이런수학은처음이야2

이런 수학은 처음이야 2 - 읽다 보면 저절로 문제가 풀리는 ‘수’의 원리 ㅣ 이런 수학은 처음이야 2
최영기 지음 / 21세기북스 / 2021년 5월

이런 수학은 처음이야2 읽다 보면 저절로 문제가 풀리는 '수'의 원리

이런 수학은 처음이야2

최영기 서울대 수학교육과 교수 지음

21세기북스

“이야기를 따라가다 보면 문제가 저절로 풀린다!”

'어떻게 하면 학생들이 수학을 즐겁게 공부할 수 있을까?'

'어떻게 하면 학생들이 수학에 대해 긍정적인 생각을 갖고 즐겁게 공부할 수 있을까?' 

『이런 수학은 처음이야』 1권이 '도형'에 관한 이야기라면, 이 책 2권은 ‘수’에 관한 이야기예요.

수학의 역사를 살펴보면 도형과 수는 서로 경쟁하지만 조화롭게 결합하고, 융합하고, 통합하면서 발전해왔어요.- >서로 경쟁하지만 조화롭게 결합하고, 융합하고, 통합하면서 발전 !!! 딱 요즘 시대에 울 아들에게 필요한 역량이지요? 피타고라스는 “수는 만물의 근원이다”라고 수의 중요성에 대해 말했지만, 플라톤은 “기하를 모르는 자는 여기에 들어오지 말라” 라고 기하의 중요성에 대해 이야기한 것만 보아도 수학에서 도형과 수가 차지하는 중요성에 대해 알 수 있어요. 눈에 보이는 도형과 같은 기하학적 대상과는 달리 수라는 대상은 눈에 보이지 않잖아요. 그렇기 때문에 수라는 개념은 우리 마음에서 추상화하여 추출해야만하죠. 즉 우리의 생각을 통해 탄생하고 발전해 나간 것이 수의 개념인 것이죠.  수는 추상이라는 과정을 거쳐야 하기 때문에 어렵고, 재미없고, 하지만 보이지 않는 것들을 발전시켜야 하니까 생각을 더 깊게 하게 만드는 결과를 가져오는 것 아닐까요? 아이들이 수학을 배우고 탐구하는 목적이 아닐런지요. 이것이 바로 저자가  '도형' 다음으로 ‘수'를 2권의 주제로 택한 이유이기도 해요.

