괴델의 불완전성 정리는 수리논리학에서 페아노 공리계를 포함하는 모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없으며, 특히 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다.
산술학이 무모순적이라면, 산술학의 무모순성은 형식화된 산술 체계 내에서 표현할 수 있는 어떤 초수학적 추론으로도 입증할 수 없다는 결론이다.
괴델의 결론이 남긴 영향의 하나는, 모든 연역 체계(특히 산술학 전체를 포괄할 수 있는 체계)에 대해서 힐베르트 제안의 유한적 요구를 만족하는 무모순성의 절대적 증명이 논리적으로 불가능하지는 않지만 거의 무망하다는 사실을 깨달은 것이다.
또한 괴델의 결론은, 유한수의 추론 규칙으로는 임의의 주어진 공리 집합에서 형식적으로 추론할 수 없는 참값의 산술 명제가 무한수로 존재한다는 것을 보여준다.
따라서 예를 들어 정수론에 공리적으로 접근하더라도 산술적 참값 영역을 완전히 드러낼 수 없다는 결론을 얻는다.
그렇다고 괴델의 증명을 절망, 혹은 미스터리광의 변명으로 해석해서는 안 된다.
형식적으로 증명할 수 없는 참값의 산술 명제가 있다는 사실의 발견이, 영원히 밝혀질 수 없는 진리가 있다는 것을 뜻하는 것도 아니다. ‘인간의 추론 능력에 피할 수 없는 한계’가 있다는 것을 뜻하지도 않는다.
오히려 인간의 지능이 완전히 형식화된 적이 없었고 지금도 마찬가지이기 때문에 새로운 증명 원리가 앞으로 계속해서 발견될 것이란 희망을 의미한다.
수리적 논리 해석을 따라가면서 읽어내는 게 힘든 책이긴 하다.
