《미적분의 쓸모》: 미래를 예측하는 새로운 언어

미적분의 쓸모 - 미래를 예측하는 새로운 언어 ㅣ 쓸모 시리즈 2
한화택 지음 / 더퀘스트 / 2021년 5월

 “단시간의 주가 변동에 투자하는 것을 미분 투자라 한다면, 장시간의 평균 주가에 투자하는 것은 적분 투자라 할 수 있다. 미분 투자와 적분 투자 모두 시간의 경과에 따라 연속적으로 관측된 주가 변동에 기반 한 기술적 분석에 따른 것이다.” - p187

 미적분은 우리 생활 곳곳에 녹아있다. 미분의 개념을 처음 발명한 뉴턴이나 라이프니츠 과학자도 350년이 지난 현대 사회에 이렇게 다양하게 미적분이 쓰일 줄은 상상도 못했을 것이다. 

 현재 미분은 경제학, 금융공학, 기하학, 의료공학, 항공우주공학, 천체물리학 등 아주 다양한 분야에서 광범위하게 사용되고 있다. 그만큼 미분은 현대 과학의 발전에 막대한 기여를 한 것이다. 

 그렇다면 미분은 왜 생겨났을까? 뉴턴은 왜 미분이라는 개념을 생각했을까? 이 책은 이러한 질문으로 시작한다. 

 미분은 쉽게 말하면 ‘변화’다. 이 세상에서 움직이지 않는 것은 없고, 변화하지 않는 것은 없다. 온도, 압력, 속도, 상태 등 모든 것이 변한다. 

 뉴턴은 행성의 변화에 초점을 맞췄다. ‘왜 달은 하늘에 계속 떠 있는데, 사과는 지면으로 떨어질까?’라는 기본적인 의구심을 품고, 이를 설명하려고 노력했다. 이 때 그는 ‘만유인력’ 때문에 지구가 가속도를 받아 속도 방향이 계속 바뀌면서 원형 궤도를 그린다는 결론을 내렸다. 따라서 이 ‘가속도’를 수학적으로 정확히 표현해야 했고, 그것이 바로 ‘미분’의 탄생이다. 

 사실 뉴턴의 미분은 오늘날의 미적분과 같은 수식이나 기호를 사용하지 않았다. 뉴턴은 움직이는 점의 속도를 흐르는 양이라는 의미에서 유량, 유량의 변화를 유율이라고 했다고 한다. 따라서 행성이 움직이는 궤적은 곡선이지만, 매우 짧은 시간 동안은 직선으로 간주한 것이다. 

 하지만 그의 이론은 단지 변수를 시간(t)로 한정했기 때문에, 다른 변수를 설명하기에는 무리가 있었다. 반면 독일의 라이프니츠는 어떠한 변수의 변화도 나타낼 수 있기 때문에 ‘실용적인 미분 개념’을 제시한 공로가 있다. 즉, 현재 우리가 사용하는 미적분 개념과 표기법은 라이프니츠의 것을 따른다. 

 우리에게 익숙한 고정식 과속카메라도 미분의 법칙을 이용한다. 한 가지 몰랐던 사실은 과속방지카메라에 센서가 있는 것이 아니고, 도로 바닥에 감지기가 있다는 것이다. 

 즉, 도로 바닥에 일정한 간격의 와이어 루프를 설치해서, 차량이 이를 밟고 지나갈 때 통과시간을 측정한다. 이 때 속도(V)는 두 감지선 사이의 거리(∆L)과 통과시간(∆t)으로 나누어 구하면 된다. 즉, 25미터 구간을 1초 만에 통과한다면 시속 90km다. 이 때 제한된 속도를 넘으면 이를 카메라가 인식하고, 사진을 찍는다. 

 보통 속도 제한보다 10km 정도 초과해도 단속을 안 하는 이유는 ‘오차’ 때문이다. 일단 시계의 오차가 1% 정도 되고(1초 간격 일 때), 차량 길이도 측정 결과에 영향을 미친다고 한다. 그렇기 때문에 보통 시속 10km 정도 초과하더라도 벌금고지서를 발부하지 않는다. 

 또 한 가지는 구간 단속카메라이다. 구간 단속카메라는 순간 속도가 아닌 구간 내의 평균 속도를 측정한 것이다. 즉, 단속 구간의 시작점과 끝나는 점의 통과 시간을 기준으로 과속 여부를 판정한다. 따라서 평균 속도, 시작과 끝 지점의 속도 중 하나만 위반해도 벌금을 부과한다. 예전에는 구간 단속이 나오면 조심해야겠다는 생각을 하면서 순간 깜빡 잊을 때도 있었는데, 앞으로는 구간 내에서 계속 규정 속도를 준수해야겠다는 생각이 들었다. 

 그야말로 미분은 실생활의 다양한 분야에서 사용되고 있다. 항공우주, 인공지능 등 다양한 분야에서도 미분의 원리가 기본이 되고 있다. 

 적분의 개념은 미분보다 훨씬 더 먼저 나왔다. 학창 시절에는 미분을 배우고 나서 적분을 배워서, 미분 이후에 나온 것이라고 생각했지만 말이다. 

 “적분의 개념은 미분보다 훨씬 먼저, 아르키메데스의 출생 이전에 태동했다. 바로 고대 기하학의 산물인 구분구적법이다.” - p92 

 구분구적법은 원이나 포물선처럼 곡선을 이루는 면적을 구하기 위해서 큰 삼각형과 작은 삼각형으로 나누어 이들의 면적을 모두 합친다는 것이다. 합친다는 것이 적분 개념의 출발이고, 더 작게 들어간다는 것이 극한 개념의 출발이라고 저자는 말한다.

 심지어 요리를 할 때도 적분 개념이 쓰인다고 한다. 즉, 요리를 하기 위해서 재료를 잘게 잘라도 그것을 합치면(적분) 원래의 재료가 된다는 개념이다. 

 “적분은 합친다는 뜻인데, 시간에 따른 누적량을 구할 수도 있고 공간적으로 합쳐서 부피를 구할 수도 있다.” - p97

 결론적으로 미분은 기하학적으로는 기울기, 적분은 합친 면적, 대수학적으로는 각각 변화율과 누적량을 의미한다. 우리 주변에는 미분과 적분의 개념이 늘 함께 있다. 조금만 생각해봐도 이것이 미분인지 적분이지 생각해 볼 수 있다. 

 책의 내용이 쉽지는 않다. 하지만 다양한 공식은 일단 무시하고 내용에 집중한다면 미적분의 응용에 대해서 보다 깊게 접근할 수 있다. 

 - 한 줄 요약 : 미적분은 세상을 움직이는 중요한 요소다. 

 - 생각과 실행 : 미적분의 다양한 응용을 이해하면서, 앞으로 실생활에 어떻게 사용할지 고민해 본다. 적어도 이 책에서 배운 ‘한계효용’의 법칙을 통해서, 나의 일상에 적용하는 법을 생각해 본다. 

 * 이번 서평은 출판사에서 제공받은 책으로 주관적으로 작성했습니다.