울아들 뿐만 아니라 대부분의 아이들이 수학을 처음 접할 때 수학을 어려워하는 가장 큰 이유가 바로 연산이죠. 연산을 어려워하는 이유는 눈에 보이지 않는 것을 개념화하는 과정이 쉽지 않기 때문이예요. 연산을 익히는 과정에서 혼자 머릿속으로 문제를 푼 것에 만족하게 하지 말고, 이를 설명하게 하면 일명 선생님 놀이 ^^ 원리를 확실하게 터득할 수 있어요. 요즘은 그걸 프리젠테이션 뭐 그렇게도 거창하게 이야기 하더군요. 학년이 올라감에 따라 계산 이상을 볼 수 있는 안목, 수에 대한 호기심을 키우는 것이 매우 중요해요. 연산능력과 함께 수에 대한 안목을 갖는 것이야말로 수학교육의 대단히 중요한 측면이죠. 말이 어려운 데요. '지식'이라는 것은 내용을 무조건 머리에 넣는다고 그것이 쌓여 지식이 되는 것이 아니잖아요? 아이 스스로의 능력으로 이해하고 말로 설명 할 수 있는 아이만의 방식으로 해석된 지식만이 아이의 뇌에 장기기억으로 살아남아요. 아이의 능력으로 해석하는 단계까지 가려면요. 일단은 아이가 하고 싶어 해야 해요. 아이가 수학을 공부 할 때 흥미를 느끼고 수학을 공부하는 것이 필요하다는 말이지요. 근데 저희 아들도 그렇고 다들 그렇지가 않죠? ㅠㅠ 수학을 공부할 때 흥미를 느끼게 하는 중요한 방법 중 하나가 바로 스토리예요. 요즘 스토리텔링수학이라고 이야기 많이들 들어보셨죠? ^^ 음악이나 미술에서도 작품의 스토리를 알면 작품에 대해 더 깊게 이해할 수 있잖아요 ^^ 스토리를 통한 학습으로 수학에 흥미를 느끼게 되고, 흥미를 느낄수록 배운 지식을 자기 나름의 공간에 넣게 되는 데요. 이때 만드는 자기 나름의 공간, 이 자기 나름의 공간이야말로 탁월함으로 가는 열쇠라고 저자는 이야기 합니다. 이러한 이유로 이 책에서는 수의 개념과 원리에 스토리를 입혀, 읽는 이의 흥미와 생각의 영역을 확장할 수 있도록 했고, 사이사이에 나름의 생각할 수 있는 공간을 줄 수 있도록 이야기를 풀어내고 있답니다. 수학 공부를 진정으로 의미 있게 하기 위해서는 딱딱한 수식으로 문제를 반복해서 푸는 것에 그치지 않고, 그 안에 있는 개념을 알아내는 기쁨에 도달해 보는 경험을 해 보아야겠죠? 앎에 대한 즐거움을 맛 본 아이는 자기 주도적으로 자신의 삶을 발전적으로 이끌어 나가는 사람으로 성장해 나갈것임이 분명할 거예요.  지금 당장은 아이의 수학 점수가 만족할 만한 수준이 아니더라도 이 책을 통해 딱딱한 숫자 속에서 수학적 개념의 심오한 뜻을 깨닫는 다면...... 인간의 놀라운 창의력과 그 속의 합리적인 정신을 느낄 수 있다면...... 수학이 공부할 만한 가치가 있다는 걸 깨닫기만 한다면...... 걱정할 필요가 없어요....... 수학의 가치를 깨닫는 아이는 수학을 잘할 뿐 아니라, 수학적 능력을 잘 활용해 미래사회에 필요한 영역을 개척할 수 있는 능력을 소유한 아이로 장성하게 될 테니깐요. 서두르지 말자구요...... 앎을 향한 희열이 이 책을 통해서 활활 타오르기를 소원하면서 곁에서 지켜봐 주자구요...... 

호기심과 상상력이 만들어낸 놀랍고도 신기한 수의 세계!

'수학' 하면 떠오르는 게 뭐야?

아마도 가장 먼저 수, 그다음엔 계산을 떠올릴 거야.

그런데 어때? 

계산은 좀 지겹다는 생각이 들지 않아? 

어쩌면 반복되는 계산 때문에 수학을 지겨운 과목이라고 생각해서 싫어하게 된 이유도 분명 있을 거야.

늘 수와 함께 살아왔고, 지금도 들판 어디에서나 볼 수 있는 꽃처럼 수는 삶의 곳곳에 정말 가까이 자리 잡고 있어. 

수학에 수가 없는 건 지구상에 햇빛이 없는 것과 같아. 

게다가 수는, 알고 보면 꽃처럼 아름답고 순수하지.

모든 생명체는 자란다는 특성이 있지.

수도 마치 생명체인 것처럼 탄생한 이후 계속해서 자라왔고 지금도 성장하고 있어. 

수의 성장은 제멋대로 아무렇게나 성장하고 확장해온 것이 아니라, 인간의 호기심과 상상력을 바탕으로 이성과 순수함을 통해서 자신만의 탄탄한 세계를 형성해왔어.

 그렇게 자라난 수는 깊은 개념을 지니게 됐고, 아름다움과 순수함의 깊이도 한층 더해졌지.

그렇지만 수를 성장시키는 과정이 항상 평탄하지만은 않았어.

 때로는 개념 간에 충돌하는 일도 있었고, 그 갈등을 해결하기 위해 지독한 어려움을 겪기도 했지. 

그러나 인류사가 늘 그래왔듯이, 우리 인간은 치열하고 끊임없는 노력 속에서 놀라운 상상력과 새로운 발상으로 그 난관을 돌파해왔어! 

지금 우리가 아는 수의 모습이 된 거야.

양수, 영, 음수, 정수, 유리수, 무리수, 실수, …

지금도 수는 여러 가지 모습으로 표현되어 다른 분야와 조화롭게 결합하고 융합하면서 계속 발전해가고 있어.

수는 이렇게 인간의 상상 속에서 자랐지만, 신비롭게도 자연과 우주의 현상에 대한 놀라운 응용력을 갖고 있어.

