왜 그런지 알면 더 재밌어지는 수학

중학교부터 시작하는 최상위 1% 수학 프로젝트 - 수능 만점을 위한 교실 밖 수학 이야기
사카마 치아키 지음, 김지예 옮김, 정동은 감수 / 동아엠앤비 / 2023년 7월

수학이라는 것이 오랜 역사를 통해 만들어지면서 그 과정을 알기보다 단편적으로 계산과 암기로만 하니 더 힘들어지지 않나 생각을 했습니다. 저도 학생 때 그랬는데요. 어른이 되서 수학의 역사 관련된 책을 읽었는데 재미있더라구요. ㅎㅎ 역시 사람은 스토리가 있어야 집중을 하고 관심을 갖나봅니다. 이번에는 중학교 수학 이상에 나오는 여러 개념들이 왜 생겼고 그걸 어떻게 증명하는지에 대한 책을 읽어봤습니다. 제목은 [중학교부터 시작하는 최상위 1% 수학프로젝트]라는 책인데요. 학부모나 학생들이 많이 볼법한 제목이지만 안에 목차를 보니 제가 학생 때 그냥 외웠던 것들을 다시 생각해주는 내용들이 많아서 이 책을 읽어보게 되었습니다. 책에는 자세한 증명내용도 나오는데 저는 왜 이런게 생겼는지에 대해 집중해서 정리해볼께요~

1. 피타고라스 정리

간단히 피타고라스의 정리부터 보고 갈께요. 유명한 a2 + b2= c2 공식이 어떻게 나오게 되었을까요? 고대 그리스 철학자이자 수학자 피타고라스가 이집트를 방문했을 때 사원의 돌계단 무늬를 보고 이 정리를 발견했다고 합니다. 작은 정사각형의 넓이의 합이 큰 정사각형 넓이와 같다는 거죠. 한편 세변의 길이가 3:4:5인 직각삼각형은 훨씬 전에 알려졌다고 합니다.

2. 음수 X 음수 = 양수

음수와 음수를 곱하면 양수라는 건 알겠는데 아이한테 설명을 하려면 막막할 것 같아요. 혹시 저만 막막한가요? ㅎㅎ;; 수직선으로 표현하면 쉬운데요. 수직선에서 음수의 곱은 원래의 수를 180도 회전시킨다는 걸로 보면 됩니다. 그래서 (+2) X (-1) = -2가 되고 (-2) X (-1) = 2 가 되요. 저는 이 부분부터 서서히 놀라기 시작합니다.ㅎㅎ

3. x2 = -1 은 무슨 의미일까

i라는 허수를 배웠을 때인데요. 학생 때 이게 뭔 소리인가하다가 어느새 익숙해져서 암기되어버린 허수입니다. 이걸 수직선에 표현하면 어떻게 될까요? 아까 -1을 곱한다는 것은 180도를 바꾸는 것이니 그럼 두번 곱해서 180도 바꾸는 수가 무엇일까 생각하면 답이 나옵니다. 바로 i를 90도만 바꾼다고 보는 것이죠. 우선 수평선에 없는 값이기도 하고 90도와 -90도 모두 다 가능하기에 i와 -i도 설명이 가능해집니다. 저는 여기서 이걸 학생 때 알았더라면 너무 좋았을 것 같아요. ㅠㅠ 제가 몰랐나요... 안 알려준건가요...ㅎㅎ

4. 원의 지름, 넓이, 부피 등

원에서 빠지지 않는게 파이(π)입니다. 파이는 반지름과 원주의 비가 일정한 것을 말하는데 지름이 4cm인 원을 한번 회전시킨 후 그 길이를 재보고 지름의 길이를 바꿔서 원주의 길이를 재면 3.14~3.15가 된다는 것으로 설명이 가능합니다. 그래서 원주가 2πr이 된다는 것을 알 수 있어요.

그럼 원의 넓이인 πr2은 어떻게 나오냐

끈이 둥글게 말려 있는 원을 바깥쪽에서 원의 중심으로 자른 뒤 끈을 긴 것부터 펴나가면 삼각형을 만들 수 있는데요. 밑변의 길이가 2πr이고 높이가 r이니 넓이로 나타내면 πr2이 됩니다.

그리고 구의 겉넓이는 같은 지름과 높이를 가진 원기둥의 옆넓이가 같습니다. 이 부분이 좀 설명이 부족한데요. 분명 원기둥과 구의 길이차가 존재하지만 아주 얇게 잘랐을 때 그 차이가 무시된다는 내용을 인터넷에서 찾았네요... 이건 좀 아이들에게 설명이 쉽지는 않겠어요... 그래서 원기둥의 옆넓이와 구의 겉넓이가 같다는 전제하에 밑변 2πr x 높이 2r = 4πr2이 되는 것입니다.

구의 부피는 반구에 물을 넣어서 동일한 지름과 높이를 가진 원기둥에 옮겨 담으면 원기둥의 2/3까지 차오른다고 해요. 그래서 구의 부피는 원기둥 부피의 2/3인 것을 이용해 4/3πr3이 나오는 것입니다

이렇게 그냥 외우기만 했던 공식을 그림으로 왜 그런지 알고나니 훨씬 더 관심을 갖게 되는 것 같습니다. 세상 모든 것들이 그냥 이뤄지는게 없는데 이런 현상을 그냥 받아들이기보다 왜 그렇게 되었는지를 안다면 훨씬 더 많은 것을 생각해낼 수 있을 것 같습니다. 좋은 학교, 좋은 성적을 위하기보다 이 모든게 탄생부터 그 과정을 알아가는게 세상을 이해하는 방법이 아닐까 싶습니다

* 이 책은 출판사로부터 무상으로 제공받아 쓴 글입니다