성은 인류의 생존에 필수적인 요소이다. 

수학은 기존의 아이디어와 새 아이디어에 생명을 불어넣어 이해의 폭을 확장하는 수학자들의 살아 있는 커뮤니티에서만 존재한다. 수학의 진정한 만족은 다른 사람들로부터 배우고 그러한 배움을 다른 사람들과 나누는 데에서 나온다. 우리들 모두는 몇 가지 개념은 명확하게 이해하고 있지만 대부분의 경우에는 어렴풋이 알고 있을 뿐이다. 

이상 현대 수학에 필요한 수학적 지능 7 가지를 요약해보았다. 오늘날 컴퓨터와 AI가 인간의 사고와 판단을 대체할 수 있다는 성급한 추론이 힘을 얻고 있지만, 중요한 것은 판단 권한과 주체성을 기계에 넘기지 않는 것이다. 지금 인간이 하는 어떤 일들은 비록 기계에 의해서 대체되겠지만 결국 인간은 인간만이 할 수 있는 일을 찾고 자신의 가치를 증명할 것이다.