우주에서 지구가 차지하는 영역은 불면 훅 날아갈 먼지만큼도 안 되는데다 인간은 그 작디작은 지구의 한 모퉁이에 서 있는 존재일 뿐이잖아. 

그런 우리의 상상력으로 발전시킨 수의 성질들이 우주의 본질을 꿰뚫는 거지.

수를 계산하면서 지겹다는 생각이 들고 때때로 잘못된 결과 탓에 혼란스러움을 느끼기도 하겠지만, 수는 우리에게 주어진 선물이라는 것을 잊지 말기를 바라. 

수는 우리가 노력한 만큼 꼭 보답을 해줘. 

정말로 소중한 선물이지.

피타고라스Pythagoras는 본질적인 만물의 실제는 수의 변하지 않는 순수한 원리에 기본적인 바탕을 두고 있다고 생

각했어.

 수를 공부함으로써 인간의 영혼이 더 높은 곳을 지향할 수 있다고 봤지. 

수가 진리의 세계와 가깝고 밀접하다고 여긴 거야.

수의 세계를 탐구하다 보면 우리 인간의 놀라운 상상력과 관념의 세계를 경험할 수 있어.

 이제 수에 대해 알고 싶다는 생각이 들지 않니? ^^

호기심과 순수함의 안전띠를 매고 여행을 떠나보자. ^^

최영기 교수님은 흥미진진한 스토리를 통해서 수의 원리가 이해되고 수학 자신감까지 기를 수 있다고 이 책을 통해 이야기 하고 계셔요. 수학을 좋아하게 만들어주고 싶었지만요......저희 아이도 사실 수학을 엄청 좋아하는 편이 아니라서요. ㅠㅠ  

0을 생각해낸 건 서양이 아닌 동양이였다고 해요. 수학은 서양에서 더 발달했음에도 0은 동양에서 더 먼저 발견했는데 그 이유는 없는 것에 대한 동서양의 인식 차이 때문이었다고 해요. 있는 것이 없는 것이고, 없는 것이 있는 것이라는 색즉시공 공즉시색이라는 말에서 알 수 있듯이 없음에 대한 개념이 사유의 중심에 서 있었기 때문에 없다라는 것을 어떤 상징을 이용 해 표현 할 필요성을 서양보다 먼저 느끼게 되었고 그래서 0이 탄생하게 되었다고 해요. 이야기를 통해서 설명을 들으니 정말 기억에 더 오래 남는것 같네요. ^^

로마 사람들은 5를 손하나를 이용해 표시한것으로 생각했다고 해요. 5가 기본이되고 큰수를 나타내는 숫자가 왼쪽에 놓여 있으면 더하기, 작은 수를 나타내는 로마 숫자가 왼쪽에 놓여있으면 빼기,숫자위에 막대를 그으면 그 숫자 값에 곱하기 1000 으로 나타냈다고 하네요. 저도 로마 숫자가 어떻게 만들어졌고, 왜 이렇게 나타내는지 제대로 배운적이 없었던 것 같은 데 이렇게 재미있는 이야기를 통해서 수의 원리를 깨닫는 것이야 말로 진짜 수학 공부가 아닐 까 싶더라고요.

무작정 수학 문제집을 들이밀며 연산을 풀라고 할게 아니라 수학을 좋아하는 아이라면 너무 재미있게 읽을 것이고 수학을 좋아하지 않는 아이들이라도 이 책을 읽고나면 수학에 흥미와 재미를 가질 수 있을 거란 확신이 들었기에 많은 아이들이 이 책을 통해서 재미있는 수학에 한발짝 더 다가같으면 좋겠다 싶네요.

즐겁다! 만만하다! 문제가 술술 풀린다!

서울대 수학교육과 교수가 전하는 화제의 ‘이런 수학은 처음이야’ 시리즈!

