《미적분의 핵심》: 지식 제로에서 시작하는 수학 개념 따라잡기

수학 개념 따라잡기 : 미적분의 핵심 - 지식 제로에서 시작하는 ㅣ 지식 제로에서 시작하는 개념 따라잡기 시리즈
Newton Press 지음, 이선주 옮김, 다카하시 슈유 감수 / 청어람e(청어람미디어) / 2020년 11월

 이 책은 Newton Press에서 지은 ‘핵심’시리즈다. 이 외에도 삼각함수, 확률, 통계, 로그 등이 있다. 그렇다면 나는 왜 ‘미적분’이 다시 궁금해진 것일까?

 예전에 고등학교나 대학교 때 배운 미적분에는 스토리가 없었다. 그냥 교과서에 나온 대로 공식을 배우고, 거기에 맞춰서 문제를 풀 뿐이었다. 과연 이것을 배워서 어디에, 어떻게 써먹는지도 정확히 감이 오지 않았다. 그렇다보니 미적분을 공부하는 것은 그다지 재미있지 않았다. 

 이제 미적분을 손에 놓은 지 20여년이 흐른 시점에 다시 한 번 미적분을 알고 싶었다. 과연 미적분은 누가, 어떻게, 그리고 왜 생겼는지 말이다. 

 미적분을 발견하고 이론으로 정리한 사람은 그 유명한 ‘만유인력의 법칙’을 창안한 뉴튼이다. 그는 영국이 낳은 천재 과학자이고, 대학생이던 1665년에 런던에 페스트가 크게 유행하자 고향으로 돌아왔다. 번잡한 도시 생활을 벗어나 전원생활을 즐기던 그는 1665년, 23세가 될 때 ‘미적분’을 발견하고 이후 ‘만유인력의 법칙’, ‘빛의 이론’도 내놓았다. 이를 ‘기적의 해’라고 부른다. 

 사실 미적분은 뉴턴만 발견한 것이 아니다. 독일의 철학자이면 수학자인 고트프리트 빌헬름 라이프니츠도 미적분의 기본정리를 발견했다. 사실 1665년에 뉴턴이 미적분학의 기본정리를 발견한지 10년 후 1675년에 라이프니츠도 이를 발견하고, 1684년에 논문으로 발표했다. 반면 뉴턴은 1704년에 이를 논문으로 세상에 알렸다. 이 와중에 뉴턴의 추종자는 라이프니츠가 뉴턴의 성과를 도용했다고 해서 이 독일의 수학자는 비난에 시달렸다.   

 이 때 영국왕립협회에서는 1713년에 뉴턴을 창시자로 인정했다. 그런데 하필이면 협회 회장이 뉴턴이었다. 아무래도 뉴턴의 입김이 들어갔다고 할 수밖에 없다. 이렇게 말 많은 미적분의 시작이었지만, 이 이론은 수학과 과학 분야에서 혁신적인 성과였다. 

 미분(微分)은 ‘잘게 나눈다’는 의미인데 포물선의 접선의 기울기를 구하기 위해서 사용되었다. 즉 기울기는 y/x 인데, 포물선에서 접선이 포물선과 만나는 접점이 이동하면서 접선의 기울기도 계속 바뀐다. 접선이 중요한 이유는 접선이 결국 물체의 진행 방향을 나타내기 때문이다. 

 따라서 어떤 물체가 포물선을 그리고 날아갈 때, 이 물체가 일정한 시간이 지난 후 어디에 위치해있는지 알기 위해서는 접선의 기울기를 계산해야 한다. 당시 이러한 문제에 대해서 많은 수학자들이 고민했지만 뾰족한 답을 찾지 못했다. 심지어 당대 최고의 수학자인 데카르트나 페르마도 접선을 계산할 수 없어서 이를 풀지 못했다고 한다.

 이 때 뉴턴은 한적한 시골 동네에서 포물선위의 점 위에 아주 짧은 곡선을 직선으로 잡고, 직선의 기울기를 계산했다. 그것이 곧 접선의 기술기이고, 방향이다. 이 한없이 짧은 접선의 기울기를 구하는 방법이 바로 ‘미분법’이다. 

 “미분법은 접선의 기울기를 구하는 방법이다.” - p63

 이러한 미분법은 물체의 이동 경로를 추정하는데 도움이 된다. 예를 들어서 롤러코스터, 로켓, 심지어 트위터에서도 시간에 따른 특정 단어의 언급되는 횟수를 파악한 후 ‘함수의 변화 모습’을 분석할 수 있다. 단순히 검색횟수가 아니라 시간에 따른 변화를 통해서 어느 정도 주목을 받는지 트렌드를 살펴볼 수 있다는 것이다. 

 그의 발견은 여기서 끝나지 않았다. 미분이 세분화해서 나누는 것이라면 적분은 그 반대다. 미분이 기울기를 구해서 ‘변화’를 찾는 것이라면 적분은 넓이를 구하는 것이다. 

 적분(積分)은 쌓는다는 의미다. 예를 들어서 포물선이 있다면 미분이 포물선의 접선의 기울기를 통해서 ‘변화’를 측정하는 것이라면 적분은 포물선을 둘러싼 영역의 넓이를 구하는 방법이다. 

 무려 2000년 전 고대 그리스부터 아르키메데스가 적분의 개념을 창안했다. 

 “포물선 안쪽을 무수히 많은 삼각형으로 나누어 넓이를 구하는 방법으로 ‘소진법’이라고 한다.” - p78

 적분의 개념을 사용하면 행성 운동 법칙이나 물체의 부피를 구하는데도 활용할 수 있다. 우리가 매일 사용하는 스마트폰의 배터리 량 표시도 결국 ‘적분의 개념’을 활용한 것이라고 한다. 이는 전체 배터리 량에서 사용한 배터리 량을 제외한 것이다. 

 결국 이러한 미적분학을 집대성하면서 뉴턴이 발견한 더욱 놀라운 법칙은 이들이 서로 ‘역’의 관계라는 점이다. 즉 함수를 미분하면 ‘도함수’가 되고, 도함수를 적분하면 원래 함수인 ‘원시함수’가 된다는 점이다. 

 이를 가속도, 속도, 거리와 관계로 나타내면 거리를 미분하면 속도, 또 미분하면 가속도가 되고, 역으로 가속도를 적분하면 속도, 또 적분하면 거리가 되는 식이다. 이를 통해서 우리는 로켓의 고도를 예측하거나 혜성의 궤도를 예측하는데도 사용할 수 있다. 이러한 이론을 이용해서 천문학자 에드먼드 핼리는 혜성의 궤도를 예측했고, 1531년, 1607년, 1682년에 날아온 혜성이 다시 1758년에 지구에 접근할 것이라고 선언했다. 이것이 바로 그 유명한 ‘핼리 혜성’이다. 

 이 책을 통해서 미적분의 유래, 응용, 기본 원리를 다시 한 번 배웠다. 아이들이 읽어도 도움이 될 책이라고 생각한다. 또한 수학이나 과학의 원리에 관심 있는 분들께 추천하고 싶은 책이다. 책이 얇고 그림도 많아서 이해하기 쉽다. 물론 미적분에 대한 안 좋은 추억이 있는 분들은 아무리 재미있더라도 읽기 싫을 것이지만 말이다.

 * 이번 서평은 출판사에서 제공받은 책으로 주관적으로 작성했습니다.