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튜링이 들려주는 암호 이야기 ㅣ 수학자가 들려주는 수학 이야기 10
박철민 지음 / 자음과모음 / 2008년 2월
평점 :
수학자가 들려주는 수학 이야기
10. 튜링이 들려주는 암호 이야기
이 책을 통해서 수학이라는 게임을 즐기게 되기를 바랍니다.
암호란 수학에서 특이한 성질을 갖는 함수로써 수학과는 떨어뜨려서 설명할 수 없습니다. 비록 암호에 들어가 있는 모든 수학들을 쉽게 설명할 수는 없겠지만, 기초적인 수학이 사용된 고전 암호에서부터 비교적 현대 수학이 들어가 있는 현대 공개키 암호까지 가능한 쉽게 다루어 볼까 합니다.
튜링을 소개합니다.
튜링이 활동하던 때는 전세계가 전쟁으로 시끄럽던 시절이었다고 해요.
튜링기계란 실제 기계가 아니라 머릿속의 가상의 기계입니다. 입력 테이프와 제어장치로 구성!! 입력 테이프는 작은 칸들로 나누어져 있고, 각 칸에는 특정한 기호를 읽고, 쓰고, 지울 수 있습니다. 제어장치에 의해서는 테이프의 좌우로 원하는 칸만큼 이동할 수 있습니다.
암호가 일종의 낱말 퍼즐이고 암호해독은 낱말 퍼즐 풀이라는 것을 미리 엄두해 둔다면 수학은 단순한 퍼즐의 규칙이라는 것을 느끼게 될 것입니다.
암호란 무엇일까요?
미리 알면 좋아요
1. 함수 한 집합의 원소를 다른 집합의 원소에 대응시키는 규칙입니다.
예) 이름의 글자수라는 함수
'고양이' 는 글자수 3이므로 3, '뱀' 은 글자수 1이므로 1에 대응되듯이 이름에 수를 대응시키는 함수를 생각할 수 있습니다.
2. 역함수 어떤 함수가 한 집합의 원소를 다른 집합의 원소에 대응시킬 때, 그 반대의 대응을 생각하는 함수를 말합니다. 일반적으로 역함수를 생각하려면 원래 함수가 일대일 대응이 되어야 하나, 이 책에서 다루는 함수들은 대부분 일대일 대응이 되므로 특별한 언급이 없는 한 역함수를 생각할 수 있습니다.
예) 그 반대의 대응, 대응시키는 함수가 위 함수의 역함수가 됩니다.
수업 정리
① 암호란 두 사람만이 아는 약속을 통해서 일상적인 말이나 글을 다름사람이 모르는 기호로 대응시키는 함수
② 암호함수는 자신의 역함수를 쉽게 찾을 수 있으면 안 됩니다. 이와 같이 함수의 계산은 쉬우나, 그 역함수의 계산은 어려운 함수를 일방향 함수라고 부름
③ 비밀키 암호란 두사람이 서로 비밀수를 약속하여 이 비밀수를 이용해 암호함수를 만드는 방법을 말함
간단한 나머지 연산에 대해서 알아봅시다
미리 알면 좋아요
1. 나머지 정리 두 수 a와 b가 있을 때, a를 b로 나눈 몫을 q, 나머지를 r이라 하면
a가 a = bq + r (0 ≤ r < b)와 같이 표현된다는 정리입니다.
2. a의 b에 대한 나머지 연산 a를 b로 나눈 나머지만을 취하는 연산입니다.
-> 위의 예에서 75의 16에 대한 나머지 연산값은 11이 됩니다.
이 때, 75 = 11 (mod 16)과 같이 나타냅니다.
수업 정리
① 시저 암호는 평문의 각 알파벳을 비밀키 만큼의 옆 칸에 있는 알파벳들로 바꾸는 암호. 이를 암호함수로 표현하면 각 문자에 비밀키를 더하는 함수가 됨
② 시저 암호 함수의 역함수는 암호문에 비밀키를 빼는 함수
③ a의 b에 대한 나머지 연산이란 a를 b로 나눈 나머지 r만을 취하는 연산.
④ 알파벳은 26개 밖에 없지만, 비밀키에 나머지 연산을 작용하면 어떤 수도 시저 암호의 비밀키로 사용됨
로마 황제 시저가 사용했던 순환 암호에 대해서 알아보았어요~ 순환 암호는 각 문자의 위치를 몇 칸씩 뒤로 밀려서 암호를 만드는 방식으로 아주 기초적인 암호 방식으로 현대 기술로 안전한 암호라고 할 수가 없다고 해요.
반복해서 개념 정리와 용어 정리까지 해주어서 따로 검색해서 알아보지 않아도 자연스럽게 이해할 수 있는 것 같아요.
비밀번호나 여러 가지 암호는 생활에서 늘 쓰고 있어서 흥미를 갖고 읽기 시작했어요. 수업을 하면서 아이랑 암호도 함께 만들어 보고 사용하면서 여러 가지 암호 대해서 공부했어요^^