“아이가 이렇게 집중해서 책을 읽은 적은 처음이에요!”, “아이들을 향한 진정성에 큰 감동을 받았다!” 등 출간과 동시에 학부모들의 찬사가 끊이지 않았던 화제의 베스트셀러 『이런 수학은 처음이야』의 후속작이 나왔다. ’자연수 왕국’, ‘소수의 나라’에서 벌어지는 흥미진진한 스토리부터 ‘무리수와 무한’, ‘오일러 수’를 포함한 위대한 수학적 발견까지. 서울대 수학교육과 최영기 교수는 이 책을 통해 이제껏 없던 기발하고 독창적인 스토리로 우리를 ‘수의 세계’로 안내한다. 아이들이 수학을 싫어하게 되는 가장 큰 이유는 단연 ‘연산’! 평생 아이들을 위한 ‘진짜 수학교육’을 고민하고 연구해온 최영기 교수는 아이들이 수에 대한 즐거움을 느낄 수 있도록, 나아가 수학 자신감과 흥미를 동시에 끌어올릴 수 있도록 꼭 알아야 할 수학 개념을 특별 엄선해 가장 쉽고 재미있게 ‘수의 원리’를 들려준다. 재미와 감동을 무한히 선사하는 이 책을 통해 수의 원리는 단번에 이해되고, 수학에 대한 무한 자신감이 생기는 놀라운 변화를 경험하게 될 것이다.

최영기

서울대학교 수학교육과 교수이며 수학과 수학교육 양 분야를 아울러 연구하고 있다. 서울대학교 수학교육과를 졸업하고 동 대학원 수학과에서 석사 학위를 받았으며, 미국 로체스터대학교에서 대수적 위상수학(Algebraic topology)을 전공으로 박사 학위를 받았다. 또한 서울대학교 과학영재교육원장을 역임하며 영재교육이 지향해야 할 바를 연구하였다.

수학의 기능적인 측면에 익숙한 학생과 일반인들에게 수학이 추구하는 정신과 이로부터 느끼는 감동이야말로 수학의 가장 큰 가치임을 알리기 위해 여러 강연을 이어나가고 있다. 특히 『이런 수학은 처음이야』에서는 학생들이 수학에 재미를 느끼고, 또 학습에까지 연결될 수 있도록 교과과정 중 꼭 알아야 할 수학 개념만을 특별 엄선하여 아름답고 신기한 이야기로 수학 지식을 생동감 있게 전달한다. 저서로는 서울시교육청 선정도서 『서가명강 03 이토록 아름다운 수학이라면』, 『이런 수학은 처음이야 1, 2』 등이 있다.

책을 펴내며

 “이야기를 따라가다 보면 문제가 저절로 풀린다!”

아이들이 수학을 처음 접할 때 수학을 어려워하는 가장 큰 이유가 바로 연산이다. 연산을 어려워하는 이유는 눈에 보이지 않는 것들을 개념화하는 과정이 쉽지 않기 때문이다. 연산을 익히는 과정에서 혼자 머릿속으로 문제를 푼 것에 만족하게 하지 말고, 이를 설명하게 하는 식으로 학습한다면 학생들이 원리를 확실하게 터득할 수 있을 것이다. 더 나아가 학년이 올라감에 따라 계산 이상을 볼 수 있는 안목, 수에 대한 호기심을 키우는 것이 매우 중요하다. 연산능력과 함께 수에 대한 안목을 갖는 것이야말로 수학교육의 대단히 중요한 측면이라 할 수 있다.

--- p.6

프롤로그 

호기심과 상상력이 만들어낸 놀랍고도 신기한 수의 세계!

지금도 수는 여러 가지 모습으로 표현되어 다른 분야와 조화롭게 결합하고 융합하면서 계속 발전해가고 있어. 수는 이렇게 인간의 상상 속에서 자랐지만, 신비롭게도 자연과 우주의 현상에 대한 놀라운 응용력을 갖고 있어. 우주에서 지구가 차지하는 영역은 불면 훅 날아갈 먼지만큼도 안 되는데다 인간은 그 작디작은 지구의 한 모퉁이에 서 있는 존재일 뿐이잖아. 그런 우리의 상상력으로 발전시킨 수의 성질들이 우주의 본질을 꿰뚫는 거지. 수를 계산하면서 지겹다는 생각이 들고 때때로 잘못된 결과 탓에 혼란스러움을 느끼기도 하겠지만, 수는 우리에게 주어진 선물이라는 것을 잊지 말기를 바라. 수는 우리가 노력한 만큼 꼭 보답을 해줘. 정말로 소중한 선물이지.

--- p.12

1강 ‘수’는 어떻게 생겨났을까? - 0의 탄생 · 자연수 · 정수 그리고 유리수와 무리수

11은 어떻게 읽을까?

자릿값 - 인류 역사상 가장 창의적인 발견!

0의 탄생 - 없음을 표현하라고?

십진법의 세계가 열리다

놓인 자리 - 계산이 이렇게 쉬운 거라니!

만약 우리의 손가락이 여덟 개라면?

0 - 나는 수의 중심이자 희망이야!

‘수’는 우리 모두의 마음속에 존재해!

수는 어떻게 자라나는 걸까?

정수 - 자연수가 성장해 든든한 수로!

‘9-6’과 같이 큰 수에서 작은 수를 뺄 때는 0과 자연수만으로도 문제가 없지만, ‘2-5’와 같이 작은 수에서 큰 수를 뺄 때 문제가 돼. 없는 것에서 있는 것을 어떻게 빼지? 15세기까지도 이런 문제를 적극적으로 해결하지 않고 무시하고 지냈어. 그렇지만 수의 개념이 계속 성장했기에 끝까지 모른 체할 수가 없었고, 결국에는 어떻게든 문제를 해결해야 했지. 자신의 세계 안에서 답이 안 보일 때, 자신을 확장해보면 의외로 문제가 쉽게 해결되기도 해. 즉 수 자체를 음수로 확장하고, 그에 따라 개념도 확장한 거야.

--- p.49

유리수 - 사칙연산? 내가 다 해결해줄게!

1보다 작은 수는 어떻게 표현할까?

수와 직선이 만나면 무슨 일이 생길까?

덧셈과 뺄셈이 움직인다고?

무리수 - 너 언제부터 거기에 있었어?

수학에 눈 뜨는 순간 1 무리수에 도전장을 내민 세기의 수학자들!

■ 이야기 되돌아보기 1

2장 ‘수’는 어떻게 완벽하게 됐을까? - 유한소수 · 무한소수 · 순환소수 · 실수

1은 왜 소수의 나라에 들어갈 수 없었을까?

실수 - 내가 너희의 빈틈을 메꿔줄게!

소수의 개수는 몇 개일까?

셀 수 있다는 것은 무슨 의미일까?

일대일 대응 - 무한의 세계에 질서를 만들다!

순수함만을 남기는 추상화 과정

소수 - 수들아, 내가 너희의 이름을 지어줄게!

무한소수도 분수로 나타낼 수 있을까?

유리수와 무리수, 우리에게 또 다른 이름이 있다고?

양수를 모았는데 음수가 나타났다!?

수학에 눈뜨는 순간 2 ‘무한’의 발견, 현대 수학이 탄생하다!

■ 이야기 되돌아보기 2

3장 ‘수’는 세상을 아름답게 만든다 - 가우스, 파스칼, 오일러와 함께

반대쪽 바라보기 - 1부터 100까지 모두 더하면?

분배법칙 - 너와 나를 동등하게 만들면 계산이 쉬워져!

2-2=0이 아니다?

0이 무한대가 되는 순간

카프리카 상수 - 무슨 수를 생각해도 결국 9가 나오는 비밀

파스칼의 삼각형 - 11을 곱하면 재미있는 일이 일어나!

오일러 수 - 수로 우주를 보다

수학에 눈뜨는 순간 3 피타고라스, 수는 만물의 근원이다

우리가 모든 수를 다뤄보거나 경험해본 것도 아닌데, 어떻게 모든 수에서 a+b와 b+a가 같다는 것이 성립한다는 사실을 이해할 수 있는 걸까? 우리 모두의 마음이 이 보편성을 만들어낸 것이라고도 생각할 수 있겠지. 모든 것을 경험하지 않고도 알 수 있는 보편적인 수의 원리가 우리 모두의 마음속에 내재하고 있는 거지. 비록 수의 아름다움과 보편성을 처음으로 발견한 사람은 아닐지라도, 우리는 그것들을 본래부터 지니고 있고 끊임없이 추구하며 향유하고 발전시키는 고귀한 존재들이야. --- p.175

■ 이야기 되돌아보기 3

“수학 시간이 기다려지기 시작했어요!”

원리가 이해되고 수학 자신감이 생기는 신기한 이야기!

『이런 수학은 처음이야』 1권에서 도형을 다뤘다면 이번에 출간되는 『이런 수학은 처음이야 2』에서는 ‘수’를 다룬다. 피타고라스는 “수는 만물의 근원이다”라고 수의 중요성에 대해 말한 반면 플라톤은 “기하를 모르는 자는 여기에 들어오지 말라”라고 기하의 중요성에 대해 이야기했을 만큼 도형과 수는 수학의 근간을 이루는 두 개의 축이다. 저자가 ‘도형’ 다음으로 ‘수’를 택한 이유다. 도형과 달리 수는 추상이라는 과정을 거쳐야 하기 때문에 수학에서 특히 많은 학생이 어렵게 느끼고 있다. 저자는 단순히 문제를 푸는 것에 그치지 않고, 연산의 원리를 깨우치도록 하는 것이 수의 즐거움을 느끼게 하는 데 무엇보다 중요하다고 강조한다. 이를 위해 저자는 중학교 교과과정 중 꼭 알아야 할 개념만을 특별 엄선해 그 안에 흥미진진한 스토리를 담아 전개해나가는 방법을 택했고, 이번 책에서는 특별히 초등교사의 감수를 받아 현장감을 더해 학생들이 좀더 쉽고 편하게 읽을 수 있도록 구성했다. 수가 탄생하고, 발전하며 그 안에서 개념이 어떻게 확장되어왔는지 귀여운 일러스트와 함께 수의 세계에서 펼쳐지는 흥미진진한 스토리를 들려주는 이 책은 수의 원리에 흥미를 느끼게 하고, 그 흥미를 통해 호기심을 갖게 되고, 호기심을 통해 수에 대한 안목 즉 수학에 대한 안목을 가질 수 있도록 우리를 이끌어줄 것이다.

“수에 대한 이해 없이는 어떤 문제도 풀 수 없다!”

0의 탄생부터 파스칼의 삼각형까지,

이야기를 따라가다 보면 문제가 저절로 풀리는 기적의 수학책!

이 책은 0의 발견에서 시작해 파스칼의 삼각형까지, ‘수’가 생겨나고 성장해가면서 그 안에서 수학 개념들이 완성되는 과정들을 흥미로운 스토리로 들려준다. 저자는 숫자가 종이 위에 쓰여 있을 때는 딱딱하고 생명력이 없는 것처럼 보일 수 있으나 그 안에 담긴 개념까지 생명력이 없는 것은 아니라고 말하며, 진정으로 의미 있는 수학 공부를 위해서는 딱딱한 수식으로 문제를 반복해서 푸는 것에 그치지 않고, 그 안에 있는 개념을 알아내는 기쁨에까지 도달해야 한다고 강조한다.

이 책은 총 3강으로 구성되어 있다. ‘1강 ‘수’는 어떻게 생겨났을까?‘에서는 0의 탄생과 자릿값의 발견부터 자연수, 정수, 유리수와 무리수 등 수의 탄생과 발견으로 수학 개념이 어떻게 발전해왔는지를 살펴본다. ’2강 ‘수’는 어떻게 완벽하게 됐을까?‘에서는 유한소수, 무한소수, 순환소수, 실수 등 중학교 과정 중 기본적으로 이해하고 넘어가야 할 핵심 개념을 중심으로 좀더 심화된 수의 개념들을 다루고 있다. ‘3강 ‘수’는 세상을 아름답게 만든다’에서는 가우스, 오일러, 파스칼 등 수학사에서 위대한 발견을 한 수학자와 그들의 수학적 발견을 다룸으로써 수학 능력뿐만 아니라 수학을 통해 인문학적 사고가 확장될 수 있도록 우리를 안내한다.

또한 본문 중간중간 수록된 ‘수학에 눈뜨는 순간’에서는 위대한 수학적 발견에 관한 스토리를 중심으로 흥미로운 읽을거리를 담았다. 마지막으로 각 챕터 말미에 수록된 ‘이야기 되돌아기보기’는 이야기 속 수학 개념만을 추려내 개념과 공식을 한눈에 정리할 수 있도록 교과과정 표기와 함께 정리해 담았다.

이 책을 다 읽고 나면 개념과 공식이 저절로 머릿속에 정리되고, 이를 통해 어렵기만 했던 수학 시간이 즐거워지고, 수학 문제들이 막힘없이 술술 풀리는 놀라운 경험을 하게 될 것이다.

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